第07讲 用因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系（知识清单+3大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第07讲 用因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系 （知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 因式分解法解一元二次方程 题型二 换元法解一元二次方程 题型三 一元二次方程的根与系数的关系 知识清单 知识点1．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点3．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 题型方法 【题型一】因式分解法解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若二次三项式可以分解为，则方程的两根为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 3．（22-23九年级上·广西河池·期中）解方程： (1) (2) 【题型二】换元法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【题型三】一元二次方程的根与系数的关系 【例3】（23-24九年级上·广西河池·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则这两个根的和是（　　） A．6 B．3 C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．6 B． C．5 D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的方程的一个根1，则方程的另一个根为 ． 3．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)______，______； (2)； (3)． 好题必刷 一、单选题 1．关于x的方程的一个解是2，则k值为（　　） A．2或4 B．0或 C．4或0 D．或2 2．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．－1 3．分式的值为0，则( ) A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝－3或x＝－2 D．x＝±2 4．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（  ） A． B．4 C．25 D．5 5．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．一元二次方程的解是(　　　) A． B． C． D． 7．如果a、b为实数，满足，那么的值是（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知关于x的方程m2x2＋(4m－1)x＋4＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．± 9．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．23 B．15 C．10 D．5 10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ． 12．若实数、、满足：，则方程的解是 ． 13．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．已知实数a，b满足，，则= 15．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为 ． 16．已知m、n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝ ． 17．解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为： ；再求出原方程的解为 ； 18．观察下面的表格，探究其中的规律并填空： 一元二次方程 方程的两个根 二次三项式分解因式 x2﹣x﹣2=0 x1=﹣1，x2=2 x2﹣x﹣2=(x+1)(x﹣2) x2+3x﹣4=0 x1=1，x2=﹣4 x2+3x﹣4=(x﹣1)(x+4) 3x2+x﹣2=0 x1=，x2=﹣1 3x2+x﹣2=3(x-)(x+1) 4x2+9x+2=0 x1=，x2=﹣2 4x2+9x+2=4(x )(x ) 2x2﹣7x+3=0 x1= ，x2= 2x2﹣7x+3= ax2+bx+c=0 x1=m，x2=n ax2+bx+c= 三、解答题 19．解方程：3x（x+2）＝5（x+2） 20．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 21．利用因式分解法解下列方程 （1）(x－2) 2＝(2x-3)2    （2）           （3）         （4）x2-2x+3=0                  （5） 22．解方程： (1)； (2)． 23．解方程： （1）（配方法）； （2）． 24．【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值； 【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：； 对①式和②式分别乘以和得：；得：； 请根据以上过程算出和的值； 【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明． 25．阅读材料： 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则 x1+x2=﹣，x1•x2=，我们把这个命题叫做韦达定理，根据上述材料，解决下面问题： （1）一元二次方程 2x2﹣3x+1=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=(   )，x1•x2=(   ) ； （2）已 知 实 数 m 、n 满足 m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0 且 m≠n，求+的值； （3）若 x1，x2总是方程 2x2+4x+m=0 的两个根，求 x12+x22 的最小值． 26．一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程： 题目：当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数？ 解：因为：关于x的方程的两根互为相反数； 所以：设这个方程的两个根为k与； 所以： （1）式减（2）式得： 所以：或；把 ，代入（1）式，得 所以：或 (1)请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？ (2)如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 用因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系 （知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 因式分解法解一元二次方程 题型二 换元法解一元二次方程 题型三 一元二次方程的根与系数的关系 知识清单 知识点1．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点3．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 题型方法 【题型一】因式分解法解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：， 解得：． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若二次三项式可以分解为，则方程的两根为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴方程因式分解，得， ∴或， ∴，， 故选：． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解：， ， 解得：，， 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 3．（22-23九年级上·广西河池·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法。 （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可。 【详解】（1）解： 故或, 解得：． （2） 故或 解得：． 【题型二】换元法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ． 【答案】2023 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用换元的思想是解决问题的关键． 先把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，所以，然后解一次方程即可． 【详解】解：∵方程变形为， ∴此方程可看作关于的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于的一元二次方程有一个根为， 解得． 