第04讲 二次函数的应用（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第04讲 二次函数的应用（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形问题 典型例题二 图形运动问题 典型例题三 拱桥问题 典型例题四 销售问题 典型例题五 投球问题 典型例题六 喷水问题 典型例题七 增长率问题 典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题 典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形 典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题 典型例题十一 二次函数综合一一周长问题 典型例题十二 二次函数综合一一面积问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 知识点02 二次函数的应用最值与轨迹问题 1、最值问题 (最大值/最小值) 利润最大化： 总利润 = (售价 - 成本) × 销量。售价或销量通常是变量，且销量常随售价增加而减少（线性关系），总利润函数常为二次函数。求使利润最大的定价或产量。 成本最小化： 材料成本、运输成本、库存成本等组合优化问题中，总成本可能表示为某个变量的二次函数。 固定周长围最大面积： 如用一定长度的篱笆围矩形菜地、养鸡场等。设一边长为 x，另一边用周长表示，面积 S = x * (L/2 - x) 是二次函数。 固定表面积求最大体积： 如从矩形纸板四角剪去相同大小的正方形折成无盖盒子，求盒子最大容积。设剪去正方形边长为 x，则盒子容积 V = x(L-2x)(W-2x) 展开后是三次函数，但在特定约束下（如对称）可能转化为二次函数问题，或通过导数解决（高中）。 路径最值问题： 如几何中求线段和的最小值（常需利用对称性转化为两点间线段最短），有时涉及二次函数。 2、 抛物线轨迹问题 抛体运动： 投掷铅球、篮球投篮、炮弹发射等。已知初速度 v₀ 和发射角度 θ（或初始水平速度 v₀x、竖直速度 v₀y），建立高度 y 与水平距离 x 的函数关系 y = ax² + bx + c。 求最大高度（顶点纵坐标）。 求射程（落地点水平距离，令 y = 0 解二次方程）。 求达到某一高度时的水平距离。 判断是否能命中目标（特定点的坐标是否满足抛物线方程或在轨迹上）。 桥梁拱形、隧道顶部： 桥梁、隧道的纵截面轮廓是抛物线形。已知关键点坐标（如桥墩位置和高度、拱顶高度），建立抛物线方程，用于计算任意点的支撑高度、车辆通过高度限制判断等。 喷泉的水柱： 水从喷口喷出的路径近似抛物线。 【即时训练】 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（ ） 第一次训练数据 水平距离x/m                               竖直高度y/m                               A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据表格中数据求出顶点坐标．根据表格中数据求出顶点坐标即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ， 即该运动员竖直高度的最大值为， 故选：A． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意即可得出结论． 【详解】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路． 故选：B． 【点睛】本题主要考查学生的细心程度，认真分析是解决本题的关键． 【典型例题一 图形问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 【答案】192 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，设该饲养室的宽为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为192． 故答案为：192． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成． (1)请写出仓库面积S（），与边的长（m）之间的函数关系式； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大? 【答案】(1) (2)当边的长为9米时，仓库的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设为米，则有为米，然后可得函数关系式； （2）根据（1）中函数关系式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设为米， ∴为米； ∴． （2）解：∵， ∵S与的二次函数图象开口向下， ∴当时，S可取最大值， 当时，边的长为（米），仓库依靠的墙长度为18米，符合实际情况． ∴当时，仓库的面积可取最大； 答：当边的长为9米时，仓库的面积最大． 【例4】（2025·安徽·模拟预测）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，甲，乙两块材料的面积之和为 (3)存在，丙部分面积的最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）由（1）知，，将代入即可求解； （3）根据题意，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， ∵将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，甲，乙两块材料的面积之和为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴丙部分面积的最大值为． 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，理解题意，找出等量关系列出函数解析式和方程是解题的关键．设的边长为，则边的边长为，根据列出方程，再求解根据x的取值范围判断即可①；根据矩形的面积为192，列方程求解即可判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列方程，再根据二次函数的性质求函数最值即可判断③． 【详解】解：设的边长为，则边的边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过， ∴，故①错误； ∵当菜园面积为时，， 整理得，， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； 设矩形的菜园面积为， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确； 故选：C． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． (1)求x 的取值范围． (2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的边时，草坪的面积最小，为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，则，再根据，大树周围内（不含边界）不种植草坪，列出不等式组，解不等式组即可得解； （2）先求出关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵，大树周围内（不含边界）不种植草坪， ∴， 解得：， ∴x 的取值范围为； （2）解：由题意可得：， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，的值最小，为， 故草坪的边时，草坪的面积最小，为． 4．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，某苗圃师傅用木制栅拦设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）． (2)该矩形育苗试验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． (3)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)（） (2)不能；理由见解析 (3)； 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据矩形的边长大于0，围墙的长度为21米，求出的取值范围即可； （2）当时，利用判别式进行判断即可； （3）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ∵， ∴． （2）不能． 理由：当时，， 即：． ，故此时方程无解， 该试验田的面积不能达到． （3）， 当时，有最大值，最大值为， 即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是． 【典型例题二 图形运动问题】 【例1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小．    A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值，将问题转化成方便求的值是本题的关键． 求四边形的面积最小即求面积最大，设时间为，用含有的式子表示面积，求最大值即可． 【详解】解：面积为定值， 当面积最大时，四边形的面积最小， 设时间为秒， 则，， ， ， 当时，面积最大，此时四边形的面积最小． 故选：B． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】过点Q作，垂足为H，求出，设，利用勾股定理表示出，根据x的值即可求出的最小值． 【详解】解：如图，过点Q作，垂足为H，则H为中点， ∵P，Q分别为、的中点，， ∴， 设，则， ∴， 则当时，最小，最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出的长． 【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【例4】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1)1 (2)2或1.5 (3)点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理： （1）根据题意可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据四边形的面积为，进而求出四边形的面积最小值． 【详解】（1）解： 根据题意得：， ∵P、Q两点的距离为，且， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）；， 即当t为1时，P、Q两点的距离为； （2）解：根据题意得：， ∵的面积为 ∴， 解得：或1.5， 即当t为2或1.5时，的面积为； （3）解：根据题意得：， ∴的面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 即点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图所示，等边三角形的边长为1，点 D 从点A 出发，沿A→C→B 运动．在运动过程中，过点 D 作边的垂线，交于点G．设线段的长度为x，的面积为y，则 y关于x的函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的知识；根据题意可知，点C为临界点，分别研究D在C点两侧时的情况即可． 【详解】解：当 在中，， ， ，函数为开口向上的抛物线； 当时， 在中，， ， ，函数为开□向下的抛物线， 根据解析式可知C正确， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽池州·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．    【答案】 【分析】根据，，，得到，根据矩形的角是直角，得到． 【详解】∵，，， ∴， ∵矩形中，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形角的性质和三角形面积公式． 3．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1) ， ； (2)为何值时的面积最大？ 【答案】(1)， (2)当时，的面积最大 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由题意可直接利用表示出，，进而表示出； （2）由（1）可得，，进而表示出的面积，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ， ， 故答案为：，； （2），，， ， ， 当时，的面积最大． 4．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题是二次函数与几何综合题，考查了动点函数图象，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握全二次函数的性质是解题的关键． （1）根据时，从点正好运动到点，即可求出点运动的速度，根据时，求出的长； （2）分别求出当时及当时，函数的关系式，并补全图象即可； （2）分2种情况及，结合，利用图象法求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， ， 根据题意得， ， ， ； （2）当时，， ， 当时，， ， ， 补全图象如图所示：    （3）在二次函数中，当时， ， 解得，，（舍去）， 在一次函数中，当时， ， 解得， 在时，的面积为的值不小于； 【典型例题三 拱桥问题】 【例1】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，则当水面宽为时，水面上升了（　　）    A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面上升的高度． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， 抛物线解析式为：， 当，则， 则， 水面上升了：． 故选：D．    【例2】（23-24九年级上·山西吕梁·期中）古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故答案为：26． 【例3】（24-25九年级上·安徽宣城·期中）交通规则上有许多标志，如图所示是某地的两个限制数量，某货车的迎面的截面图形坐标如图所示，问该车能否通过此路段，并说明理由． 【答案】不能通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：不能通过，理由： ∵限宽，而车身宽， ∴宽能通过； ∵， ∴高度不能通过， 故该车不能通过此路段． 【例4】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 【答案】(1) (2)米或米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将代入解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得，， 当时，（米）， 当时，（米）， ∴吊床上该处离右边树的距离为米或米． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（        ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】D 【分析】以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式为，再将x=5代入即可得答案． 【详解】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，如图： ∵桥的最大高度是16米，跨度是40米， ∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0）， 设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得： 0=400a+16，解得， ∴抛物线解析式为， 当x=5时，， ∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出抛物线的解析式． 2．（23-24九年级上·安徽常德·期中）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度 米． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，再将代入抛物线解析式求解是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 则抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式，将点坐标代入， 可得：，解得：， 故抛物线解析式为， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 将代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图1，这是一座位于山谷中的大桥，全长70米，桥面水平，桥底近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．经测量，当在桥面上距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，长度为20米．以桥面为x轴，左侧桥头为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若其中一根石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离左侧桥头多远？ 【答案】(1) (2)21米或49米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，设抛物线为顶点式，再将代入即可解答； （2）将代入二次函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：由题意，可知该抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的函数表达式为， 抛物线过点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令， ， 或， 这根石柱安放的位置在距离左侧桥头21米或49米的地方． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以中点O 为坐标原点，所在直线为x 轴 ，所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．已知：桥洞的最大高度为8米，跨度米，桥洞关于y 轴对称，且最大高度均为4米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)如图所示，现需要在桥洞上安装两盏靠近y 轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算照明灯的水平距离的长度． 【答案】(1) (2)照明灯的水平距离的长度米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设桥洞所在抛物线的函数表达式为，由题意得：，，，再运用待定系数法求函数解析式； （2）先求出函数表达式为，当照明灯的高度都是2米时，则，解得：，（舍），由于桥洞关于y 轴对称，则（米）． 【详解】（1）解：设桥洞所在抛物线的函数表达式为， 由题意得：， ∴， 将,代入 得：， 解得：， ∴桥洞所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：∵三个桥洞均呈抛物线型且抛物线形状相同，桥洞关于y 轴对称，且最大高度均为4米， ∴设函数表达式为：， 将代入得：， 解得：，（舍）， ∴函数表达式为：， 当照明灯的高度都是2米时，则， 解得：，（舍）， ∵桥洞关于y 轴对称， ∴（米）， 答：照明灯的水平距离的长度米． 【典型例题四 销售问题】 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据“每降价1元，每星期可多卖出20本”列方程即可． 【详解】解：设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元， 由题意得：， 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·北京·期末）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过元盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量(件与销售单价(元之间近似满足函数关系：． （1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为(元，则与的函数关系式为 ； （2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 元． 【答案】 / 【分析】本题主要考查二次函数的应用 （1）依据题意，由该网店每周销售该礼盒所获利润为单个利润销量，进而列式可以得解； （2）依据题意，由（1）得解析式，配方成顶点式后，结合自变量的取值范围进行判断可以得解． 【详解】解：（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为， ， 故答案为：； （2）由题意，， 又，抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大 (元． 故答案为：． 【例3】（2025·湖北随州·模拟预测）某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元． (1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大； (2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围． 【答案】(1)售价定为每个70元时，每天的销售利润最大 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．得到利润的关系式是解题的关键． （1）依据题中的相等关系列出函数解析式，分涨价、降价两种情况，再依据二次函数的性质求解可得． （2）根据题意列不等式，分两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：当时：售价上涨，销量减少，销量为， 利润为：； 当时，； 当时：售价下降，销量增加，销量为：， 利润为：； 当时，不在取值范围内，； 综上所述，当时，利润最大； （2）解： 当时： ； 解得：； 当时： ；无解； 综上所述，每天的利润不低于4000元，售价x的取值范围是． 【例4】（2025·辽宁丹东·模拟预测）某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数关系式； (2)在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当每千克售价80元时，销售利润最大，销售利润最大为4800元 【分析】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设，把，分别代入中得 解得， 所以． （2）解：设这批水果的利润为w元． 由题意得： 开口向下， 有最大值 ，， 当时，（元） 答：当每千克售价80元时，销售利润最大为4800元． 1．（24-25九年级上·四川凉山·期末）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、弄清数量关系是解题的关键． 由“”列出y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：由题知：日销售量为盒，每盒利润为元， 所以y与x之间的函数关系式为． 故选：D． 2．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的每个头盔应涨价5元 (3)该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，找出等量关系列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，找出等量关系列出方程求解即可； （3）设该品牌头盔每个涨价元，利润为元，列出，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元； （3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元． 由题意得， ， ∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125． 答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元． 4．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 【答案】（1）一次，；（2）儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）2 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值，解答关键是列出函数表达式再求解． （1）先判定为一次函数，再利用待定系数法求解； （2）设日销售利润为元，根据“利润=单件利润×销售量”求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解； （3）设日销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量销售量求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】建立模型： （1）解：一次，设这个一次函数解析式为， 则，解得：， 所以这个一次函数解析式为； 故答案为：一次，； 问题解决： （2）设日销售利润为元． 根据题意得． ，当时，有最大值，最大值为． 答：儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元． （3）设捐赠后，日销售利润为元， 根据题意得． ， 当时， 有最大值，最大值为． 的最大值为， ． 解得，． 当时，，，符合题意． 当时，，，不符合题意，舍去． 答：的值为2． 【典型例题五 投球问题】 【例1】（2025·天津河西·模拟预测）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由图可知，要求的长实际是需要点的横坐标，已知点的纵坐标为，将代入函数的解析式，求出的值，再舍去不符合实际的一个的值即可，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：当时，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴点， ∴， 故答案为：． 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式 (1)经多少秒后足球回到地面？ (2)经多少秒时球的高度为15米？ (3)当达到最高时，求的值． 【答案】(1)经4秒后足球回到地面； (2)经1秒或3秒时球的高度为15米； (3)的值为2． 【分析】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，将生活实际转化为数学问题是解题的关键． （1）令得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）令得关于的一元二次方程，解得的值即可； （3）配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， 解得：（舍去），． 答：经4秒后足球回到地面； （2）解：令得：， 解得：，． 答：经1秒或3秒时球的高度为15米； （3）解：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为20， ∴当达到最高时，的值为2． 【例4】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【答案】(1) (2)小球飞行高度能达到，此时秒． (3)当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求解； （3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设关于的二次函数关系式为， 将代入得 ∴， 解得：． ∴关于的二次函数关系式为． （2）当，， 解得：，（舍去）． ∴小球飞行高度能达到，此时秒． （3）解： ∵ ∴当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如果把小球从地面以的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：s）的关系式为．根据该物理规律，下列对方程的两根，的解释正确的是（   ） A．小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为 B．小球经过的时间约离地面的高度为，并将继续上升 C．小球离地面的高度为时，经过的时间约为 D．小球经过的时间约离地面的高度为 【答案】A 【分析】根据题意，方程的两根，分别表示的是上升 时，距离底面为，且继续上升；下降过程中，时，距离底面为，且继续下降，两次距离地面的时间间隔为，解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确理解方程根的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，方程的两根，分别表示的是上升时，距离底面为，且继续上升；下降过程中，时，距离底面为，且继续下降，两次距离地面的时间间隔为， 故A正确，符合题意； B，C，D都是错误的，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系． 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 0 8 14 18 20 20 18 14 ．．． 如上表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是．其中正确的结论是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质逐个判断即可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将点，和代入得：，解得， 则， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，则结论①错误； 二次函数的对称轴为直线，则结论②正确； 当时，，解得或， 所以足球被踢出时落地，则结论③正确； 当时，，则结论④错误； 综上，正确的结论是②③， 故答案为：②③． 3．（2025·河南濮阳·模拟预测）小明在距离球门10米的点处射门，球沿抛物线轨迹运动．球在飞行6米时达到最高点，高度为3米．以球门底部点为原点，建立平面直角坐标系，球门高度为米，防守球员能拦截的最大高度为米．球的运动轨迹可用抛物线来描述． (1)求抛物线的表达式； (2)在无人防守的情况下，球能否射进球门，请说明理由； (3)当球飞过最高点后，防守球员才开始拦截．问防守球员站在离球门最大多远的距离，可有效拦截射来的足球，请直接写出你的答案． 【答案】(1) (2)球能射进球门，理由见解析 (3)1米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可求出顶点坐标为，再把解析式设为顶点式，再把代入解析式中计算求解即可； （2）求出当自变量为0时的函数值即可得到答案； （3）求出函数值为时的自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为，即， 设抛物线的表达式为， 把代入到中得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：球能射进球门，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴球能射进球门； （3）解：在中，当时， 解得或， ， 答：防守球员站在离球门最大1米的距离，可有效拦截射来的足球． 4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，李明发现实心球从出手到落地的过程中， 实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，李明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 (1)在李明投掷过程中，出手时实心球竖直高度是________m，实心球在空中的最大高度是________m； (2)求满足条件的二次函数的解析式； (3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分10分，李明在此次考试中能否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)2， (2) (3)李明在此次考试中能得到满分，见解析 【分析】（1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 【典型例题六 喷水问题】 【例1】（23-24九年级上·新疆哈密·期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 【例3】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用；由题意可知顶点，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：依题意，顶点， 设抛物线的解析式为，将点代入，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：舍去，， ∴，即水的落地点与点的距离为． 【例4】（24-25九年级上·江西赣州·期末）图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为． (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？ 【答案】(1)m (2)m 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并灵活应用二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，求得值即为水管的高度； （2）假设上升的高度为，将坐标代入解析式中，求出未知数即可． 【详解】（1）解：抛物线为， 令，则，， 喷水管的高度为m； （2）解：设喷水管的高度要升高m， 则抛物线的表达式为． 把代入得：． 解得：． 喷水管的高度要升高m． 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点到地面的高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器与围墙的距离为（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 3．（2025·陕西·模拟预测）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形．以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，B为该水龙头弯曲部分上的一个点，且轴，测得． (1)求抛物线的表达式； (2)已知该圆形洗手盆的宽为（洗手盆的左侧与紧挨），水龙头的出水点C（在抛物线上）在洗手盆台面中心的正上方．若当水龙头的出水点距离洗手盆台面的距离在至之间时两者匹配，请问该圆形洗手盆与安装的水龙头是否匹配． 【答案】(1) (2)匹配 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入求出y的值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：易得A点坐标为， ∵轴，，最高点P距离x轴， ∴顶点， 设抛物线的表达式为， 把点代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点C在圆形洗手盆台面中心的正上方， ∴把代入中，得：， ∵在至之间， ∴该圆形洗手盆与安装的水龙头是匹配的． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）某公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，在水管的顶端安一个喷头，它喷出的抛物线形水柱在与喷水管的水平距离为1米处达到最高，水柱落到湖面处离喷水管4米．以喷水管与湖面的交点为原点，建立如图的平面直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)现公园准备通过只调节喷水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线水柱下方中间通过．为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线水柱下方中间通过时，游船顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于1.5米，已知游船顶棚宽度为1米，顶棚到湖面的高度为2.5米，那么公园应将喷头（喷头大小忽略不计）至少向上移动多少米才能符合要求？ 【答案】(1) (2)应将喷头至少向上移动米才能符合要求 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）如图，设平移后的解析式，先求出，然后把代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：设，把，代入得， ， ， ； （2）解：如图，设平移后的解析式，    抛物线对称轴是直线． 顶棚宽度为1米，顶棚到湖面的高度为2.5米， ， 顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于1.5米， 把代入解析式得， ， ， 应将喷头至少向上移动米才能符合要求． 【典型例题七 增长率问题】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期中）某商品原价100元，分两次降价，设平均每次降价的百分率为x，降价后的价格为y元，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数应用中的增长率问题，表示出两次降价后的价格即可求解． 【详解】解：原价100元， 第一次降价后的价格是元； 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：． 则函数解析式是：． 故选：C． 【例2】（2025·宁夏银川·模拟预测）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】设每次降价的百分率为x，由题意得，求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意得 ， 解得（舍去）， ∴每次降价的百分率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题列方程的方法是解题的关键． 【例3】（23-24九年级上·全国·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000． 【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可． 【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000， ∴y＝5000x2＋10000x＋5000． 【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键． 【例4】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 4．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 【典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由是等腰直角三角形，，知是等腰直角三角形，设，则，可得，根据二次函数性质即可得到答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 设，则， ， ， 时，最大，最大值是4， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是用含的代数式表达，熟练应用二次函数性质解决问题． 【例2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可． 【详解】令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=，x2=， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键． 【例3】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、，若△为等腰直角三角形，则的值是 ． 【答案】 【分析】过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，求出E、A的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点为E，且经过点A、B， ∴抛物线的对称轴是直线，且A、B关于直线对称， 过E作EF⊥x轴于F，交AB于D， ∵△ABE为等腰直角三角形， ∴AD=BD=3， ∴AB=6，DE=AB=3， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9， ∴A(0，-6)，E(-3，-9)， 把A、E的坐标代入得： ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，等腰直角三角形以及正方形的性质，准确求出A、E的坐标是解题关键． 【例4】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝ ． 【答案】 【分析】作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，根据等腰直角三角形的性质设点的坐标为，求出a的值，从而得到点的坐标，然后用同样的方法依次求其他的点坐标，从而发现这些等腰直角三角形腰长的规律，最终求出结果． 【详解】解：如图，作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E， ∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形， ∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E． 设A1（a，b），则a＝b，将其代入解析式y＝x2得： ∴a＝a2， 解得：a＝0（不符合题意）或a＝1， 由勾股定理得：A1B0＝， ∴B1B0＝2， 过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2）， 可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2， 又点A2在抛物线上，所以y2＝x22， （x2+2）＝x22， 解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去）， ∴A2B1＝2， 同理可得： A3B2＝3， A4B3＝4，   … ∴A2020B2019＝2020， ∴△A2020B2019B2020的腰长为：2020． 故答案为2020． 【点睛】本题考查点坐标找规律，解题的关键是掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的性质． 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)点P的横坐标为1或 (3)若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值，过点P作y轴的平行线，交直线于点H，进而根据铅垂法可求解； （3）设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （2）解：连接，如图所示：    要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值， 过点P作y轴的平行线，交直线于点H，如图所示， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则有， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点P的横坐标为1； 当点P在直线的下方时，即点，如图， ∵， ∴同理可得：， 解得：； 综上所述：点P的横坐标为1或； （3）解：设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，过点N作一直线，分别过点A、M作，垂足分别为E、F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，    同理可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段． (1)求该抛物线的解析式； (2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 (3) 【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式； （2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨； （3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， 当时，， ， ∵， ， 过和， 则， 解得： 抛物线的解析式为： （2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为， 即点的坐标， 又点在直线上， 解得（舍去），， 的坐标为． （Ⅰ）当为直角顶点时， 过作交轴于点，设， ∵直线与x轴交于点D， 令，则 ∴点坐标为， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， ， ． （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于， 同理可证， ∴， ∵点坐标为，的坐标为 ∴ 即， ， ， ， ∴点坐标为． （Ⅲ）当为直角顶点时，设， 由，得， ∴， 由得， 解得，， 此时的点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或； （3）抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得 ∴直线的解析式为 由，得， ． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． (1)如图，直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，于点，若为的中点，求的值． (2)直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究的取值范围． (3)已知二次函数． ①若该函数的取值恒为非负数，求实数的取值范围． ② 当，该二次函数的增减性不发生变化， 求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度、分类讨论思想的应用． （1）根据直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，设，且，则，，从而，，而是等腰直角三角形，可得，是等腰直角三角形，即可列，解得或（舍去）； （2）由得或，①若，即，根据且，可得，且，即解得；②若，即，可得：且，即解得； （3）①根据抛物线的性质即可解答； ②根据抛物线的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，令得，令得或3， ，，， 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为， ∵直线与抛物线在第一象限交于点D，交于点E，交x轴于点F， 设，且，则，， ∴，， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵时，D与A重合，舍去， ∴； （2）解：由得：或， 若，即， ∵且， ∴，且， 解得； 若，即， 可得：且， 解得． 综上所述，n的取值范围是或． （3）解：①由条件知抛物线落在轴上方或与轴只有唯一一个交点, 设，则, 即， 可得， 设， 得，解得， 则与轴的交点为， 开口向上， 当时，解得． ②由抛物线的对称轴是直线, 由题意可知:或, 解得或． 4．