第06讲 二次函数与一元二次方程 （知识清单+10大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第06讲 二次函数与一元二次方程 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 抛物线与x轴的交点问题 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 图象法解一元二次不等式 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十 根据交点确定不等式的解集 知识清单 知识点1.二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点3．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 题型方法 【题型一】求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵二次函数中的， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点P在y轴右侧的抛物线上，且不与点B重合，当时，点P的坐标为（   ） A．或 B．或， C．或， D．或， 【答案】C 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数与面积的综合问题，先根据抛物线与y轴交点求出c的值， 再求出二次函数于x的交点坐标，设，根据已知条件可得出，解绝对值方程进而可求出点P的坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线为， 另，则， 解得：，， 则，， ∴， 设， ∵， ∴ 即， 解得：（舍去），，，（舍去）， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选：C 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键．将点代入抛物线，求解即可获得答案． 【详解】解：将点代入抛物线， 可得，解得． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求三点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)的面积为3． 【知识点】坐标与图形综合、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析求解一元二次方程再结合题意即可求得点A、B的坐标； 将代入二次函数解析，即可求得C点坐标； （2）由三点的坐标可得的长，然后根据三角形的面积公式可得的面积为，最后代入数据求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得： ，解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴． 将代入可得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 答：的面积为3． 【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系，抛物线与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟悉用一元二次方程处理二次函数的问题是解决此题的关键．令，解方程即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时，， 解得， ∴该函数与x轴的交点坐标为，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．令，求出的值，即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：时，， 所以，图象与轴交点的坐标是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 【答案】，， 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴． 【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】B 【知识点】利用平方根解方程、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，表格可知，当，，当，，代入解析式可得，，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， ∴，， ∴，， ∴是方程的两根， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数的图象经过点，，可以得到方程解为，，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【解答】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴当时，可以得到方程解为或， ∵方程可以转化为方程， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查求二次函数的解析式，求自变量的值： （1）直接利用两点式，写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（、为常数）的图象经过点，， ∴， ∴顶点坐标为； （2）当时，， 解得：，． 【题型四】抛物线与x轴的交点问题 【例4】（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线与直线的交点横坐标分别是和1，抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题抛物线与轴的交点和抛物线上点的坐标特征，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．求出抛物线的表达式，可得，再根据求解． 【详解】解：当时，，当时，， 即抛物线过点、， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，得， 解得：， 抛物线与轴的其中一个交点的横坐标为，另外一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足， ， 即， 解得：， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，先求出m的值，然后把m代入，并解方程即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴化简为， 解得，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如果一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，都是“二倍点”．若关于的二次函数（，为常数，）总有两个不同的二倍点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查反正比例函数，二次函数的图象上点坐标的特征，新定义，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．根据新定义得“二倍点”所在直线为，再联立两函数解析式，得方程，再根据抛物线上有两个不同的“二倍点”，得方程总有两个不相等的实数根，然后由根的判别式求解即可． 【详解】解：由“二倍点”定义知，该点在直线， 联立， 整理得：， 则，即， ，该抛物线开口向上， ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线．若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是熟练掌握抛物线与x轴有两个交点判别式大于0． 根据抛物线与x轴有两个交点，判别式大于0列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：． 【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．根据直线与二次函数的关系式得出方程，再整理并进行判断即可． 【详解】解：A．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（1）符合题意； B．由题意令得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（2）符合题意； C．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（3）符合题意； D．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（4）符合题意； 故选：D 【举一反三】 1．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若，是一元二次方程的两个根，则； ③若的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则或． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义的概念，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，根据新定义得到正确的函数，且能准确理解题意是解题的关键．