精品解析：安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高三下学期5月保温卷数学试题

合肥八中2025届高三保温卷 数 学 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 20 3. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A. B. C. D. 6. 数列满足，则的前20项和为（ ） A. 210 B. 220 C. 230 D. 240 7. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 互斥 D. 10. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ） A. B. C. 2 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线与直线平行，则______． 13. 已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，E是线段MN的中点，P是x轴上一点，且，，则C的离心率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角对应的三边分别是，且 （1）求角的值; （2）若，求的面积. 16. 在四棱锥中，平面，，． （1）若，为的中点，且平面，求的长； （2）若，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 17. 已知椭圆过点. （1）若椭圆E的离心率，求b的取值范围； （2）已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 18. “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：. （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 （附：刻画回归效果的相关指数，.） （2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；） （3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望. （附：随机变量服从正态分布，则，.） 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）讨论函数的极值点个数； （3）当函数无极值点时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2025届高三保温卷 数 学 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解不等式化简集合，根据集合的基本运算可得结果. 【详解】由题意得，，， ∴. 故选：B. 2. 已知向量，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式及投影向量长度公式计算即可. 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量的长度为. 故选：B 3. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】等差数列的公差，由，得，解得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 4. 已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义结合圆的性质分析求解. 【详解】设复数在复平面中对应的点为， 由题意可得：，表示复平面中点到定点的距离为1， 所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为表示表示复平面中点到定点的距离， 所以，即的最大值为3. 故选：C. 5. 已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设三个点的坐标，分别求出其斜率，根据条件即可求解A的坐标. 【详解】设，，， 则， 所以， 解得，故， 故点A的坐标为， 故选：B. 6. 数列满足，则的前20项和为（ ） A. 210 B. 220 C. 230 D. 240 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式，寻找几项的规律，构造新数列，求和即可. 【详解】因为 故 = 即： 同理可得： 故可得 令 则，又，故 故. 故选：A. 【点睛】本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题，对计算能力要求较高. 7. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解. 【详解】由题意可知：函数的定义域为R， 因为，则， 可得，所以为偶函数， 由可得， 即，整理得， 可得， 则，可得， 所以6为的周期， 由， 令，可得，可得； 令，可得，可得； 所以． 故选：A． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出，分和两种情况讨论，时转化为图像交点问题. 【详解】，则，显然，， ①若即时，在单调增，， 作函数的图象， 当时，与有一个交点，所以此时有一个满足要求； ②若即时，满足要求， 综上知满足条件的共有2个. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 互斥 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式可求答案. 【详解】由题意，，所以，A不正确； 从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以，B正确； 由互斥事件的概念可知，互斥，C正确； ，D正确. 故选：BCD 10. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出，再由选择支分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其， 则，解得. AB项，，设函数， 则，故在上单调递减， 则1， 故函数的值域为. 而，，故A对B错； C项，由于， 设， 则，故在上单调递减， 所以， 故函数的值域为， 若，则，故C对； D项，，设， ， 令，则， 则当，，则在上单调递增； 当，，在上单调递减， ，，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解. 【详解】设该正方体为，且其棱长为， 若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况. ①若中间的两个平面为平面和平面，如图1所示， 则过作截面，截面图如图2所示， 其中分别为中点，则， 设相邻两平面间距离即为A到的距离， 可得，解得， 即相邻两平面间距离即为A到的距离， 可知，解得； ②若中间的两个平面如图3所示，过作截面，截面图如图4所示， 其中分别为中点，则， 设相邻两平面间距离即为到的距离， 可得，解得， 即相邻两平面间距离即为到的距离， 则，解得； 故选：BD. 【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线与直线平行，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义以及两直线平行，斜率相等可得结果. 【详解】函数的定义域为，由已知，故， 函数的导函数，所以， 因为函数在处的切线与直线平行， 所以，所以，经验证，此时满足题意． 故答案为：1 13. 已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，且，由于数列唯一，则公比q的值只能有一个，故方程必有一解为0，代入方程即可求解参数． 【详解】设等比数列的公比为，∵， ，，，∴，，． ∵，，成等比数列，∴， 整理得.∵，∴， ∴关于公比q的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积为． 又数列唯一，公比q的值只能有一个，故这两个q的值必须有一个不满足条件． ∵公比q的值不可能等于0， ∴方程必有一根为0，把代入此方程，解得． 