（24-25九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点M的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据，得出，根据，求出，得出，代入二次函数解析式，进而求出点的坐标即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）解：∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义，三角形面积计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 【典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形】 【例1】（23-24九年级上·湖北荆门·期末）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于、两点在的右侧，下列结论：①；②当，一定有随的增大而增大；③点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时， ，其中正确的个数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据顶点在线段上，抛物线与轴的交点坐标为，可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，根据二次函数的对称性求出点的坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数关系与顶点的纵坐标求出的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求得的值，判断出④正确． 【详解】解：点的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 只有当时，一定有随的增大而增大，故②错误；      若点的坐标最小值为，此时抛物线的对称轴直线为， 由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为，则， ∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为， ∴的横坐标的最大值为，故③正确； 令，则，设点的坐标分别为， ∴，， ∴， ∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得，故④正确； ∴正确的是①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数关系，平行四边形的性质，要注意顶点在轴上的情况和顶点分别在两点的情况． 【例2】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线y=－x2+ 4x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C，点B在x轴上，点D在AC上方的抛物线上．当四边形ABCD是菱形时，则c的值为 ． 【答案】4 【分析】先配方求出抛物线顶点坐标，再求出点A坐标，根据菱形性质得D坐标，从而得出关于c的方程，求解即可． 【详解】解： ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为（2，4+c） 令x=0，则y=c ∴A(0,c) 连接BD， ∵AC∥x轴交抛物线于另一点C， ∴DB⊥x轴，且DB在抛物线的对称轴上 ∴B(2,0) ∴D(2,2c) ∴4+c=2c 解得，c=4 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及菱形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键． 【例4】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于O，A两点．点B是个抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作两条坐标轴的平行线，与直线OA交于点C，E，以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为，则m关于n的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式． 【详解】解：∵直线OA的解析式为：y=2x， 点D的坐标为（m，n）， ∴点E的坐标为（n，n），点C的坐标为（m，2m）， ∴点B的坐标为（n，2m）， 把点B（n，2m）代入， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，矩形的性质，函数图象上点的坐标特征，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系． 1．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线恒经过两个定点A和B（点A在点B左侧），现将直线AB作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点P与的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ． (1)点A和点B坐标分别为______和______； 四边形APBQ的是一种特殊的四边形，它是______，的解析式为______． (2)当点Q到x轴的距离为4时， ①求m值和此时四边形APBQ的面积． ②若直线与两抛物线、共同所组成图像共有4个交点，直接写出当时，a的取值范围． 【答案】(1)，菱形，； (2)①，四边形APBQ的面积为2，时，四边形APBQ的面积14；②且 【分析】（1）根据抛物线解析式求得定点，，求得顶点坐标为，设抛物线的顶点坐标为，根据菱形对角线互相平分求得，进而即可求解．求得的解析式； （2）①根据题意得的值，进而求得面积；②根据条件可得，进而求得的坐标，结合图象即可求解． 【详解】（1）， 当时，，当时，， 抛物线过定点， 点A在点B左侧， ， 如图， 由翻折可知，， ， 轴，轴， 则是抛物线的对称轴， 平分， ， ， 四边形是菱形， ， 顶点坐标为， 设抛物线的顶点坐标为， 根据菱形的性质可得， 得， ， （2）①当点到轴的距离为时，则， ， 或， 当时，则点坐标为，点坐标为， ， ， ， 当时，则点的坐标为，点坐标为， ， ， ②， ， 由①可知当时，点的坐标为，点， 要使直线与两抛物线共同组成的图象共有4个交点，则的取值范围是： 且． 【点睛】本题考查了二次函数综合，菱形的性质与判定，轴对称的性质，数形结合是解题的关键． 2．（2025·安徽池州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为，，， 【分析】此题考查了二次函数图象和性质、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）画出图形根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴将，，代入得： ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵点F为抛物线上一点， 设， ∵点E为上一点， 设， 当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ，解得或， ∴点F的坐标为，，，． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． (1)求点，，的坐标及对称轴； (2)为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线：； (2)的坐标分别为：，或，或，． 【分析】（）对于，当时，；令，则 或，即可求解，再利用即可求出对称轴； （）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解； 当或为对角线时，同理可解； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等，掌握知识点得应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由得，当时，， 令，解得或， ∴的坐标分别为，，， 由点的坐标得，对称轴为直线：； （2）解：存在，理由： 设点，点，且， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：且， 解得：， 则点的坐标分别为：，； 当或为对角线时，同理可得： 且或 且， 解得： 或， 即点的坐标分别为：，或，； 综上，的坐标分别为：，或，或，． 4．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)设P为抛物线上一动点，点P在直线上方时，过P作轴，交于点E，过E作轴于F，求的最大值及此时点P的坐标： (3)若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为4， (3)存在，点N的坐标为或 【分析】（1）将两点代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，根据，，即可求解； （3）由，得抛物线的对称轴直线为，设点M的坐标为，点N的坐标为，分类讨论当线段为平行四边形的边时，当线段为平行四边形的对角线时两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 由得 设直线的解析式为，过点，两点， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴， ， ∴， ∴当，的最大值为4，此时； （3）解：∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为； 或当点M在N下方时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， ，解得，此时，不成立； ②当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为； 综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与线段、特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键. 【典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题】 【例1】（2024·安徽滁州·模拟预测）抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数表达式可得对称轴为直线，由及二次函数的对称性可得，进而可得的等量关系式，然后根据得出的值，所以得出C的坐标，最后根据求解即可． 【详解】 如图所示：抛物线，对称轴为直线 抛物线与轴的交点为和 ，OA=5 当y=0时，-5与2是方程的两个根 根据韦达定理可得：即 即 ， 解得 ． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可． 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是(   ) A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣，根据二次函数的性质可得﹣，由此可得a=3，继而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得当E在AB上时，y=时，x=，据此即可作出判断． 【详解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5， 当E在BC上时，如图， ∵E作EF⊥AE， ∴△ABE∽△ECF， ∴， ∴， ∴y=﹣， ∴当x=时，﹣， 解得a1=3，a2=（舍去）， ∴y=﹣， 当y=时，=﹣， 解得x1=，x2=， 当E在AB上时，y=时， x=3﹣=， 故①②正确， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【例3】（2025九年级·全国·专题练习）直线与抛物线交于、两点，当时，直线恒过一个定点，该定点坐标为 ． 【答案】 【分析】联立解析式求出，，作轴于点C，作轴于点D，利用相似三角形的判定与性质得到，进而可求出b的值，从而可求出该定点． 【详解】解：∵直线与抛物线交于、两点， ∴， 化简，得：， ∴，， 如图， 作轴于点C，作轴于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即直线，故直线恒过定点， 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定与性质等知识，综合运用各知识点是解答本题的关键． 【例4】（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，已知点P是二次函数图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点． 若以为直角边的与相似，请求出点P的坐标 ．    【答案】或或或 【分析】分当和，然后分别或两种情形求解即可． 【详解】解：过点P做轴，交于点H， 设点B坐标为，则直线的表达式为：, ∴，则， ①当时， 设点， ∵以为直角边的与相似， ∴，即，    由题意得：， ，解得：，， ∴点P坐标为； 当时，同理可得：点P坐标； ②当时，当时，同理：点P坐标为， 当时，同理可得：点P坐标为； 综上所述：点P的坐标为或或或． 故答案为或或或． 【点睛】本题为二次函数综合知识运用，主要三角形相似、勾股定理运用等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道之间的距离为9米，表示这块空地，点在上，点，在上，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边上． (1)如果矩形花坛的边，分别求出此时矩形花坛的两条邻边长； (2)矩形花坛的面积能否占到三角形空地面积的？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)矩形花坛的两条邻边长分别为6和12 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，交于点，设，则，，易证得，由相似三角形的性质可得，即可得到答案； （2）设，由（1）知，得，并用表示出，由矩形的面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数的性质求得矩形面积的最大值，与空地面积的相比较，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，      设，则，， ， ， ， ， 解得：， ，， 这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6米和12米． （2）解：不能，理由如下： 设， 由（1）知， ， ， 解得：， ， 矩形的面积为， 矩形花坛的面积最大为， 又空地面积的为，， 故矩形花坛的面积不能占空地面积的． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可； ②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵对称轴经过点， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；①在中，当时，，当时，， 当时，解得或， ∴； 如图所示，过点C作于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，取，作直线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 同理可得直线解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）我们定义【a，b，c】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【1，，3】，函数的“特征数”是【0，2，】，函数的“特征数”是【0，，0】． (1)若一个函数的特征数是【1，，2】，将此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是__________； (2)将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是__________； (3)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最低点的纵坐标为4时，求的值． (4)当特征数【1，b，c】满足时，函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．