第07讲 圆周角 （知识清单+7大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版）

第07讲 圆周角 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型六 已知圆内接四边形求角度 题型七 求四边形外接圆的直径 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型方法 【题型一】圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（    ）    A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 3．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【题型二】圆周角定理 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，三点在⊙O上，，则为（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点是的圆心，点、、在上，，，则的度数是 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【题型三】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列语句中，正确的是（　　） A．经过三点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各边距离相等 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．等弧所对的圆周角相等 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，弦，垂足为，连接，．求证． 【题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，C为上一点，连接、，过点O作于点D，交于点E，连接．若，，则的长是 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【题型五】90度的圆周角所对的弦是直径 【例5】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（    ） A．B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 【题型六】已知圆内接四边形求角度 【例6】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点A、B、C、D、E在上,且弧为，求的度数（　　）          A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在的内接四边形中，，点D是弧的中点． (1)当时，求的度数； (2)连接，当，时，求的长． 【题型七】求四边形外接圆的直径 【例7】 若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【举一反三】 1．下列语句中，正确的是（    ） A．同一平面内，三个点确定一个圆 B．同弧或等弧所对的圆周角相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形一定是矩形 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      好题必刷 一、单选题 1．圆内接四边形中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 3．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（   ） A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 5．如图，是的外接圆，，则的度数等于(  ) A． B． C． D． 6．在中，是外心，且，则的度数是（） A． B． C．或 D．或 7．已知⊙O的直径AB为2，,画一条弦AD=1,则的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　） A． B．5 C． D．5 9．下列命题中，正确的是（   ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 10．如图，、为⊙O的两条弦，若，，则⊙O的半径为（    ） A． B．5 C． D． 二、填空题 11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD= . 12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为 ． 13．在中，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 14．如图，已知点、、、均在以为直径的圆上，，平分，，四边形的周长为，则图中阴影部分的面积为 . 15．圆内接四边形中，，，的度数的比是，那么这个四边形的最大角的度数是 ． 16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为 17．如图，、是的半径，点B在上，连接、，若，则 度． 18．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）若取得最大值，则点在线段 上； （2）若，，则的最大值为 ． 三、解答题 19．的半径为1cm，为的内接三角形，且，求的度数. 20．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°求∠ABC的度数． 21．已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数． 22．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 23．如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长. 24．如图，是的一条弦，是弦上的点，，连接，分别延长交于两点．求证：． 25．如图，AB为的直径，C为上一点，连AC，BC，E为上一点，且，点F在BE上，于点D．求证：． 26．如图， A，是半圆上的两点，是的直径，，是的中点． (1)在上求作一点，使得最短； (2)若，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆周角 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型六 已知圆内接四边形求角度 题型七 求四边形外接圆的直径 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型方法 【题型一】圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】判断确定圆的条件、 三角形外接圆的概念辨析、圆周角的概念辨析及简单运算、利用垂径定理求解其他问题 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意； （2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意； （3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意； （4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（    ）    A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】本题考查了圆的认识，矩形的性质．四边形是扇形的内接矩形，根据矩形的性质半径，所以长度不变． 【详解】解：连接，    ∵四边形是扇形的内接矩形， ∴半径， ∴， ∴当点P在上移动时，的值保持不变， 故选：C． 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 【答案】斜边的中点 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半即可． 【详解】解：∵由三角形斜边的中线等于斜边的一半， ∴圆心O斜边上的中点到各顶点的距离相等． 故答案为：斜边的中点． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 3．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【知识点】等边对等角、圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 【题型二】圆周角定理 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，三点在⊙O上，，则为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，先根据圆周角定理得到，然后利用互余求解，理解题意熟练利用相关定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设中点为O，连接， 一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合， 点、、、都在以为直径的圆上， 点对应，即， ， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点是的圆心，点、、在上，，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，根据圆周角定理可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于． （1）连接，根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合外角的性质得出的度数； （2）根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合含角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， ， 是的直径， ， ， ， ； （2）所对的圆周角相等， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ． 