根据新定义的概念，利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，逐一对选项进行判断即可解答． 【详解】解：当时，，故①不正确； 由题意可得， 根据，可得，， 原式，故②错误； ， 当时，解得， 存在两种情况，使得直线与有三个交点， ①当经过点时，直线与有三个交点， 把代入，可得， 解得； ②当与只有一个交点时，直线与有三个交点， 可得， 经整理可得， ， 解得， 综上所述，的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或，故③正确， 故正确的有1个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则关于的一元二次方程的两个实数根是 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，求出对称轴，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是， ∴另一个交点的坐标为：， ∴关于的一元二次方程的两个实数根是； 故答案为： 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 【题型六】求x轴与抛物线的截线长 【例6】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求x轴与抛物线的截线长、已知两点坐标求两点距离 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、求x轴与抛物线的截线长 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 2．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 【答案】 4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长． 【详解】解：∵中，，顶点坐标为， ∴抛物线解析式为，则， 令，则， 解得： ∴, 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根 【例7】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是． 【详解】解：从表中可以看出： 当时，， 当时，， 当时，对应的值的取值范围是． 故选：C ． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、图象法确定一元二次方程的近似根、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 【答案】(1)的解是，． (2)画图见解析 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查的是利用图象法求解一元二次方程的解，掌握数形结合的方法是关键； （1）由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，，即方程的解； （2）由方程可得其解是函数函数与直线的交点的横坐标；或函数与直线的交点的横坐标；再画图即可． 【详解】（1）解：由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，， ∴，是方程的解； ∴的解是，． （2）解：如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； 如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； ； 【题型八】图象法解一元二次不等式 【例8】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集 ． 【答案】或 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先把点和的坐标分别代入中得到方程组，解之即可得到、的值，从而得到抛物线解析式，然后解方程可得B点坐标； （2）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：二次函数经过点和点 解得： 二次函数解析式为 当时， 解得：， 的值为；点的坐标为． （2）解：观察图象可知，当时， 不等式的解集为． 【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围 【例9】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 2．（22-23九年级上·北京·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南漯河·期末）已知抛物线． (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)填空： ①点和在抛物线上，则线段的长为_______； ②当时，则y的取值范围是______________． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，运用分类讨论的思想求解． （1）把抛物线解析式转化为顶点式即可求解； （2）①令求出的值，即可求出线段的长；②由（1）知抛物线的顶点坐标，再将代入解析式求出相应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：， 整理得， 即， ∴， 则该抛物线的顶点坐标为； （2）解：①令，则， 解得：， 即线段的长为：； ②由（1）抛物线的顶点坐标为，且开口向上，则当时，该抛物线有最小值， 当时，， 当时，， ∴时，y的取值范围是． 【题型十】根据交点确定不等式的解集 【例10】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图象可得出当时对应的x的值，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，，， 结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合图象可直接得出答案． 【详解】解：由图象可得，不等式的解集为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，直线和抛物线都经过点． (1)求m的值和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集．（直接写出答案） 【答案】(1)，抛物线解析式为 (2)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了的待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系， （1）先把点坐标代入直线解析式，求出点坐标，再把、坐标代入抛物线解析式求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象的交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中得， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：由函数图象可知，当或时抛物线的函数图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 好题必刷 一、单选题 1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(   ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 【答案】D 【详解】解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（-1，0），（4，0）， ∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4． 故选D． 2．在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意观察的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可. 【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：，， 所以方程的近似解是，. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解进行分析. 3．在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据点A在抛物线上，先求出a的值，进而求出B的坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是 ∴0=a+4a+2 ∴a= ∴ 当y=0时，， 解得 ∴B（5，0） ∴AB=5-（-1）=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解题的关键． 4．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得出抛物线的解析式，进而利用根的判别式以及二次函数图象的性质进行分析计算即可． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴将代入可得， ∵对称轴直线， ∴，解得， ∴抛物线为， ∴， ∵关于的方程在的范围有实数根， ∴，解得， 且同时满足当，以及当，解得（舍去）， 或者当，以及当，解得， 综上可得的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图象的性质并运用数形结合思维分析是解题的关键． 5．如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称轴是，求出，设的另一根为m，利用根与系数的关系可得：，即可求出m． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴，即， 设的另一根为m， 利用根与系数的关系可得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质． 6．抛物线y=2x2－2x+1与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】根据一元二次方程2x2-2+1=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=2x2-2+1-与x轴的交点个数． 解：当y=0时，2x2-2+1=0．∵△=（-2）2-4×2×1=0，∴一元二次方程2x2-2+1=0有两个相等的实数根，∴抛物线y=2x2-2+1与x轴有一个交点，∴抛物线2x2-2+1=0与两坐标轴的交点个数为2个． 故选C． 7．已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（　　） A．2009 B．2012 C．2011 D．2010 【答案】B 【详解】∵物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0）， ∴将x=m，y=0代入抛物线解析式得：m2-m-1=0， ∴m2-m=1， 则m2-m+2011=1+2011=2012． 故选：B. 8．若，为抛物线与x轴相交的两交点的横坐标，则的值为（    ） A． B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知，为方程的两个根，将代入可得关于的方程，由根系关系可得+与的值，将上述得到的式子代入要求的代数式，化简代入即可求值. 【详解】令y=0可得：，则，为此方程的两个根， 且，可得， 由根与系数关系可得：，， 原式= = = =12 故答案为：B. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练运用公式进行计算是解题的关键. 9．如图，抛物线（是常数，）与轴交于两点，顶点给出下列结论：①；②若在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】利用二次函数的图象及性质一一判断即可． 【详解】解:∵-＜，a＞0， ∴a＞-b， ∴2a=a＋a＞a－b ∵x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0， ∴2a+c＞a-b+c＞0，故①错误； 若，，在抛物线上， 由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确； ∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n， ∴ax2+bx+c-t=0有实数解 要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误； 设抛物线的对称轴交x轴于H． ∵， ∴b2-4ac=4， ∴x=， ∴|x1-x2|=， ∴AB=2PH， ∵BH=AH， ∴PH=BH=AH， ∴是直角三角形， ∵PA=PB， ∴是等腰直角三角形，故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，此题难度较大，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点A，B都在直线的上方，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴，∵点和两点都在直线的上方且，∴，∴，∴①，又∵，∴，∴，∴，，∴，∴②，由①②得． 二、填空题 11．已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数与轴的交点分别为：，, ∴二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 12．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是 【答案】或 【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为，则， 解得：． ∴方程的解为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键． 13．抛物线与x轴交点个数为 个． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数． 先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义可得到抛物线与x轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有2个交点． 故答案为：． 14．当 时，函数的最小值为． 【答案】 【分析】利用配方法将二次函数化为顶点式，即可求最值． 【详解】解：y＝2x2＋3mx＋2m＝2（x＋m）2−m2＋2m． 因为函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为． 所以−m2＋2m＝， 解得 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值．当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． 15．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表 x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3    下列结论： ①ac＜0；                 ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； ③当时，；    ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.    其中正确的结论是 （填正确结论的序号）. 【答案】①③④． 【详解】试题解析：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5， ∴， 解得， ∴y=-x2+3x+3， ∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确； 对称轴为直线x=-， 所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； 当x=2时，y=-4+4+3=3；故③正确. 方程为-x2+2x+3=0， 整理得，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， 所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故④正确. 综上所述，结论正确的是①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键． 16．若二次函数（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 1 0 1 2 … y … 0 2 2 0 4 … 则当 时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是，把点的坐标代入求出该二次函数的表达式是；再画出图象，即可利用图象法求解． 【详解】解：根据表中可知：点和点关于对称轴对称， 即对称轴是直线， 设二次函数的表达式是， 把点和点代入得：， 解得：，， ， 所以该二次函数的表达式是； 函数图象如图所示， 由图象可得∶当时， ， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键． 17．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题：①当时，；②若，则；③抛物线上有两点和，若，且，则；④点关于抛物线对称轴的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．其中真命题的序号是 ． 【答案】③ 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号； ②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值； ③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2； ④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答． 【详解】①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误； ②二次函数对称轴为x=-=1，当a=-1时有 =1，解得b=3，故本选项错误； ③∵x1+x2＞2， ∴＞1， 又∵x1-1＜0＜x2-1， ∴Q点距离对称轴较远， ∴y1＞y2，故本选项正确； ④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值． 当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）； 则DE=. ∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误． 正确的有1个． 故答案为：③. 【点睛】考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称—最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 18．因为方程的根是 ， ，所以抛物线与轴的公共点坐标是 和 ． 【答案】 【分析】先根据因式分解法解一元二次方程，再根据方程的根就是对应抛物线与轴的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：， ， ，， 方程的根就是对应抛物线与轴的交点的横坐标， 抛物线与轴的公共点坐标是，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，抛物线与轴的交点，熟练掌握方程的根就是对应抛物线与轴的交点的横坐标是解题的关键． 三、解答题 19．已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【答案】见解析 【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明． 【详解】证明：∵， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键． 20．已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为. （1）求这个函数的解析式、函数的开口方向、对称轴； （2）当时，x的取值范围. 【答案】（1），抛物线开口向上，对称轴为：；（2）或． 【分析】（1）由题意得：函数的对称轴为，此时，则函数的表达式为：，即可求解． （2）根据函数图象即可得出结论. 【详解】解：（1）∵和点是抛物线与x轴的交点， ∴函数的对称轴为， 又因为有最小值为. ∴抛物线的顶点为（1，-2），则函数的表达式为：， 把点坐标代入上式得，解得：， 则函数的表达式为： ，抛物线的开口向上， 对称轴为：； （2）由函数图象可知： 当时，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数基本性质和二次函数与不等式的关系.二次函数的开口方向、对称轴、的取值范围都是函数的基本属性，是一道基本题． 21．已知二次函数 (1)画出这个函数的图象； (2)根据图象，求出当时，x的取值范围？ (3)请直接写出与该函数图象关于原点成中心对称的抛物线的函数关系式______． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象， （2）根据函数图象直接写出x的取值范围即可求解； （3）先求得原抛物线的顶点关于原点的对称点，进而根据中心对称的性质，开口大小不变，方向改变，即可求解． 【详解】（1）解：∵ 二次函数的顶点坐标为：， 图象如图： （2）根据函数图象可知，当时，或； （3）∵， 二次函数的顶点坐标为：，关于原点对称的坐标为， ∵关于原点成中心对称的抛物线，开口大小不变，只改变方向， ∴关于原点成中心对称的抛物线的函数关系式为， 即． 【点睛】本题考查了画二次函数图象，中心对称的性质，将二次函数一般式化为顶点式，根据图象求不等式的解集；掌握以上知识是解题的关键． 22．已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … …    (2)根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； (3)当时，的取值范围为_________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【详解】（1）解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画出函数图象，如图：    （2）由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； （3）由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 23．抛物线与x轴的交点分别为，． （1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）若，求此抛物线的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）证明Δ＞0即可； （2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程的两根，利用根与系数的关系得到x1＋x2＝-＝8，x1•x2＝，再变形|x1−x2|＝2得到（x1＋x2）2−4x1•x2＝4，所以82−4•＝4，然后解出m即可得到抛物线解析式． 【详解】（1）证明：△＝64m2−4m•（16m−1）＝4m， ∵m＞0， ∴Δ＞0， ∴抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）根据题意，x1、x2为方程的两根， ∴x1+x2＝-＝8，x1•x2＝， ∵|x1−x2|＝2， ∴（x1+x2）2−4 x1•x2＝4， ∴82−4•＝4， ∴m＝1， 经检验：符合题意； ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 24．已知关于x的二次函数和一次函数． (1)若，求二次函数图象的顶点坐标； (2)已知二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离等于3， ①求此时k的值； ②若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)①1或；②当时，或；当时， 【分析】（1）直接将k的值代入得出关系式，再配方得出答案； （2）①先求出图象与x轴的交点坐标，再根据两点之间的距离得出方程，求出解即可； ②根据①中的两种情况画出图象，求出交点坐标，观察图象的位置可得答案． 【详解】（1）当时，， ∴二次函数图象的顶点坐标； （2）①令，即， 解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为，， 根据题意，得＝3，解得，； ②当时，， 函数和的大致图象如答图①所示， 令，即， 解得或． 由图象，知当或时，． 当时，函数和的大致图象如答图②所示，令， 即， 解得，. 由图象，知当时，．     图①　　　　　　　图② 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，求二次函数的顶点，两点之间的距离，理解函数图象在上方的函数值大是解题的关键． 25．已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴交点坐标，并画出函数大致图象；    （2）根据图象直接回答：当x为何值时，？当x为何值时？ 【答案】（1）顶点坐标为（，），与y轴的交点坐标为（0，-3），与x轴的交点坐标为（，0），（-1，0），图像见解析；（2），；当或， 【分析】（1）先将化成顶点式，从而确定顶点坐标，然后分别令x=0、y=0确定函数图像与y轴和x轴的交点坐标，再描出顶点以及与y轴和x轴的交点，最后用平滑曲线连接即可； （2）通过函数图像以及函数图像与x轴、y轴的交点坐标即可确定解集 【详解】解：， 顶点坐标为， 当时，； 当时，， 解得：，或， 二次函数的图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，； 图象如图所示：    当，； 当或，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、抛物线与x轴的交点、二次函数的顶点式灯知识点；掌握二次函数的图象特点以及将其化成顶点式是解答本题的关键． 26．如图，已知二次函数的图像经过，两点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当为何值时，？ （3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标． 【答案】（1），直线；（2）当时，；（3）点坐标为： 【详解】解：（1）二次函数的图像经过，两点． ， 解得：， ， ， ， ， 对称轴为：直线． （2）当， ， ， ，， 抛物线与轴交点坐标为：，，，， 当时，； （3）当矩形为正方形时， 假设点坐标为， 点坐标为，， 即：，， 对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等， ， 解得：，（不合题意舍去）， 时，， 点坐标为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数与一元二次方程 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 抛物线与x轴的交点问题 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 图象法解一元二次不等式 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十 根据交点确定不等式的解集 知识清单 知识点1.