已知点B的坐标为，若在x轴上有一点P，使，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)【1，，】 (2)【0，，1】 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据新定义得出二次函数的解析式，然后写成顶点式，再根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据新定义得出一次函数的解析式，再根据一次函数的平移规律求解即可； （3）根据新定义得出二次函数的解析式并配方，然后分，，三种讨论，根据二次函数的性质求解即可； （4）根据勾股定理的逆定理得出，可求出，则，取点，从而，当在A的左侧时，证明，根据相似三角形的性质求出，则，即可求出点P的坐标；当P在A的右侧时，根据对称性求解即可． 【详解】（1）解：根据“特征数”的定义值：“特征数”是【1，，2】的函数解析式为， 此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到新函数解析式为， ∴其“特征数”是【1，，】， 故答案为：【1，，】； （2）解：∵“特征数”是【0，，】的函数解析式为， ∴其向上平移2个单位，得到的新函数解析式为， ∴其“特征数”是【0，，1】， 故答案为：【0，，1】； （3）解：“特征数”是【1，，】的函数解析式为， 当时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，， 解得或（舍去）； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，， 解得或（舍去）； 综上，或； （4）解：特征数是【1，b，c】的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴， 当时，， ∴， 当时，，解得，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 取点，连接， 则A、Q关于y轴对称，， ∴， ∴， 又， ∴， 当P在A的左侧时， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴P的坐标为， 当P在A的右侧时，即为， 由对称性知，和P关于y轴对称， ∴的坐标为， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的平移，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解新定义，合理分类讨论，构造相似三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，，交轴于点，连接，的面积为． (1)如图1，求与的值： (2)如图2，点在第一象限抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，点在上，连接，，点为的中点，连接并延长交抛物线于点，连接交于点，连接，，点在上，连接，交于点，交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求出，再利用三角形的面积公式可得，，从而可得，然后利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，再求出，根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式，然后将点的坐标代入求解即可得； （3）过点作于点，过点作轴的垂线，垂足为点，交的延长线于点，过点作于点，连接，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，，解直角三角形求出点的坐标，从而可得点的坐标和直线的函数解析式，代入可得点的坐标，然后解直角三角形可得的长，证出，在中，解直角三角形可得的长，最后设点的坐标为，利用两点之间的距离公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，，即， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 将点和代入得：， 解得， 所以，． （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， ∵线段的长为，， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将点代入得：， 整理得：， 即与的函数解析式为． （3）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线，垂足为点，交的延长线于点，过点作于点，连接， 由上已得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， 由（2）可知，， ∵点为的中点， ∴， 将点代入得：， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， 对于直线， 当时，，解得，即，， ∴，， 在中，， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在直线上，且位于第一象限， ∴设点的坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、一次函数的应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、解直角三角形等知识，综合性很强，较难的是题（3），通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键． 【典型例题十一 二次函数综合一一周长问题】 【例1】（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为． ①拋物线与直线有没有交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况即可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的公式求出平移后的解析式便可； ④因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出即为其他三边和的最小值． 【详解】解：①把代入中，得， ∵， ∴此方程无实数根，则抛物线与直线有没有交点；，故①结论正确； ②∵抛物线的对称轴为， ∴点关于的对称点为，为顶点 则 又∵， ∴故②结论正确； ③将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，故③结论不正确； ④当时，抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵点关于直线的对称点为，顶点为． ∴，， 作点B关于y轴的对称点，作C点关于x轴的对称点，连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，延长交于点，则， 如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定， ∴此时，四边形周长最小，为： ，故④结论正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及作对称点、处理四边形周长的最小值． 【例2】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（  ） A． B．n﹣1 C．n D． 【答案】B 【分析】令，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1． 【详解】解：令a1x2＝a2x2+bx， 解得x1＝0，x2＝， ∴P的横坐标为， ∵抛物线：的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线x＝﹣， ∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣， ∵＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝n﹣2， ∴﹣1＝n﹣2， ∴＝n﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键． 【例3】（2025·辽宁·模拟预测）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过坐标原点O， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点A的纵坐标是， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴矩形的周长， 故答案为： ． 【例4】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线经过不同的三点，其中点在第二象限且为抛物线的顶点，点在轴的负半轴上，点位于点之间的抛物线图象上，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用了抛物线的对称性得到，即可求解，解题关键是把求四边形的周长转化为三角形的周长值． 【详解】解：由题意知，对称轴为直线，抛物线经过原点，与轴负半轴交于点， ∴， ∵由抛物线的对称性知， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 1．（2025九年级·安徽·专题练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）求出抛物线的对称轴为，连接与对称轴的交点即为点M，求出的解析式，把代入即可求出． 【详解】（1）解：令，则，解得：，， ∴点，点， 当时，， ∴点； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 连接与对称轴的交点即为点M， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴， 当时，， ∴点的坐标为． 2．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为1． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接．设点的横坐标为． 当点在轴上方，为何值时，是等腰三角形； 当点在轴下方，为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点M的坐标，用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， 将点，代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设，则，当点M在x轴上方时，，，是钝角， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当时，是等腰三角形； ②设，则，当点M在轴下方时，，， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知二次函数的图像经过、两点．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图像的对称轴与轴交于点，连接、，求的面积和周长． 【答案】(1)； (2)面积为，周长为． 【分析】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，熟练掌握点的坐标与线段长度之间的转换是解题的关键． （1）将点及点的坐标代入即可得出、的值，从而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出的长度，根据可以求得的面积，再根据，，坐标，进而求得的周长． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：； （2）二次函数的解析式为：， 二次函数的对称轴为， 点，即， ， ， 点、、点， ，，， 在中，， 在中，， 的周长    4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线的图象与x 轴交于、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若点E在抛物线上，且，求点E 的坐标； (3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作轴于M，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．设点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示矩形的周长，并求矩形的周长最大值． 【答案】(1)； (2)， (3)；10 【分析】本题考查了二次函数的综合运用,待定系数法求解析式,面积问题,线段周长问题,正确记忆超过知识点是解题关键. （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据三角形的面积公式求得E点的横坐标为，即可求解； （3）根据对称轴为直线，设M点的横坐标为m，则，表示出矩形的周长，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入解析式得，解得 抛物线的解析式为 ， ∵， ∴顶点D得坐标为． （2）解：将代入， 得，解得，， ． ， 点得横坐标为． 时，， 时，， ，； （3）解：由抛物线可知对称轴为， 点P的横坐标为m，轴， M点横坐标为m， 则， , ∴矩形的周长 ∴当时，矩形的周长最大值为10． 【典型例题十二 二次函数综合一一面积问题】 【例1】（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，为线段上一点，，，，，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合应用、全等三角形的判定与性质，过点作，与的延长线交于点，可证，所以可知，因为，则，，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的图象与性质确定正确选项． 【详解】解：如下图所示，过点作，与的延长线交于点， ，，， ， ，， ， 又， 在和中， ， ，， ， ，， ， ． 观察图象可知选B． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题注意考查了二次函数的应用，解题的关键是得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想． 设出矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值． 【详解】解：设矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，根据题意得： ， 整理得， ∵， ∴抛物线开口向下，取得最大值，最大值为， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）已知抛物线顶点为点，与y轴交于点B，在抛物线上有一点P，使的面积为8，则点P的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是根据面积求坐标．先求直线解析式为，再在轴上点左边取一点，使的面积为8，得，过作的平行线交抛物线于，此时的面积为8，联立直线和抛物线，即可求出的坐标． 【详解】解：在二次函数中，顶点坐标为，令，得， ， 设直线解析式为，将代入得， ，解得， 直线解析式为， 在轴上点左边取一点，使的面积为8， 过作的平行线交抛物线于，此时的面积为8， 设直线的解析式为，将代入得： ，解得， 的解析式为， 解得的坐标为或． 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ，则， ， 故答案为：． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知一次函数与二次函数（是常数）相交于两点，点是轴上的点，点是轴上的点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为． (1)求该二次函数解析式及顶点的坐标； (2)若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求的取值范围； (3)点是直线上的点，且轴，把点往右平移两个单位，再往下平移个单位得到点．