河南省郑州市二七区第五十七中学2023-2024学年上学期九年级入学数学试卷

河南省郑州五十七中南校区九年级（上）入学数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 3. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的有(    ) ；；；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，中，，平分，点为的中点，连接，若的周长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 5. 已知不等式的解集是，则函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是(    ) A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8. 口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害的气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，年某厂家口罩产量由月份的万只增加到月份的万只．设从月份到月份该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程(    ) A. B. C. D. 9. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 10. 如图，▱的对角线，交于点，平分交于点，，，连接下列结论：；平分；；，其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 已知关于的方程，有一个根是，求的值______． 12. 如图，点为线段上一点，且，分别以、为边，在的同一侧作等边和等边，连接，，，则的面积为______． 13. 根据如下表格对应值：判断关于的方程的解的范围是______． 14. 如图，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，为折痕，已知，当折痕最长时，线段的长为______． 15. 如图，以的边、为边往外作正方形与正方形，连接、、，若，，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用适当方法解方程： ； ． 17. 先化简，再求值：，并从，，，这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 18. 已知关于的一元二次万程，求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． 作关于点成中心对称的． 请求出线段的长度．并写出同时经过，的一个函数． 在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标不写解答过程，直接写出结果 20. 如图，在中，平分交于，作交于点，作交于点． 求证：四边形是菱形； 若，，，求菱形的周长． 21. “绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理，两种型号的净水器，每台型净水器比每台型净水器进价多元，用万元购进型净水器与用万元购进型净水器的数量相等． 求每台型、型净水器的进价各是多少元？ 槐荫公司计划购进，两种型号的净水器共台进行试销，其中型净水器为台，购买资金不超过万元．试销时型净水器每台售价元，型净水器每台售价元，槐荫公司决定从销售型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为，求的最大值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于，两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． 求直线的表达式及点的坐标； 若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念，逐项分析，即可求解． 【解答】 解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误； B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误； C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误． 故选C．   2.【答案】  【解析】解：、，故A错误； B、，故B错误； D、，故D错误； 故选：． 根据不等式的性质即可求出答案． 本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型． 3.【答案】  【解析】 【分析】 此题主要考查了能用完全平方公式分解因式的特点，关键是熟练掌握特点． 根据能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数或式的平方和的形式，另一项是这两个数或式的积的倍进行分析即可． 【解答】 解：不是积的倍，故不能用完全平方公式进行分解； 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解； 能用完全平方公式进行分解； 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解； 首先提取负号，可得，能用完全平方公式进行分解； 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解．   4.【答案】  【解析】解：，平分， ， ， 点为的中点， ． 的周长为， ， ． 故选：． 根据等腰三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 5.【答案】  【解析】解：不等式的解集是， 当时，函数的函数值为正数，即直线的图象在轴上方． 故选：． 根据一次函数与一元一次不等式的关系，得到当时，直线的图象在轴上方，然后对各选项分别进行判断． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6.【答案】  【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题； D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； 故选：． 根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定解答即可． 此题考查正方形的判定，关键是根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定定理解答． 7.【答案】  【解析】解：方程两边都乘得：， 方程有增根， ， 即； 把代入，得． 故选：． 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根，有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：根据最简公分母确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8.【答案】  【解析】解：从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程：， 故选：． 本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设这个增长率为，根据“月份的万只增加到月份的万只”，即可得出方程． 考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 9.【答案】  【解析】解：由原方程，得 ， ， 则， 故选A． 先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 10.【答案】  【解析】解：四边形为平行四边形，， ， 平分， ， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ，故正确； 由知，，， ， 平分，故正确； ，， ，故正确； ， ， ， ， ，故正确； 故选：． 求得，即，即可得到； 依据，，可得，即可得出平分； 依据，，即可得到； 由可得，由可得，即可得出． 本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线定义，熟练掌握各定理是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：关于的方程有一个根是， 代入得：， 两边城都除以得：， 即． 故答案为：． 把代入方程，再两边都除以，即可得出答案． 本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用，题目比较典型，难度不大． 12.【答案】  【解析】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 由等边三角形的性质得出，，，由平角的定义得出，由三角形内角和定理得出，由含角的直角三角形的性质得出，即，，，则，即可得出结果． 本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、含角直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形是含角直角三角形是解题的关键． 13.【答案】或  【解析】解：时，； 时，， 当取∽的某一个数时，， 即方程的一个解的范围为； 时，； 时，， 当取∽的某一个数时，， 即方程的一个解的范围为， 综上所述，方程的解的范围是或． 故答案为：或． 根据表中数据，由于；时，，从而得到方程的一个解的范围为；利用同样方法得到方程的另一个解的范围为． 本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 14.【答案】  【解析】解：由题知，当点与点重合时最长， 设，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得， 故答案为：． 由题知，当点与点重合时最长，设，则，，根据勾股定理计算出的值即可． 本题主要考查图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的知识，确定当点与点重合时最长时解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图所示，连接，， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， ≌， ， 又， ， ， ，，，， ， ， 即， 又和都是等腰直角三角形，且，， ， ， 故答案为：． 先判定≌，即可得出，进而得到，再根据勾股定理即可得到，依据，，即可得到的值． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理进行计算． 16.【答案】解：， ，即， ， ，； ， ， 则或， 解得，．  【解析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； 将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17.【答案】解：原式 ． ，，， ，． ． 当时，原式．  【解析】先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法计算，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值． 本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则． 18.【答案】证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．  【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有两实数根． 19.【答案】解：如图所示； 设过的直线的解析式为：， ， ， ， 解得：， 过的直线的解析式为：， 如图所示，作出关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 令，则， ， 点坐标为：．  【解析】根据网格结构找出点、、关于点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； 根据网格结构找出点、、向右平移个单位的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； 根据轴对称确定最短路线问题，找出点关于轴的对称点，然后连接，与轴的交点即为所求的点． 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20.【答案】证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； 解：如图，过点作于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 菱形的周长．  【解析】利用题目中条件，，可知四边形是平行四边形，因为平分，可知，通过等量代换，可求证，从而求得平行四边形是菱形； 过点作于点，通过已知条件，分别在直角三角形中，所对的边是斜边的一半，一个是等腰直角三角形，即可求出线段之间的关系，继而可以求出菱形的周长． 本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，直角三角形角的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 21.【答案】解：设型净水器每台的进价为元，则型净水器每台的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ． 答：型净水器每台的进价为元，型净水器每台的进价为元． 根据题意得：， 解得：． ， 当时，， 随增大而增大， 当时，取最大值，最大值为， 的最大值是元．  【解析】设型净水器每台的进价为元，则型净水器每台的进价为元，根据数量总价单价结合用万元购进型净水器与用万元购进型净水器的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 根据购买资金型净水器的进价购进数量型净水器的进价购进数量结合购买资金不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，由总利润每台型净水器的利润购进数量每台型净水器的利润购进数量购进型净水器的数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 22.【答案】解：将，代入得：， 解得：， 直线的表达式为． ， ，， ． 在和中，， ≌， ，． 设，则点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为． 存在，设点的坐标为． 分两种情况考虑，如图所示： 当为边时，点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， 或， 或， 点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时，点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或  【解析】根据点，的坐标，利用待定系数可求出直线的表达式，易证≌，利用全等三角形的性质可求出、的长，进而可得出点的坐标； 设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点，的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值．综上，此题得解． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式；分为边和为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$