【题型三】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列语句中，正确的是（　　） A．经过三点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各边距离相等 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【知识点】判断确定圆的条件、 三角形外接圆的概念辨析、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了确定圆的条件，三角形的外心的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据以上知识，对各个选项分别进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、经过不在同一条直线上的三个点一定可以作圆，故该选项不正确，不符合题意； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故该选项不正确，不符合题意； C、 同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故该选项不正确，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，三角形内角和定理的应用，证明，结合，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵ ∴， ∴； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则 ． 【答案】75°/75度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中． 连接．利用同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半即可求出，然后求出，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出． 【详解】解：如图，设圆与y轴负半轴交于点E，连接， ∵，， ， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，弦，垂足为，连接，．求证． 【答案】见解析 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了圆周角定理，等角对等边，熟练掌握圆周角定理是关键．求出得，再证明得，进而可证明． 【详解】证明：∵，垂足为， ∴． ∵，， ∴． ∴． 连接， ∴，． ∴． ∴． ∴， ∴． 【题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】此题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理可得出的度数，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，C为上一点，连接、，过点O作于点D，交于点E，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查圆周角的性质、三角形中位线及垂径定理，熟练掌握圆周角的性质、三角形中位线及垂径定理是解题的关键；连接，由题意易得，，然后根据勾股定理可得，，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 【题型五】90度的圆周角所对的弦是直径 【例5】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】根据“直径所对的圆周角等于”判断即可．本题主要考查圆周角的概念及“直径所对的圆周角等于”，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A. 角不是圆周角，故该工件不合格； B. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； C. 圆周角所对的弦是直径，故该工件合格； D. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ． 【答案】1或2 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、圆周角定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，含度的直角三角形的性质，度的圆周角所对的弦是直径，运用分类讨论思想是解题的关键．分两种情况：当点D在上时；当点D在上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点D在上时，如图： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在上时，如图： ∵，， ∴， ∴是的直径， ∴； 综上所述：或2， 故答案为：1或2． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 【答案】的半径为， 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了三角形外接圆、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意可得是的直径，，进而求得半径，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴是的直径， ∴ ∴的半径为 在中，． 【题型六】已知圆内接四边形求角度 【例6】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点A、B、C、D、E在上,且弧为，求的度数（　　）          A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得．本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵弧为， ∴， ∵点B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查院内接四边形的性质和圆周角定理.先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到解题即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 故选：C. 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 【答案】60 【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，最后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：60． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在的内接四边形中，，点D是弧的中点． (1)当时，求的度数； (2)连接，当，时，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据已知易得，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用圆的内接四边形的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）连接交于点E，连接，根据已知可得，再根据垂径定理可得，从而可得，，然后在中，利用勾股定理可得，最后设的半径为r，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接交于点E，连接， ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【题型七】求四边形外接圆的直径 【例7】 若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】求四边形外接圆的直径 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 【举一反三】 1．下列语句中，正确的是（    ） A．同一平面内，三个点确定一个圆 B．同弧或等弧所对的圆周角相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形一定是矩形 【答案】B 【知识点】垂径定理的推论、同弧或等弧所对的圆周角相等、判断确定圆的条件、求四边形外接圆的直径 【分析】根据圆的确定对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；根据垂径定理对C进行判断；根据圆内四边形的性质对D进行判断． 