是否存在不与点重合的点，使得？若存在，请求出面积相等时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为；顶点C的坐标为 (2)的取值范围是或； (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的综合运用、待定系数法求函数解析式，解题的关键是由点在直线上，找出的坐标；将抛物线解析式变为顶点式，找出顶点的坐标． （1）根据直线求出A、B两点坐标，代入，求出函数解析式，配方后可得顶点的坐标； （2）分、和三种情况结合图象的最高点和最低点讨论得解即可； （3）先确定，使得，求出，，然后根据，当时，列方程求出的值并检验即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与二次函数（b、c是常数）相交于两点，点A是x轴上的点，点B是y轴上的点， ∴对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入，得： ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点C的坐标为； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，基点坐标为，如图， 根据对称性质得，点关于对称轴对称的点的坐标为， 设， 当时，点是最高点，是最低点， ∴， 解得，（不合题意，舍去）或； 当时，最高点是抛物线的顶点，最低点是, ∴，满足条件； 当时，点是最高点，是最低点， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）； 综上，的取值范围是或； （3）解：设， ∵点是直线上的点，且轴， ∴， ∴，， 当时，∵ ∴ ∵， ∴ 设把点往右平移两个单位得到，再往下平移个单位得到点． 如图， ∴ ∴当时，重合，此时三点共线，不存在三角形， ∴ 当时，如图，过作交延长线于点，过作于点，连接， ∴ ， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴时，． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点， G是的重心， 设交x轴于点H， 是的中线， 点的纵坐标为， 令，则，解得，（舍去）， ． 设直线的表达式为， 将与代入， 得， 解得， 所以直线的表达式为， 令，则，解得， ， 是的中线， D为的中点， ， ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1是某校操场实物图，图2是运动场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的．最内侧半圆形跑道的半径为a米，最外侧半圆形跑道的半径为b为米，每条直道的长度为c米． (1)列式表示最内侧一圈跑道的长度为________米（保留π）． (2)当最内侧一圈跑道的长度为400米，跑道内部矩形设计成足球场，问直道跑道的长度c为多少米时，矩形面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大 【分析】本题主要考查列代数式和二次函数的性质，读懂题意找出数量关系是解答本题的关键． （1）根据圆和矩形的周长公式即可得到结论； （2）设矩形面积为S，由题意可知，，则，根据列出二次函数判断即可. 【详解】（1）解：根据题意得：最内侧一圈跑道的长度为米 故答案为：； （2）设矩形EFGH的面积为S，由题意可知，， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴当时，矩形面积最大. 4．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是，，连接，． (1)求直线的表达式； (2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2)点D不在抛物线的对称轴上，见解析 (3)当时，的最大值为，此时点P坐标为 【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式； （2）抛物线的表达式为，点B坐标为．可证明．继而可证，则将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，可证，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上； （3）分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标． 【详解】（1）∵抛物线过点，， ，解得： ∴抛物线的表达式为 设直线的表达式为，则 解得： ∴直线的表达式为. （2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是： ∵抛物线的表达式为. ∴点B坐标为. ∵，， ∴. 又∵， ∴. ∴. ∴， ∴. ∴将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上， 延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，如图1. 又∵， ∴. ∴，则点D横坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线. 故点D不在抛物线的对称轴上. （3）设过点B、C的直线表达式为， ∵，， 解得： ∴过点B、C的直线解析式为 如图2，过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，点M坐标为， 过点P作x轴的垂线交于点N，垂足为H，如图2. 设点P坐标为，则点N坐标为， ∴， ∵， ∴. ∴. 若分别以、为底计算和的面积（同高不等底）， 则与的面积比为，即. ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时点P坐标为. 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示线段的长度． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在边长为的菱形中，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点都随即停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 先证明，都是等边三角形，再分、、三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， ，都是等边三角形， ． 如图1，当时，，，作于点， ， ， 故选项D不正确； 如图2，当时，，， 作于点， （cm），， 故选项B不正确； 如图3，当时，，， ， 作于点， （cm），， 故选项C不正确． 故选A． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两抛物线的对称轴相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 联立得：， 解得：或， ∴两抛物线的的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， ∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数， ∴两抛物线的开口大小一样， ∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确； 如图，连接， 由抛物线的对称性得：， 根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ∴， ∵两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴不符合题意， ∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误； 故选：C 5．（2025·安徽池州·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线可得对称轴为直线，由，则有点， （）当时，，故有点，求出直线的解析式为， 作轴于点，交于点，由，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点， 故答案为：； （）当时，， ∵与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ，解得 ∴直线的解析式为， 作轴于点，交于点，    ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行的最大距离是 米． 【答案】64 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．将写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解： ， 即当秒时，飞行器滑行的距离最大，最大为64米． 故答案为：64． 8．（24-25九年级上·安徽池州·期中）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．    【答案】14 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答． 令，求出的值，然后结合实际情况得出结论． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴， ∵相邻支撑杆之间的距离为，，， ∴在轴右侧，共7条， 同理在轴左侧最多安装7条， ∴最多可安装支撑杆14条， 故答案为：14． 10．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是 ． 【答案】4 【分析】首先利用待定系数法求得抛物线解析式为，进而确定点坐标，即可求得的面积；再确定点坐标，利用待定系数法解得直线、、的解析式，联立直线解析式和直线解析式，求解即可确定点坐标，过点作于点，易得，然后解得的面积，然后求解即可． 【详解】解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点D， ∴可令，可得， 解得，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线解析式和直线解析式， 可得，解得， ∴， 如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、求二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 11．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 【答案】点的横坐标为，点的横坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，联立方程组得， ，整理，得， 解得，或， ∴交点坐标为， ∵点在点 的左侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 12．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 13．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，小明在距篮筐处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，并且球被投中．以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式； (2)已知小刚跳离地面时，最高能摸到，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？ 【答案】(1) (2)小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在距离篮筐水平距离为处达到最大高度， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线的解析为，把代入得， ， 解得． ∴函数解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球． 14．（2025·安徽安庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键． （1）根据题意得到，由抛物线与轴的交点可设，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则点，所以，由，结合二次函数最大值的计算方法即可求解； （3）设，，则，根据菱形的性质得到，由此列式得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，， ∴， 抛物线与轴交于点，， ∴设，将点代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； （2）解：为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 15．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，得到测量数据如下： 根据以上数据，完成下列问题． (1)测量数据中，哪一组是错误的？（      ） A．　　　　 B．        C．　      D．       E． (2)以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点重新标出，并用平滑的曲线画出函数图象； 求图象所在抛物线的函数表达式． (3)若测得此圆形草坪的直径为，试通过计算说明草坪边缘处是否能恰好喷洒到水．若不能，则可以在不改变抛物线顶点位置的情况下，将喷水口向上调整多高来实现？ 【答案】(1)D； (2)见解析；； (3)将喷水口向上调整． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． 根据抛物线的对称性可知点是最高点，所以可知测量数据中点是错误的； 根据表中的数据，列表、描点、连线画出函数图象即可；设函数表达式为，把点代入解析式中求出值即可； 当时，可以得到喷洒的水最远可以到达的位置，可知草坪最边缘处不能喷洒到水，设喷出的水流最上层所在抛物线的表达式为，把点代入解析式求出的值，即可得到抛物线的解析式是，求出当时，，所以喷水口应向上调整． 【详解】（1）解：由表中数据可知，点和点是对称点， 对称轴是， 点是最高点， 测量数据中点是错误的， 故选：D； （2）解：错误数据对应的正确的点应是， 画函数图象，如下图所示： 解：由表格数据可知此函数图象的顶点坐标为， 设函数表达式为， 把代入， 解得：， 抛物线对应的函数表达式是； （3）解：当时， 可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 又， 草坪边缘处不能恰好喷洒到水； 若草坪边缘处能恰好喷洒到水，且顶点位置不变， 设喷出的水流最上层所在抛物线的表达式为， 将代入， 可得：， 解得：， 抛物线所对应的函数表达式是：， 当时， 可得：， ， 答：将喷水口向上调整． 学科网（北京）股份有限公司 $$第04讲 二次函数的应用(2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测) 典型例题一 图形问题 典型例题二 图形运动问题 典型例题三 拱桥问题 典型例题四 销售问题 典型例题五 投球问题 典型例题六 喷水问题 典型例题七 增长率问题 典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题 典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形 典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题 典型例题十一 二次函数综合一一周长问题 典型例题十二 二次函数综合一一面积问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数。 4.按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1.(24-25九年级上 安徽合肥 期末)如图,在中,.动点M,N分别从A,点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动,点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动.