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，E是线段MN的中点，P是x轴上一点，且，，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量关系得出，结合得出，最后利用点差法即可求出. 【详解】因是线段的中点，，则，故， 又，则，即， 设，则， 过E作x轴的垂线，垂足为R，则，， 则，则， 设，则， 两式作差得，，即， 即， 故C的离心率为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角对应的三边分别是，且 （1）求角的值; （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，即可得解； （2）根据可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得边长即求出面积. 【小问1详解】 根据题意由正弦定理可得， 整理可得， 即， 所以， 可得，又，所以， 又，因此； 【小问2详解】 由（1）得， 由可得，解得或， 当时，， 又，所以两角均为钝角，不合题意， 因此，， 又，可得，同理， 由正弦定理可得， 可得，， 因此的面积为. 16. 在四棱锥中，平面，，． （1）若，为的中点，且平面，求的长； （2）若，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）4 （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点为，易证，由平面，可得，四边形为平行四边形，得得解； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量结合二面角的大小为，求出，由运算得解. 【小问1详解】 如图，取的中点为，连接，， 则，且． ， ． 平面，平面，平面平面， ． 又，四边形为平行四边形． ，又， ． 【小问2详解】 平面，平面， ，又，，且平面， 平面，平面， ． 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， 则，，，． ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故． 又，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得，故． 二面角的大小为，所以， ， ，即． ， 即三棱锥的体积为． 17. 已知椭圆过点. （1）若椭圆E的离心率，求b的取值范围； （2）已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）把点代入椭圆方程，可得，由，可求b的取值范围； （2）由离心率和（1）中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线的位置，联立方程组，利用弦长公式结合不等式的性质求的最大值. 【小问1详解】 ∵在椭圆，∴，有，所以， 又∵，所以，∵，∴； 【小问2详解】 由（1）可知，又， 所以，椭圆. 因为直线与相切，故. 若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段. 若直线的斜率存在，可设直线的方程为：. 由直线与相切，故，可得：. 联立得，所以， 线段. 又因为，所以. 当且仅当，故当时，的最大值为2. 综上所述：当时，线段的最大值2. 18. “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：. （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 （附：刻画回归效果的相关指数，.） （2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；） （3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望. （附：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】（1）回归模型②刻画的拟合效果更好，72.93亿元； （2）投入20亿元时，公司的实际收益的更大 （3）2.4305万元. 【解析】 【分析】（1）根据公式比较可得模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.根据模型②的回归方程计算可得结果； （2）用最小二乘法求出当时， y与x满足的线性回归方程，再通过计算比较可得答案； （3）根据正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率求出分布列，根据数学期望公式计算可得结果. 【详解】（1）由表格中的数据，有，即， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好. 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为 （亿元）； （2）由已知可得：，， 所以， 所以当亿元时，y与x满足的线性回归方程为：， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值， 所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元， 所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大； （3）因为， 所以，， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 5 所以每台发动机获得奖励的数学期望为：（万元）. 【点睛】本题考查了用最小二乘法求线性回归方程，并利用回归方程进行预测，考查了正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率，考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）讨论函数的极值点个数； （3）当函数无极值点时，求证：． 【答案】（1） （2） 当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点． （3） 先证明当时，． 设，则， 记， 则在上单调递减， 当时，，则在上单调递减，， 即当时，不等式成立． 由（2）知，当函数无极值点时，，则， 在不等式中，取，则有， 即不等式成立． 【解析】 【分析】（1）对求导，构造函数后再求导，由二次导数得到在上单调递减，再由零点存在定理确定的最小值. （2）求导后令得，再利用换元法设，得到，构造函数，利用导数分析其单调性和极值，画出图像，再由方程根的个数讨论函数零点的个数. （3）先证明当时，，构造函数，求导后分析单调性得到最小值可证明之；再由（2）知，当函数无极值点时，，则，取最小值取，则有，即可证明. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，则， 因为，所以．则在上单调递减， 又因为， 所以使得在上单调递增，在上单调递减． 因此，在上的最小值是与两者中的最小者． 因为， 所以函数在上的最小值为． 【小问2详解】 ， 由，解得， 易知函数在上单调递增，且值域为， 令，由，解得， 设，则， 因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减． 根据时，， 得的大致图像如图所示． 因此有： （ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点； （ⅱ）当时，， 设，则，令， 则在上时单调递增函数，即， 得，此时没有极值点； （ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点； （ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点． 综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛： （1）求函数在给定区间上的最值时，通常求导，利用导数的单调性分析最值，若在给定区间上不是单调的，常用零点存在定理分析其单调性，再比较区间的端点值找到最值. （2）讨论函数的极值点个数值，通常转化为分离参数，转化为两函数图像交点的个数或两函数相等时方程根的个数问题.用导数分析其单调性，求最值，再数形结合分析交点个数或方程根个数. （3）证明不等式成立问题时可采用构造函数，找到不等式一边的最小值大于另一边，或最大值小于另一边，即函数不等式恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $