第06讲 比例线段 （知识清单+7大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第06讲 比例线段 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 题型七 相似多边形的性质 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型方法 【题型一】成比例线段 【例1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故，，，是成比例线段，符合题意； B、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； C、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； D、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义解答即可． 【详解】解：∵b是a，c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长度为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺为，列出方程，解比例即可． 【详解】解：设两地的实际距离是， 根据题意得， 解得：， ， ∴两地的实际距离是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 【题型二】比例的性质 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知两个数2、8，则2和8的比例中项为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设2和8的比例中项为， 则：， ∴， ∴； 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段、比例的性质 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知线段，满足，那么等于 ． 【答案】/2 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的基本性质，解题的关键是根据基本性质灵活进行变形，从而求解． 根据比例的基本性质可得，再去括号，合并同类项，进行变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知 ，且，求的值 【答案】33 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【题型三】比例线段 【例3】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为 ． 【答案】60 【知识点】比例线段 【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺及图上距离可得实际距离． 【详解】∵比例尺为，且的图上距离是3， ∴两地间实际距离是． 故答案为：60． 3．（九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，直线交坐标轴于A,B两点，与反比例函数交于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D．若，求k的值． 【答案】． 【知识点】比例线段、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先根据一次函数的解析式求出点的坐标，从而可得的长，设点的坐标为，再根据已知的比例式可求出的值，从而可得点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，即， 由题意，可设点的坐标为，则， ， ， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ， 则点的坐标为， 将点代入得：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、比例的性质，根据比例式求出点的坐标是解题关键． 【题型四】由平行判断成比例的线段 【例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线，下列比例式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，故A、B、C正确，不符合要求； 无法判断，故D错误，符合要求； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线交分别于点，直线交分别于点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了由平行线判断成比例的线段，根据由平行线判断成比例的线段进行解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵直线， ∴、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中、已知，，，，求的长．    【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，由题意得到即可求出的值，得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型五】由平行截线求相关线段的长或比值 【例5】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意可得，代入数据求出，即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形准确作出平行线是解题的关键．过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点D作交于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 【题型六】黄金分割 【例6】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】∵线段，C是线段的黄金分割点， 当时， 解得； 当时， 解得； 解得． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算．根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某班级组织元旦晚会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若某中学舞台长为，试计算主持人应走到离A点 m处最佳（离A较近的位置）．（，结果精确到） 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，黄金分割比为．根据黄金分割即可求解． 【详解】解：依题意，主持人应走到离点至少． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【知识点】黄金分割、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 【题型七】相似多边形的性质 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】根据题意可知，矩形与矩形相似， ， 设,， 则， ，即， ，， 原矩形长与宽的比为， 故选：C． 2．（九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】设，从而可得，根据相似图形的性质可得，化简可得，由此即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题关键． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形，使得新矩形矩形，求的长 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】根据正方形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵是边长为2的正方形， ∴， ∵是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得：= （负数舍去）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和相似多边形的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．菱形都是相似图形 B．各边对应成比例的多边形是相似多边形 C．等边三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似图形 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误； B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误； C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边和角两个方面考虑． 2．如图，点，分别在，上，，，若，则的长为（    ） A．10 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∴EC=10 ∴AC=AE+EC=16． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的基础—平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟悉平行线分线段成比例定理． 3．在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积是（ ） A．2000cm² B．2000000cm² C．4000cm² D．4000000cm² 【答案】B 【分析】设一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是Scm2，根据题意得出 求出即可． 【详解】解：设一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是Scm2， 根据题意得： 解得：S＝2000000， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似多边形的面积比等于相似比的平方． 4．如图，点C是线段AB的黄金分割点，（），下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】设AB为整体1，BC的长为x，则AC=1-x， 根据黄金分割定义，得， ∴， 所以B选项正确，不符合题意； 由，得：， 解得（不符合题意，舍去）． ∴， 所以A、D选项正确，不符合题意； 所以C选项错误，符合题意； 故选 C 【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题关键． 5．宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金比值是列出算式，计算即可． 【详解】解：如图，由题意得： ， 又∵， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 叫做黄金比． 6．如图，已知直线，分别交直线m，n于，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】A． ，选项正确，故不符合题意；     B． ，选项正确，故不符合题意；     C． ，选项不正确，故符合题意；         D． ，选项正确，故不符合题意．     故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质． 7．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 8．如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ） A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似 【答案】A 【分析】根据矩形的性质以及已知条件AP：PC=AD：AB=4：3，求得结果，采用排除法，得出正确答案． 【详解】如图， ∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC， ∴， ∴甲与丁相似，故选项B错误， ∵当， AM=EP， ∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误， ∵，，DM=PF， ∴当，MP=AE， ∴甲与乙一定不相似，故选项A正确， 无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误， 故选A． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 9．如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，则DF的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=6，CE=2，BD=4， ∴ 即，解得DF=． 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90º，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作FH⊥AC于H，则△AFH∽△AEC，设FH为x，由已知条件可证明△CHF是等腰直角三角形，用x分别表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CD-CF即可求解． 【详解】如图，过点F作FH⊥AC于H．    在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴AB= ， ∵CD⊥AB， ∴CD=AD= ， ∵FH∥EC， ∴， ∵EC=EB=2， ∴， ∴设FH=，则AH=，CH=4-， ∵∠FCH=45° ∴CH=FH ∴ 解得 ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形． 二、填空题 11．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为 cm（结果精确到0.1 cm）． 【答案】6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割． 【详解】由题意知AC:AB=BC:AC， ∴AC:AB≈0.618， ∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm) 故答案为6.2. 【点睛】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理. 12．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点是的黄金分割点，若线段的长为6cm，则的长为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为6cm， ∴， ∴AP＝cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据比例性质可得7b=3（3a+5b），-8b=9a,可得. 【详解】由得，7b=3（3a+5b）, 所以，-8b=9a, 所以，. 故答案为. 【点睛】本题考核知识点：比例性质.解题关键点：熟记比例性质. 14．已知点P在线段AB上，且AP：PB=2：5，则AB：PB= ，AP：AB= ． 【答案】 7：5； 2：7． 【分析】根据直接求解即可． 【详解】解：由题意AP：PB=2：5， AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+5）：5=7：5； AP：AB=AP：（AP+PB）=2：（2+5）=2：7．     故答案为7：5；2：7． 【点睛】本题考查比例的合比性质和反比性质，解题关键是能够根据已知条件得到线段之间的关系． 三、解答题 15．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 【答案】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，， 解得：． 【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有，那么就说这四条线段成比例． 16．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？ 【答案】C、D是黄金分割点. 【分析】根据题意求出AC与AB的关系，计算出AD与AB的关系，根据黄金比值进行判断即可． 【详解】解：C、D是黄金分割点， ∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD， ∴AC＝AB， AD＝AC+CD＝AB+(﹣2)AB＝AB， ∴D是AB的黄金分割点， 同理C也是AB的黄金分割点． 【点睛】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比. 17．已知 (1)求： (2)求证： 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解. (2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证. 【详解】(1)解：由 可设a=2k，b=3k ∴. (2)证明：由(1)得，=， ∴ 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键. 18．已知、、是的三边长，且. （1）求的值； （2）若的周长为90，求各边的长. 【答案】（1）；（2）各边的长为：30，24，36 【分析】利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴设a=5x，b=4x，c=6x， ∴， （2）∵的周长为90， ∴a+b+c=90 ∴5x+4x+6x=90 ∴x=6 ∴各边的长为：30，24，36 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 19．已知，求的值． 【答案】 【分析】由比例的性质，求出，，，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，设比值为，即， 则，，． ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题． 20．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=4cm，求BC的长 【答案】12cm 【详解】分析：因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长． ∵DE∥BC， ∴，又∵ ∴， ∴∴BC=12cm． 故答案为12cm． 21．已知：在中，为上一点，，分别交、、于点、、，求证：． 【答案】详见解析. 【分析】由平行可得，设，则可得AE=kBE，AF=kFD，AG=kGC，则可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴ 设，则可得，，， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键．注意参数法的应用． 22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：． 【答案】见解析. 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可证明； 【详解】证明：∵DE∥BC， ∴=， ∵DF∥BE， ∴=， ∴=． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 23．如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比． 【答案】 【详解】试题分析：设原矩形的长与宽分别为a、b，表示出剩下矩形的长与宽，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求解． 试题解析： 设原矩形的长是a，宽是b，则DE＝CF＝a－b，已知＝，即＝，整理，得a2－ab－b2＝0，两边同除以b2，得()2－－1＝0，解得＝或 (舍去)．∴长与宽的比为. 点睛：本题考查了相似多边形的性质，设原矩形的长和宽，表示出剩下的矩形的长与宽，据相似的性质得到方程，解方程即可解决本题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 比例线段 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 题型七 相似多边形的性质 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型方法 【题型一】成比例线段 【例1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【题型二】比例的性质 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知两个数2、8，则2和8的比例中项为（   ） A．2 B． C． D．4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知线段，满足，那么等于 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知 ，且，求的值 【题型三】比例线段 【例3】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为 ． 3．（九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，直线交坐标轴于A,B两点，与反比例函数交于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D．若，求k的值． 【题型四】由平行判断成比例的线段 【例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线，下列比例式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线交分别于点，直线交分别于点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中、已知，，，，求的长．    【题型五】由平行截线求相关线段的长或比值 【例5】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【题型六】黄金分割 【例6】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点，则（　　） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某班级组织元旦晚会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若某中学舞台长为，试计算主持人应走到离A点 m处最佳（离A较近的位置）．（，结果精确到） 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【题型七】相似多边形的性质 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 2．（九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么的值为 ． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形，使得新矩形矩形，求的长 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．菱形都是相似图形 B．各边对应成比例的多边形是相似多边形 C．等边三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似图形 2．如图，点，分别在，上，，，若，则的长为（    ） A．10 B．15 C．16 D．18 3．在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积是（ ） A．2000cm² B．2000000cm² C．4000cm² D．4000000cm² 4．如图，点C是线段AB的黄金分割点，（），下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知直线，分别交直线m，n于，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ） A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似 9．如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，则DF的值为（　　） A． B． C． D．1 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90º，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为 cm（结果精确到0.1 cm）． 12．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点是的黄金分割点，若线段的长为6cm，则的长为 cm．（结果保留根号） 13．已知，则 ． 14．已知点P在线段AB上，且AP：PB=2：5，则AB：PB= ，AP：AB= ． 三、解答题 15．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 16．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？ 17．已知 (1)求： (2)求证： 18．已知、、是的三边长，且. （1）求的值； （2）若的周长为90，求各边的长. 19．已知，求的值． 20．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=4cm，求BC的长 21．已知：在中，为上一点，，分别交、、于点、、，求证：． 22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：． 23．如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$