设运动时间为t,M、C之间的距离为y,的面积为S,则y与t,S与t满足的函数关系分别是( ) A.正比例函数关系,一次函数关系 B.正比例函数关系,二次函数关系 C.一次函数关系,正比例函数关系 D.一次函数关系,二次函数关系 【即时训练】 2.(24-25九年级上 安徽淮北 阶段练习)红光公司今年月份生产儿童玩具万件,计划之后两个月增加产量,如果月平均增长率为,那么第三季度儿童玩具的产量(万件)与之间的关系应表示为( ) A. B. C. D. 知识点02 二次函数的应用最值与轨迹问题 1、最值问题 (最大值/最小值) 利润最大化: 总利润 = (售价 - 成本) 销量。售价或销量通常是变量,且销量常随售价增加而减少(线性关系),总利润函数常为二次函数。求使利润最大的定价或产量。 成本最小化: 材料成本、运输成本、库存成本等组合优化问题中,总成本可能表示为某个变量的二次函数。 固定周长围最大面积: 如用一定长度的篱笆围矩形菜地、养鸡场等。设一边长为 x,另一边用周长表示,面积 S = x * (L/2 - x) 是二次函数。 固定表面积求最大体积: 如从矩形纸板四角剪去相同大小的正方形折成无盖盒子,求盒子最大容积。设剪去正方形边长为 x,则盒子容积 V = x(L-2x)(W-2x) 展开后是三次函数,但在特定约束下(如对称)可能转化为二次函数问题,或通过导数解决(高中)。 路径最值问题: 如几何中求线段和的最小值(常需利用对称性转化为两点间线段最短),有时涉及二次函数。 2、 抛物线轨迹问题 抛体运动: 投掷铅球、篮球投篮、炮弹发射等。已知初速度 v₀ 和发射角度 (或初始水平速度 v₀x、竖直速度 v₀y),建立高度 y 与水平距离 x 的函数关系 y = ax + bx + c。 求最大高度(顶点纵坐标)。 求射程(落地点水平距离,令 y = 0 解二次方程)。 求达到某一高度时的水平距离。 判断是否能命中目标(特定点的坐标是否满足抛物线方程或在轨迹上)。 桥梁拱形、隧道顶部: 桥梁、隧道的纵截面轮廓是抛物线形。已知关键点坐标(如桥墩位置和高度、拱顶高度),建立抛物线方程,用于计算任意点的支撑高度、车辆通过高度限制判断等。 喷泉的水柱: 水从喷口喷出的路径近似抛物线。 【即时训练】 1.(2025 安徽安庆 模拟预测)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度(单位:)与水平距离(单位:)近似满足函数关系某运动员进行了两次训练.第一次训练时,该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如图.根据上述数据,该运动员竖直高度的最大值为( ) 第一次训练数据 水平距离x/m 竖直高度y/m A. B. C. D. 【即时训练】 2.(23-24九年级上 安徽合肥 阶段练习)在特定条件下,篮球赛中进攻球员投球后,篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段,防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”,而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言,如果忽略其他因素的影响,篮球处于上升阶段的水平距离越长,则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后,某球员投篮可以简化为下述数学模型:如图所示,该球员的投篮出手点为P,篮框中心点为Q,他可以选择让篮球在运行途中经过A,B,C,D四个点中的某一点并命中Q,忽略其他因素的影响,那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是( ) A. B. C. D. 【典型例题一 图形问题】 【例1】(24-25九年级上 浙江湖州 阶段练习)用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,设为x(),则窗框的透光面积关于x()的函数表达式为( ) A. B. C. D. 【例2】(24-25九年级上 浙江杭州 期中)某农场拟建两间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,如图所示,开了三扇宽为的门,已知计划中的材料可建围墙的总长为,那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 . 【例3】(24-25九年级上 陕西西安 期末)某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库,仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成. (1)请写出仓库面积S(),与边的长(m)之间的函数关系式; (2)当边的长是多少米时,仓库的面积最大? 【例4】(2025 安徽 模拟预测)工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块,用来填充不同材质的产品.已知,点分别在和上,,且.设. (1)设甲、乙两块材料的面积之和为,求与之间的函数解析式; (2)当取何值时,甲,乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由. 1.(23-24九年级上 安徽安庆 阶段练习)如图,要围一个矩形菜园,其中一边是墙,且的长不能超过,其余的三边,,用篱笆,且这三边的和为,有下列结论: ①的长可以为; ②的长有两个不同的值满足菜园面积为; ③菜园面积的最大值为. 其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.(2024 安徽滁州 模拟预测)“幂势既同,则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理,称作祖暅原理.利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法:“夹在两条平行直线之间的两个平面图形,被平行于这两条平行线的任意直线所截,如果被截得的两条线段长总相等,那么这两个平面图形的面积相等”. (1)如图1,夹在直线与之间的矩形与曲边形满足:,.一平行于的直线交矩形于M,N,交曲边形的曲边于,,且无论在何位置都有,则曲边形的面积为 . (2)如图2,记函数的图象在第一象限围成的曲边形(阴影部分)为 ,则 的面积为 . 3.(2025 安徽蚌埠 模拟预测)如图,某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造,欲在它的西南角种植一块矩形草坪,草坪围栏总长度为.点P 是区域内一棵大树所在的位置,大树与区域边界的距离如图中数据所示,要求大树周围内(不含边界)不种植草坪.设草坪的边的长为,草坪面积为. (1)求x 的取值范围. (2)如何种植才能使草坪的面积最小?最小面积是多少? 4.(2025 安徽滁州 模拟预测)如图,某苗圃师傅用木制栅拦设计了一个矩形育苗试验田,一面紧靠围墙,围墙的长度为21米,提供的木制栅栏的总长度为40米,在安装过程中栅栏不重叠使用,且无损耗和浪费.设该矩形育苗试验田的一边长为(单位:),另一边长为(单位:),面积为(单位:). (1)直接写出与之间的函数关系式(写出的取值范围). (2)该矩形育苗试验田的面积能达到吗?如果能,求出的值;如果不能,请说明理由. (3)当的值是多少时,该矩形育苗试验田的面积最大?最大面积是多少? 【典型例题二 图形运动问题】 【例1】(23-24九年级上 江苏淮安 阶段练习)如图,在中,,,,动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合),动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合).如果、分别从、同时出发,那么经过( )秒,四边形的面积最小. A.0.5 B.1.5 C.3 D.4 【例2】(2025 安徽 模拟预测)在线段上取点,分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形,点、分别是、的中点,连接,若,则线段的最小值为 . 【例3】(24-25九年级上 全国 课后作业)如图,已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米,与在同一条直线上,开始时点A与点N重合,让以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,求重叠部分的面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式. 【例4】(23-24九年级上 四川成都 阶段练习)如图,在中,,P点在BC上,从B点到C点运动(不包括C点),点P运动的速度为;Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点),速度为.若点P、Q分别从B、C同时运动,且运动时间记为t秒,请解答下面的问题,并写出探索的主要过程. (1)当t为何值时,P、Q两点的距离为? (2)当t为何值时,的面积为? (3)请用配方法说明,点P运动多少时间时,四边形的面积最小?最小面积是多少? 1.(2025 安徽滁州 模拟预测)如图所示,等边三角形的边长为1,点 D 从点A 出发,沿A C B 运动.在运动过程中,过点 D 作边的垂线,交于点G.设线段的长度为x,的面积为y,则 y关于x的函数图象正确的是( ) A. B. C. D. 2.(23-24九年级上 安徽池州 期末)如图,在矩形中,,,点P从点A出发,沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动;点Q从点B出发,沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动. P,Q两点同时出发,设点P运动的时间为(单位:秒),的面积为.则关于的函数表达式为 . 3.(24-25九年级上 宁夏吴忠 期中)如图,在中,,,,动点从点开始沿边向点以的速度移动,动点从点开始沿边向点以的速度移动,如果、两点分别从,两点同时出发,设运动时间为. (1) , ; (2)为何值时的面积最大? 4.(24-25九年级上 黑龙江双鸭山 期末)如图1,在中,,.点以的速度从点A出发沿匀速运动到;同时,点以的速度从点出发沿匀速运动到.两点同时开始运动,到达各自终点后停止,设运动时间为,的面积为.当点在上运动时,S与的函数图象如图2所示. (1)求线段的长和点的运动速度; (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式,写出自变量的取值范围,并补全函数图象; (3)当时间在什么范围内变化时,的面积为的值不小于?请直接写出t的取值范围. 【典型例题三 拱桥问题】 【例1】(23-24九年级上 四川绵阳 期中)如图,一座抛物线型拱桥,桥下水面宽度是时,拱顶到水面的距离是,则当水面宽为时,水面上升了( ) A. B.1 C. D. 【例2】(23-24九年级上 山西吕梁 期中)古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥,赋诗“半钩留照三秋淡,一练分波平镜明”于此,并题“卢沟晓月”,立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线,桥拱在水面的跨度约为22米,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为,则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为 米. 【例3】(24-25九年级上 安徽宣城 期中)交通规则上有许多标志,如图所示是某地的两个限制数量,某货车的迎面的截面图形坐标如图所示,问该车能否通过此路段,并说明理由. 【例4】(24-25九年级上 陕西汉中 期末)周末,小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍,小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间(米),两边拴绳的地方、距地面的高度均为米(米),吊床形状近似呈抛物线形,此时吊床最低点离地面的高度为米.已知,,图中所有的点都在同一平面内.以树与地面的交点为原点,地面上所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当吊床上某处离地面高度为米时,求吊床上该处离右边树的距离. 1.(23-24九年级上 安徽阜阳 阶段练习)如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是( ) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 2.(23-24九年级上 安徽常德 期中)如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥,当拱顶离水面2米高时,水面l为4米,则当水面下降1米时,水面宽度 米. 3.(2025 安徽马鞍山 模拟预测)如图1,这是一座位于山谷中的大桥,全长70米,桥面水平,桥底近似为抛物线,桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑.经测量,当在桥面上距离桥头35米时,桥面和桥底的支撑石柱最长,长度为20米.以桥面为x轴,左侧桥头为原点,建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求该抛物线的函数表达式. (2)若其中一根石柱的长度为16.8米,则这根石柱安放的位置距离左侧桥头多远? 4.(2025 安徽安庆 模拟预测)一座三拱桥横跨于湖面之上,三个桥洞均呈抛物线型且抛物线形状相同,如图所示,以中点O 为坐标原点,所在直线为x 轴 ,所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.已知:桥洞的最大高度为8米,跨度米,桥洞关于y 轴对称,且最大高度均为4米. (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式; (2)如图所示,现需要在桥洞上安装两盏靠近y 轴的照明灯Q,P,且照明灯的高度都是2米,请计算照明灯的水平距离的长度. 【典型例题四 销售问题】 【例1】(24-25九年级上 河北石家庄 期中)某畅销书的售价为每本20元,每星期可卖出300本,书城准备开展“读书节活动”,决定降价促销.经调研,如果调整书籍的售价,每降价1元,每星期可多卖出20本.设每本降价元后,每星期售出此畅销书的总销售额为元,则与之间的函数表达式为( ) A. B. C. D. 【例2】(23-24九年级上 北京 期末)2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售.某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装,每盒进价为元.当地物价部门规定,该礼盒销售单价最高不能超过元盒.在销售过程中发现该礼盒每周的销量(件与销售单价(元之间近似满足函数关系:. (1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为(元,则与的函数关系式为 ; (2)该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 元. 【例3】(2025 湖北随州 模拟预测)某商店销售一种新型智能水杯,进价为每个40元,若售价为每个60元时,每天可售出200个.经市场调研发现:售价每上涨1元,每天销售量减少5个;售价每下降1元,每天销售量增加10个.设售价为每个x元,每天的销售利润为y元. (1)求售价定为多少时,每天的销售利润最大; (2)若商店希望每天的利润不低于4000元,直接写出售价x的取值范围. 【例4】(2025 辽宁丹东 模拟预测)某水果超市购进一批水果,进价为每千克40元,在一段时间内,销售量y(千克)是每千克售价x(元)的一次函数,其图象如图所示. (1)求这段时间内y与x之间的函数关系式; (2)在这段时间内,当每千克售价为多少元时,销售利润最大,最大利润为多少? 1.(24-25九年级上 四川凉山 期末)彝族年假期期间,某店销售特产苦荞饼,经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时,日销售量为500盒,当每盒售价每下降1元时,日销售量会增加10盒.已知每盒苦荞饼的成本为10元,设每盒降价x元,商家每天的利润为y元,则y与x之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 2.(2025 山西运城 模拟预测)一种商品在原售价的基础上涨价销售,每件的利润y(元)与每件上涨的价格x(元)的函数关系如图1,日销售数量z(件)与每件上涨的价格x(元)的函数关系如图2.则日销售的最大利润为 元. 3.