【详解】解：①当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此结论错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，故此结论正确； ③当弦为直径时就不一定垂直了，故此结论错误； ④圆内接四边形不一定是矩形，有可能是平行四边形或任意四边形，故此结论错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的确定、圆周角定理、垂径定理和圆内接四边形的性质等知识点，理解这些定理和性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求四边形外接圆的直径 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【详解】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．    ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、求四边形外接圆的直径 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【详解】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 好题必刷 一、单选题 1．圆内接四边形中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角．根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形，， ∴． 故选． 2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】根据“同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可. 【详解】∵∠AOB与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是关键. 3．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（   ） A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 【答案】D 【详解】解：根据题意得：∠AOC=2∠ABC， 当三角形为锐角三角形时，∠ABC=80°， 当三角形为钝角三角形时，∠ABC=100°． 故选：D 4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】根据圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵AB＝AD＝CD， ∴ ， ∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC， 设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， 即3x+75°＝180°， 解得：x＝35°， ∴∠DBC＝35°， 在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°， ∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°． 故选D． 【点睛】本题考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．如图，是的外接圆，，则的度数等于(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理以及圆周角定理；在等腰三角形中，由已知和三角形内角和定理求得顶角的度数，然后由同弧所对的圆周角是圆心角的度数一半的圆周角定理，求得答案． 【详解】在中，的半径)， 等边对等角)； ，， ； 又同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)， ， 故选B． 6．在中，是外心，且，则的度数是（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】该题主要考查了三角形的外心以及圆周角定理； 由于三角形的外心的位置的不同，应分为两种情况考虑：外心在三角形的内部或外心在三角形的外部．然后根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，结合一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行分析求解． 【详解】解：如图1，当三角形的外心在三角形的内部时，则； 如图2，当三角形的外心在三角形的外部时，则． 故选：C． 7．已知⊙O的直径AB为2，,画一条弦AD=1,则的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题分为两种情况：当AD和AC在圆的同侧或当AD和AC在圆的两侧．连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，运用锐角三角函数的知识求得∠BAD=60°，从而分别求得两种情况． 【详解】如图所示，连接BD. ∵AB是O直径， ∴∠ADB=90°. ∵AD=1，AB=2， ∴cos∠BAD=， ∴∠BAD=60°. 当AD和AC在圆的同侧时,则∠CAD=∠BAD−∠BAC=30°； 当AD和AC在圆的两侧时,则∠CAD=∠BAD+∠BAC=90°. 故选D. 【点睛】此题考查垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义，解题关键在于画出图形分情况讨论. 8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　） A． B．5 C． D．5 【答案】D 【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可． 【详解】连接OC、OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵AB为弦，点C为的中点， ∴OC⊥AB， 在Rt△OAE中，AE=， ∴AB=， 故选D． 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°． 9．下列命题中，正确的是（   ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【详解】解：根据圆周角定理可知：①顶点在圆周上且角的两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误； ②同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误； ③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确； ④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；根据不在一条直线上的三点可确定一个圆，故此选项正确； ⑤同弧所对的圆周角相等，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，故此选项正确； 故答案为③④⑤． 故选B． 10．如图，、为⊙O的两条弦，若，，则⊙O的半径为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】连接AD，作OE、ON分别垂直与BC和AD，连接OD，OB，设⊙O的半径为r．可得四边形EONP为矩形，CE=BE，AN=ND，在Rt△APB和Rt△CPD中根据勾股定理可得，在Rt△EOB和Rt△NOD中根据勾股定理可得，由此可得结论． 【详解】解：连接AD，作OE、ON分别垂直与BC和AD，连接OD，OB，设⊙O的半径为r． ∵OE、ON分别垂直与BC和AD， ∴CE=BE，AN=ND，∠ANO=∠OEB=90°， ∵∠ABC=∠ADC，， ∴， ∴∠CPD=90°， ∴四边形EONP为矩形， ∴OE=PN,EP=ON， 在Rt△APB和Rt△CPD中，根据勾股定理 ， ∴ ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质和判定等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 二、填空题 11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD= . 【答案】70° 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=35°， ∴∠BOD=2∠C=70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为 ． 【答案】130° 【分析】由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍可得∠AOD=50º，即可求出邻补解∠BOD. 【详解】解：∵∠ACD=25º， ∴∠AOD=50º， ∴∠BOD=180º-∠AOD=130º. 故答案为130º. 【点睛】本题主要考查了圆周角的定理. 错因分析 较易题.失分原因：不能正确应用圆周角定理将所求角与已知角联系起来. 13．在中，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】画出图形，可知弦所对的圆周角有两个，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，“圆的内接四边形对角互补”即可求解，本题考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是注意弦所对的圆周角有两个，且互补． 