2.2.3 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【课件】2024—2025学年北师大版数学九年级下册

2.2.3 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2沿x轴方向左右平移|h|个单位长度得到的,当h>0时,向　 　平移;当h<0时,向　 　平移.  探究点一　二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系 【新知探究】 右 左 【新知巩固】 1.在平面直角坐标系内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( ) A.y=(x+1)2-2 B.y=(x-1)2 C.y=(x+1)2+2 D.y=(x+3)2 D 2.将二次函数y=-3x2的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1)2的图象,平移方法正确的是( ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向上平移1个单位长度 D.向下平移1个单位长度 3.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向　 　平移3个单位长度得到.  B 左 探究点二　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【新知探究】 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图象 开口 开口向上 开口向下 对称性 直线x=h 顶点 (h,0) 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 在对称轴左侧,y随x的增大而减小 在对称轴左侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而减小 解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-1. (2)完成下表; 解:(2)填表如下: x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … x … -7 -5 -3 　  1 3 　  … y … -9 　  　  0 -1 　  -9 … (3)在平面直角坐标系中描点画出此抛物线. 解:(3)描点作图如图所示. [例2-2] (2024成都模拟)已知点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,且点P在第一象限内. (1)则m的值为　　　　;  解:(1)2 (2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求点P,点Q及原点O围成的三角形的面积. 【新知巩固】 1.(2024达州质检)抛物线y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别为( ) A.(-3,0),直线x=-3 B.(3,0),直线x=3 C.(0,-3),直线x=-3 D.(0,3),直线x=-3 B 2.(2023济南月考)已知二次函数y=a(x-h)2图象的对称轴是直线x=3,且过点(1,1),则该抛物线的函数表达式为( ) A 向上 < 解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2. 函数图象如图所示. ∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最小值0, 当x>3时,y随x的增大而增大; 当x<3时,y随x的增大而减小. 6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值. 解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单位长度所得对应点的坐标为(1,0). ∴把抛物线y=-2(x-5)2向左平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=-2(x-1)2. ∴原抛物线的函数表达式为y=-2(x-1)2. ∴a的值为-2,h的值为1. 谢谢观赏！ 17 [例1] 二次函数y=-3(x-)2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系? 解:如图所示,抛物线y=-3(x-)2的开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为(,0).二次函数y=-3(x-)2与y=-3x2 的图象的形状相同,二次函数y=-3x2 的图象向右平移个单位长度,得到函数y=-3(x-)2的图象. [例2-1] 已知抛物线y=-(x+1)2. (1)写出抛物线的对称轴; 解:(2)∵a的值为3,∴二次函数的表达式为y=3(x-1)2. ∵点P的横坐标为2, ∴点P的纵坐标y=3(2-1)2=3. ∴点P的坐标为(2,3). ∵PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q, ∴3=3(x-1)2,解得x=2或x=0. ∴点Q的坐标为(0,3).∴PQ=2.∴S△PQO=×3×2=3. A.y=(x-3)2 B.y=4(x-3)2 C.y=(x+3)2 D.y=4(x+3)2 3.已知抛物线y=a(x+m)2(m为常数)的顶点在y轴的右侧,且am<0,则此图象的开口方向　 　.  4.点A(-1,y1),B(4,y2)是二次函数y=(x-1)2 图象上的两个点,则y1 　　y2(选填“>”“<”或“=”). 5.画出函数y=(x-3)2的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性). $$