故答案为：2023． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 【题型三】一元二次方程的根与系数的关系 【例3】（23-24九年级上·广西河池·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则这两个根的和是（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程，两根之和． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：A． 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的方程的一个根1，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是先求出系数，再利用根与系数的关系进行求解． 【详解】解：的一个根1， 则将代入中，得， 解得：， ， 设另一个根为，根据根与系数之间的关系得：， 解得：； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)______，______； (2)； (3)． 【答案】(1)2，； (2) (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可得到答案； （3）利用一元二次方程的定义得到，再利用整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：2，； （2） （3）∵方程的两根为，， ∴，则， ∴ 好题必刷 一、单选题 1．关于x的方程的一个解是2，则k值为（　　） A．2或4 B．0或 C．4或0 D．或2 【答案】B 【分析】根据题意，将 代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程的一个解是2， ∴ ， 整理得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，根据题意得到是原方程的解是解题的关键． 2．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．－1 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，可得x1+x2=2，x12−2x1−1=0，两式相加，即可求解． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两个根， ∴x1+x2=1，x12−x1−1=0， 两式相加得：x12−x1−1+ x1+x2=1 移项得：x12 +x2=2 故选 B 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解的定义、根与系数的关系是解题的关键． 3．分式的值为0，则( ) A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝－3或x＝－2 D．x＝±2 【答案】A 【分析】分式的值为0时，需满足分子等于0，且分母不等于0，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，需满足分子等于0，且分母不等于0． 4．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（  ） A． B．4 C．25 D．5 【答案】A 【分析】先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：解方程，得， 即， ∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理得， 即菱形的边长为， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键． 5．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 6．一元二次方程的解是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键． 7．如果a、b为实数，满足，那么的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先把整理为，再根据算术平方根的非负性和平方的非负性，得出，，解出和的值，然后代入，计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得：或，， ∴或． 故选：C 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和平方的非负性、代数式求值、解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握二次根式和平方的非负性． 8．已知关于x的方程m2x2＋(4m－1)x＋4＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．± 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系得到＝1，解得m＝2或m＝−2，然后根据判别式的意义确定满足条件的m的值． 【详解】∵方程m2x2＋（4m−1）x＋4＝0的两个实数根互为倒数， ∴＝1，解得m＝2或m＝−2， 当m＝2时，方程变形为4x2＋7x＋4＝0，△＝49−4×4×4＜0，方程没有实数解， 所以m的值为−2． 故选B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了根的判别式． 9．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．23 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值． 【详解】解： ，是不为0的实数， 由 ，，得，， 又， ，为一元二次方程的两个不相等实根， ，， ， 故选：A． 10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论． 【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2． ①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1， ∵y1、y2均为负整数， ∴（y1+1）（y2+1）≥0， ∴2m-2n≥-1． ∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m， ∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1， ∵x1、x2均为负整数， ∴（x1+1）（x2+1）≥0， ∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1． ∴-1≤2m-2n≤1，③成立． 综上所述：成立的结论有①②③． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点． 二、填空题 11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】根据是关于的一元二次方程的一个根得到的值，进而解答即可．本题考查了一元二次方程的根，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴解得：， ∴一元二次方程的一般式为， ∴解得，， ∴这个方程的另一个根为， 故答案为． 12．若实数、、满足：，则方程的解是 ． 【答案】2与－1 【分析】由求得a、b、c的值，再代入方程中，解方程即可． 【详解】∵实数、、满足：， ∴， ∴a2-2a+1=0，b+1=0，c+2=0， ∴a=1，b=-1，c=-2， ∴方程为x2-x-2=0， ∴x1=2，x2=-1． 故答案为：2与－1． 【点睛】考查了解一元二次方程，解题关键是利用几个非负数的和为0，得到这几个数都为0，从而求得a、b、c的值． 13．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ，，， ． 故答案为：4． 14．已知实数a，b满足，，则= 【答案】2022 【分析】当时，a，b是方程的两根，由根与系数的关系可知，代入可以求值． 【详解】∵，，， ∴a，b是方程的两根， ∴， ∴===． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形结合是解题的关键． 15．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系． 16．已知m、n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝ ． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系得出m+n=2，mn=﹣7，根据m2﹣2m-7=0求出m2=7+2m，代入即可． 【详解】∵m、n是方程x2﹣2x﹣7=0的两个根，∴m+n=2，mn=﹣7，m2﹣2m﹣7=0，∴m2=2m+7，∴m2+mn+2n=2m+7+mn+2n=7+2×2+（﹣7）=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和和两根之积的表达式． 17．