二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点3．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 题型方法 【题型一】求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点P在y轴右侧的抛物线上，且不与点B重合，当时，点P的坐标为（   ） A．或 B．或， C．或， D．或， 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 3．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求三点的坐标； (2)求的面积． 【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系，抛物线与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C．， D．， 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 【题型四】抛物线与x轴的交点问题 【例4】（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线与直线的交点横坐标分别是和1，抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如果一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，都是“二倍点”．若关于的二次函数（，为常数，）总有两个不同的二倍点，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线．若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若，是一元二次方程的两个根，则； ③若的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则或． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则关于的一元二次方程的两个实数根是 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【题型六】求x轴与抛物线的截线长 【例6】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【举一反三】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 3．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根 【例7】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 【题型八】图象法解一元二次不等式 【例8】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集 ． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围 【例9】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 2．（22-23九年级上·北京·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·河南漯河·期末）已知抛物线． (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)填空： ①点和在抛物线上，则线段的长为_______； ②当时，则y的取值范围是______________． 【题型十】根据交点确定不等式的解集 【例10】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，直线和抛物线都经过点． (1)求m的值和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集．（直接写出答案） 好题必刷 一、单选题 1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(   ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 2．在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 4．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（    ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C． D．0 6．抛物线y=2x2－2x+1与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（　　） A．2009 B．2012 C．2011 D．2010 8．若，为抛物线与x轴相交的两交点的横坐标，则的值为（    ） A． B．12 C．14 D．15 9．如图，抛物线（是常数，）与轴交于两点，顶点给出下列结论：①；②若在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点A，B都在直线的上方，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线 ． 12．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是 13．抛物线与x轴交点个数为 个． 14．当 时，函数的最小值为． 15．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表 x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3    下列结论： ①ac＜0；                 ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； ③当时，；    ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.    其中正确的结论是 （填正确结论的序号）. 16．若二次函数（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 1 0 1 2 … y … 0 2 2 0 4 … 则当 时，y的取值范围为 ． 17．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题：①当时，；②若，则；③抛物线上有两点和，若，且，则；④点关于抛物线对称轴的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．其中真命题的序号是 ． 18．因为方程的根是 ， ，所以抛物线与轴的公共点坐标是 和 ． 三、解答题 19．已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 20．已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为. （1）求这个函数的解析式、函数的开口方向、对称轴； （2）当时，x的取值范围. 21．已知二次函数 (1)画出这个函数的图象； (2)根据图象，求出当时，x的取值范围？ (3)请直接写出与该函数图象关于原点成中心对称的抛物线的函数关系式______． 22．已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … …    (2)根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； (3)当时，的取值范围为_________． 23．抛物线与x轴的交点分别为，． （1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）若，求此抛物线的解析式． 24．已知关于x的二次函数和一次函数． (1)若，求二次函数图象的顶点坐标； (2)已知二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离等于3， ①求此时k的值； ②若，求x的取值范围． 25．已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴交点坐标，并画出函数大致图象；    （2）根据图象直接回答：当x为何值时，？当x为何值时？ 26．如图，已知二次函数的图像经过，两点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当为何值时，？ （3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$