【详解】解：如图，和都是弦所对的圆周角， 弦所对的圆心角， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：或． 14．如图，已知点、、、均在以为直径的圆上，，平分，，四边形的周长为，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】根据，平分，可证得，再根据，可求出、的度数，再根据圆周角定理，可求得和是等边三角形，利用解直角三角形求出边上的高，根据，可得出，可求得结果. 【详解】连接、 平分 ， 和是等边三角形 ， ∵四边形的周长为 边上的高为： 故答案为 【点睛】此题综合考查了梯形的面积，三角形的面积以及等边三角形的判定和性质．作出辅助线构建等边三角形是解题的关键． 15．圆内接四边形中，，，的度数的比是，那么这个四边形的最大角的度数是 ． 【答案】135° 【分析】本题可设，则，；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A、∠C的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解． 【详解】设，则，， ∵四边形为圆内接四边形， ∴，即， ∴，则，，， ∴， ∴这个四边形的最大角的度数为． 故答案为：135度 【点睛】本题需仔细分析题意，利用圆内接四边形的性质和四边形的内角和即可解决问题． 16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为 【答案】4 【分析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，利用两点之间线段最短得到此时P′M+P′N的值最小，然后证明△OMN′为等边三角形得到MN′＝OM＝4，从而可判断PM+PN的最小值. 【详解】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′， ∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′， ∴此时P′M+P′N的值最小， ∵∠MAB＝20°， ∴∠MOB＝40°， ∵N是弧MB的中点， ∴∠NOB＝20°， ∵N点关于AB的对称点N′， ∴∠N′OB＝20°， ∴∠MON′＝60°， ∴△OMN′为等边三角形， ∴MN′＝OM＝4， ∴P′M+P′N＝4，即PM+PN的最小值为4. 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了最短路径问题的解决方法. 17．如图，、是的半径，点B在上，连接、，若，则 度． 【答案】80． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案． 【详解】解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角，，∴． 故答案为80． 18．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）若取得最大值，则点在线段 上； （2）若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据中位线定理知：当取得最大值时，就取得最大值，当最大时是的直径，即可得解； （2）如图，连接并延长交于点，连接，由（1）知，求得的直径后就可以求得最大值． 【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值， 当为的直径时最大，此时点在线段上， 故答案为：； （2）如图，连接并延长交于点，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴的最大值为， ∵和所对的弧是，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值为为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键是了解当什么时候的值最大． 三、解答题 19．的半径为1cm，为的内接三角形，且，求的度数. 【答案】或. 【分析】连接OB、OC，易证△OBC是直角三角形，然后分当圆心在内部和当圆心在外部两种情况，分别利用圆周角定理计算． 【详解】解：此题有两种情况. ①当圆心在内部时；如图所示. ，， . . ； ②当圆心在外部时，如图所示. 同理，，∠D=45°， ∵∠A+∠D=180°， ∴ . 综上所述，或. 故答案为或. 【点睛】本题考查圆周角定理，正确理解应分两种情况进行讨论是关键． 20．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°求∠ABC的度数． 【答案】∠ABC＝10°. 【分析】利用直径所对的圆周角是90°和三角形内角和定理解题即可 【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－80°－90°＝10°． 【点睛】考查圆周角知识点，灵活运用直径所对的圆周角是90°这一性质是关键 21．已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数． 【答案】130°,25°或50°，65°． 【分析】根据题意可分圆心在△ABC内部和在外部两种情况，然后根据圆的基本性质进行求解即可． 【详解】解：（1）当圆心O在△ABC外部时， 在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD， ∴∠BDC＝∠BOC＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°； ∴△ABC的顶角和底角分别为130°和25°； （2）当圆心O在△ABC内部时， ∠BAC＝∠BOC＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°． ∴△ABC的顶角和底角分别为50°和65°； 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 22．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)DF=2 (3)的最小值为 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可； （3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点． （2）解：， ， 而， 为的中位线， ， ． （3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，则，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 23．如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长. 【答案】3cm 【详解】试题分析：连接DC，根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=∠CAD，即可得到AC=CD，由AD是直径可得∠ACD=90°，再根据勾股定理即可求得结果. 连接DC, 则∠ADC=∠ABC=∠CAD, 故AC=CD. ∵AD是直径, ∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2, 即2AC2=36,AC2=18,AC=3. 考点：圆周角定理，勾股定理 点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注. 24．如图，是的一条弦，是弦上的点，，连接，分别延长交于两点．求证：． 【答案】详见解析 【分析】连接，由对边对等角及题意得出再根据全等三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：连接． ． 又 ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 25．如图，AB为的直径，C为上一点，连AC，BC，E为上一点，且，点F在BE上，于点D．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】由为的直径，得到，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】证明：为的直径， ， 于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和性质、等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．如图， A，是半圆上的两点，是的直径，，是的中点． (1)在上求作一点，使得最短； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）作出B关于CD的对称点，连接，交CD于P点，P就是所求的点； （2）延长AO交圆与E，连接，可以根据圆周角定理求得的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解： 作，交圆于，然后连接，交CD于P点，P就是所求的点； 此时： （2）延长AO交圆于E，连接． ∵， ∴， ∵∠AOD=80°，B是的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵AE是圆的直径， ∴， 而 ∴直角中，， ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得的度数是关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$