解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为： ；再求出原方程的解为 ； 【答案】 ，，， 【分析】设，则原方程可化为，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：， 设， 则原方程可化为， ， 解得：或1， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 即原方程的解为：，，，， 故答案为：；，，，． 【点睛】本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． 18．观察下面的表格，探究其中的规律并填空： 一元二次方程 方程的两个根 二次三项式分解因式 x2﹣x﹣2=0 x1=﹣1，x2=2 x2﹣x﹣2=(x+1)(x﹣2) x2+3x﹣4=0 x1=1，x2=﹣4 x2+3x﹣4=(x﹣1)(x+4) 3x2+x﹣2=0 x1=，x2=﹣1 3x2+x﹣2=3(x-)(x+1) 4x2+9x+2=0 x1=，x2=﹣2 4x2+9x+2=4(x )(x ) 2x2﹣7x+3=0 x1= ，x2= 2x2﹣7x+3= ax2+bx+c=0 x1=m，x2=n ax2+bx+c= 【答案】 +2 3 2(x﹣)(x﹣3) a(x﹣m)(x﹣n) 【分析】利用公式法对方程的左边进行因式分解． 【详解】解：； ； ． 一元二次方程 方程的两个根 二次三项式分解因式 x2﹣x﹣2=0 x1=﹣1，x2=2 x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2） x2+3x﹣4=0 x1=1，x2=﹣4 x2+3x﹣4=（x﹣1）（x+4） 3x2+x﹣2=0 x1= ，x2=﹣1 3x2+x﹣2=3（x-）（x+1） 4x2+9x+2=0 x1= ，x2=﹣2 4x2+9x+2=4（x+）（x+2） 2x2﹣7x+3=0 x1= ，x2=3 2x2﹣7x+3=2（x﹣）（x﹣3） ax2+bx+c=0 x1=m，x2=n ax2+bx+c=a（x﹣m）（x﹣n） 故答案是：；+2；；3；2(x﹣)(x﹣3)；a(x﹣m)(x﹣n) ． 【点睛】考查了解一元二次方程﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 三、解答题 19．解方程：3x（x+2）＝5（x+2） 【答案】x1＝﹣2，． 【分析】先进行移项，然后提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题. 【详解】原方程可化为： 解得：. 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法主要包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、提取公因式法等，熟记各解法是解题关键. 20．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 21．利用因式分解法解下列方程 （1）(x－2) 2＝(2x-3)2    （2）           （3）         （4）x2-2x+3=0                  （5） 【答案】（1）x =1,x = ；（2）x =0,x =4;（3）x =-1,x =1 ;（4）x =x =;（5）x =x =9; 【分析】直接利用因式分解法和直接开平方法进行计算即可 【详解】原式=(x－2) 2-(2x-3)2=0 ∴（1-x）（3x-5）=0 x =1,x = ; （2）原式=x(x-4)=0 x =0,x =4; （3）原式= = x =-1,x =1 ; （4）原式= =0 x =x =; （5）原式= x =x =9; 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法和直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则 22．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）根据因式分解法进行求解方程即可； （2）根据配方法进行求解方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 解得：， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 23．解方程： （1）（配方法）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）按照配方法的基本步骤求解即可． （2）利用因式分解法计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择解题的方法是解题的关键． 24．【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值； 【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：； 对①式和②式分别乘以和得：；得：； 请根据以上过程算出和的值； 【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明． 【答案】基础感知：；尝试应用：，；拓展提升：，证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 基础感知：先利用因式分解法解一元二次方程得出，，结合题意得出，，计算即可得出答案； 尝试应用：由基础感知得：，，再结合题意计算即可得出答案； 拓展提升：由题意得出，两边都乘以得：①， 同理可得：②，由得出，即可得出答案． 【详解】解：基础感知：∵， ∴， 解得：，， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴； 尝试应用：由基础感知得：，， ∴，； （3）猜想： 证明：一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由，得：， ∵，，， ∴，即． 25．阅读材料： 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则 x1+x2=﹣，x1•x2=，我们把这个命题叫做韦达定理，根据上述材料，解决下面问题： （1）一元二次方程 2x2﹣3x+1=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=(   )，x1•x2=(   ) ； （2）已 知 实 数 m 、n 满足 m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0 且 m≠n，求+的值； （3）若 x1，x2总是方程 2x2+4x+m=0 的两个根，求 x12+x22 的最小值． 【答案】（1），；（2）﹣1；（3）x12+x22的最小值为 2． 【分析】（1）直接利用韦达定理求解； （2）利用已知条件可把 m、n 看作方程 x2﹣x﹣1=0 的两根，利用根与系数的 关系得到 m+n=1，mn=﹣1，而，然后利用整体代入的方法计算； （3）先利用判别式的意义求出 m≤2，再利用根与系数的关系得到 x1+x2=-2， x1•x2=，由于x12+x22=（x1+x2）2﹣2 x1•x2，从而可根据 m 的范围确定x12+x22的最小值． 【详解】（1）x1+x2=，x1•x2=； （2）∵实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0 且m≠n， ∴m、n可看作方程x2-x-1=0的两根， ∴m+n=1，mn=-1， ∴+=-1； （3）∵△=42﹣4×2×m≥0， ∴m≤2， 根据题意得x1+x2=-2，x1•x2=， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4-m， ∵m≤2， ∴4-m≥2， ∴x12+x22的最小值为 2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系及判别式的意义． 26．一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程： 题目：当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数？ 解：因为：关于x的方程的两根互为相反数； 所以：设这个方程的两个根为k与； 所以： （1）式减（2）式得： 所以：或；把 ，代入（1）式，得 所以：或 (1)请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？ (2)如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正． 【答案】(1)不正确，检验见解析； (2)不正确，见解析； 【分析】（1）将或代入解方程得到答案判断即可得到答案； （2）根据（1）判断，并根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①当时，原方程化为： 解得：，，符合题意， ②当时，原方程化为：， 解得：，，不符合题意， 故小明同学解题过程不正确； （2）解：由（1）得，不正确， 根据判别式可得：， ∴方程的两个根不相等， ∴， 当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数，解决这类问题，要根据根与系数的关系来解决， 由根与系数关系可得：，解得：， 错误的原因是没有注意判别式与根的情况，解决此类题最直接的方法是利用根与系数的关系求解． 【点睛】本题考查根与系数的关系及根与判别式之间的关系，解题的关键是熟练掌握，，，时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$