(2025 贵州铜仁 模拟预测)“骑车戴头盔,放心平安归”.越来越多的人上下班会选择骑行电动车,佩戴头盔更能保证大家的行车安全.某商店统计了某品牌头盔的销售量,四月份售出350个,六月份售出504个,且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率; (2)经市场调研发现,此种品牌头盔如果每个盈利10元,月销售量为500个,若在此基础上每个涨价1元,则月销售量将减少20个,现在既要使月销售利润达到6000元,又要尽可能让顾客得到实惠,那么该品牌每个头盔应涨价多少元? (3)该品牌头盔每个涨价多少元时,月销售利润最大?最大利润是多少? 4.(2025 山西运城 模拟预测)“六一”儿童节期间,某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品.在销售前,销售经理进行了市场调研. 调研数据:下表是日销售数量y(个)与销售单价x(元)的部分调研数据: 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型:(1)根据调研数据可知y是x的_(填“一次”“二次”或“反比例”)函数,y关于x的函数表达式为_. 问题解决:(2)儿童礼品的销售单价定为多少元时,日销售利润最大,最大日销售利润是多少? (3)若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元,捐赠后,该儿童礼品日销售最大利润为元,求m的值. 【典型例题五 投球问题】 【例1】(2025 天津河西 模拟预测)一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:)与水平距离x(单位:)之间的关系是.有下列结论:①这名男生铅球推出的水平距离为;②铅球到达最高点时的高度为;③当铅球的高度为,推出的水平距离为或.其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【例2】(24-25九年级上 浙江温州 期中)小初进行投实心球练习,实心球的行进过程为抛物线形状,如图所示建立平面直角坐标系,实心球行进高度(单位:)与水平距离(单位:)之间的关系是,则实心球推出的水平距离的长是 . 【例3】(23-24九年级上 浙江杭州 期末)把一个足球垂直地面向上踢,(秒)后该足球的高度(米)适用公式 (1)经多少秒后足球回到地面? (2)经多少秒时球的高度为15米? (3)当达到最高时,求的值. 【例4】(2025 湖北随州 模拟预测)如图,以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度(单位:)与飞行时间(单位:)之间满足二次函数关系.小明在一次击球过程中测得一些数据,如表所示,根据相关信息解答下列问题. 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式(不写自变量取值范围); (2)若小球飞行时间不超过,则小球飞行高度能否达到?若能,求出此时的值,若不能,说明理由; (3)当值为多少时,小球飞行的高度最大?最大高度是多少? 1.(2025 江苏南通 模拟预测)如果把小球从地面以的速度竖直上抛,则小球离地面的高度h(单位:m)与经过的时间x(单位:s)的关系式为.根据该物理规律,下列对方程的两根,的解释正确的是( ) A.小球两次到达离地面的高度为的位置,其时间间隔约为 B.小球经过的时间约离地面的高度为,并将继续上升 C.小球离地面的高度为时,经过的时间约为 D.小球经过的时间约离地面的高度为 2.(24-25九年级上 山东滨州 期中)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:)与足球被踢出后经过的时间t(单位:)之间的关系. 0 1 2 3 4 5 6 7 ... 0 8 14 18 20 20 18 14 ... 如上表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为;②足球飞行路线的对称轴是直线;③足球被踢出时落地;④足球被踢出时,距离地面的高度是.其中正确的结论是 . 3.(2025 河南濮阳 模拟预测)小明在距离球门10米的点处射门,球沿抛物线轨迹运动.球在飞行6米时达到最高点,高度为3米.以球门底部点为原点,建立平面直角坐标系,球门高度为米,防守球员能拦截的最大高度为米.球的运动轨迹可用抛物线来描述. (1)求抛物线的表达式; (2)在无人防守的情况下,球能否射进球门,请说明理由; (3)当球飞过最高点后,防守球员才开始拦截.问防守球员站在离球门最大多远的距离,可有效拦截射来的足球,请直接写出你的答案. 4.(2025 湖北襄阳 模拟预测)【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一,李明发现实心球从出手到落地的过程中, 实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化. 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 李明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位:m)与竖直高度y(单位:m)的数据如表: 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系,根据图中点的分布情况,李明发现其图象是二次函数的一部分. 【解决问题】 (1)在李明投掷过程中,出手时实心球竖直高度是_m,实心球在空中的最大高度是_m; (2)求满足条件的二次函数的解析式; (3)根据该市中考体育考试评分标准(男生版),在投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时,即可得满分10分,李明在此次考试中能否得到满分,请说明理由. 【典型例题六 喷水问题】 【例1】(23-24九年级上 新疆哈密 期中)如图,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距离喷水头2米时,达到最大高度米,水流喷射的最远水平距离OC是( ) A.6米 B.5米 C.4米 D.1米 【例2】(23-24九年级上 辽宁大连 阶段练习)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑,从A点向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为x轴,点O为原点建立直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的点C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为.则的长为 . 【例3】(23-24九年级上 甘肃定西 期中)从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直).抛物线的最高点离墙,离地面.求水的落地点与点的距离. 【例4】(24-25九年级上 江西赣州 期末)图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉,喷出的水花是形状相同的抛物线.如图2,以点为原点,建立平面直角坐标系,水平方向为轴,所在直线为轴,点为水花的落水点在轴上,抛物线的解析式为. (1)求喷水管的高度; (2)现重新改建喷泉,升高喷水管,使落水点与喷水管距离5米,已知喷水管升高后,喷水管喷出的水柱抛物线形状不变,且水柱仍在距离原点2米处达到最高,求喷水管要升高多少? 1.(24-25九年级上 山西临汾 期末)随着自动化设备的普及,许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统.如图,喷灌器喷水点到地面的高度为,喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m,且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点处.若喷灌器喷出的水柱是抛物线,则喷灌器与围墙的距离为( ) A.3.5m B.4m C.4.5m D.5m 2.(24-25九年级上 河南周口 期末)水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器,将水自下而上高速喷出,雾化后形成水幕,然后由专用放映机将特制的录影带.投射在水幕上.如图,水嘴喷出的水柱的最高点为P,,,水嘴高,则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m. 3.(2025 陕西 模拟预测)某圆形洗手盆上安装了一款水龙头,其弯曲部分呈抛物线形.以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点,直立部分所在直线为y轴,垂直于的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,测得水龙头最高点P距x轴,B为该水龙头弯曲部分上的一个点,且轴,测得. (1)求抛物线的表达式; (2)已知该圆形洗手盆的宽为(洗手盆的左侧与紧挨),水龙头的出水点C(在抛物线上)在洗手盆台面中心的正上方.若当水龙头的出水点距离洗手盆台面的距离在至之间时两者匹配,请问该圆形洗手盆与安装的水龙头是否匹配. 4.(24-25九年级上 陕西西安 期中)某公园的人工湖里安装一个喷泉,在湖中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,在水管的顶端安一个喷头,它喷出的抛物线形水柱在与喷水管的水平距离为1米处达到最高,水柱落到湖面处离喷水管4米.以喷水管与湖面的交点为原点,建立如图的平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式; (2)现公园准备通过只调节喷水管露出湖面的高度,使得游船能从抛物线水柱下方中间通过.为避免游客被喷泉淋湿,要求游船从抛物线水柱下方中间通过时,游船顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于1.5米,已知游船顶棚宽度为1米,顶棚到湖面的高度为2.5米,那么公园应将喷头(喷头大小忽略不计)至少向上移动多少米才能符合要求? 【典型例题七 增长率问题】 【例1】(24-25九年级上 河南周口 期中)某商品原价100元,分两次降价,设平均每次降价的百分率为x,降价后的价格为y元,则y与x的函数解析式为( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 宁夏银川 模拟预测)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元,已知两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为 . 【例3】(23-24九年级上 全国 课后作业)某商场第1年销售计算机5000台,如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x,写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式. 【例4】(23-24九年级上 河北廊坊 阶段练习)某工厂的前年生产总值为10万元,去年比前年的年增长率为,预计今年比去年的年增长率为,设今年的总产值为万元. (1)求与的关系式; (2)当时,求今年的总产值为多少万元? 1.(23-24九年级上 河南周口 阶段练习)共享单车为市民的出行带来了方便,某单车公司第一个月投放1000辆单车,计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆,设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x,则x的值为( ) A.1.2 B. C. D. 2.(23-24九年级上 全国 单元测试)某厂加工一种产品,现在的年产量是万件,计划今后两年增加产量.如果每年的增长率都为,那么两年后这种产品的年产量(万件)与之间的函数表达式为 (要求化成一般式). 3.(23-24九年级上 全国 课后作业)某种产品现在的年产量是,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? 4.(23-24九年级上 湖北荆州 期中)向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元,预计2022年的纯收入是7.26万元. (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率; (2)随着养鸡规模不断扩大,李明需要再建一个养鸡场,他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场(如图),墙长50米,养鸡场面积为1200米2,求养鸡场与墙平行的一边的长度. 【典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题】 【例1】(23-24九年级上 浙江台州 期末)如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90 ,BC=8,点D、点E分别是BC、AC边上的点,DE//AB则S BDE的最大值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【例2】(2025九年级 全国 专题练习)如图,抛物线与轴交于点C,点D的坐标为(0,-1),在第四象限抛物线上有一点P,若 PCD是以CD为底边的等腰三角形,则点P的横坐标为( ) A.1+ B.1- C.-1 D.1-或1+ 【例3】(23-24九年级上 吉林长春 期末)如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点在轴的负半轴上,点在轴的负半轴上,抛物线的顶点为,且经过点、,若 为等腰直角三角形,则的值是 . 【例4】(23-24九年级上 山东济宁 期中)如图,点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上,点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上,若 A1B0B1、 A2B1B2、…、 AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点),则 A2020B2019B2020的腰长= . 1.(2025 江苏无锡 一模)在平面直角坐标系中,抛物线(b,c为常数)的对称轴为直线,且经过点,该抛物线与x轴的负半轴交于点B. (1)此抛物线对应的函数表达式; (2)点P是抛物线上的一点,当的面积为某一值时,符合该值的点P恰好有三个,求对应点P的横坐标; (3)点M为抛物线对称轴上一点,点N为抛物线上一点,若是以为斜边的等腰直角三角形,直接写出点N的坐标. 2.(2025 安徽蚌埠 模拟预测)如图,已知直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线与直线交于、两点,与轴交于两点,且线段. (1)求该抛物线的解析式; (2)动点在轴上移动,当是直角三角形时,求点的坐标; (3)在抛物线的对称轴上找一点,使的值最大,求点的坐标. 3.(2025 安徽安庆 模拟预测)在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点(A在B的右侧),与y轴交于点C. (1)如图,直线与抛物线在第一象限交于点,交于点,交轴于点,于点,若为的中点,求的值. (2)直线与抛物线交于,两点,其中.若且,结合函数图象,探究的取值范围. (3)已知二次函数. ①若该函数的取值恒为非负数,求实数的取值范围. ② 当,该二次函数的增减性不发生变化, 求实数的取值范围. 4.(24-25九年级上 黑龙江 阶段练习)如图,二次函数的图象与轴交于点、点,与轴交于点,其中. (1)求二次函数的解析式; (2)若点在二次函数图象上,且,求点的坐标; (3)若M是抛物线对称轴上一点,ACM是等腰三角形,直接写出点M的坐标. 【典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形】 【例1】(23-24九年级上 湖北荆门 期末)已知,,抛物线顶点在线段上运动,形状保持不变,与轴交于、两点在的右侧,下列结论:①;②当,一定有随的增大而增大;③点横坐标的最小值为,则点横坐标的最大值为;④当四边形为平行四边形时, ,其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例2】(23-24九年级上 浙江温州 期中)如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,正方形的边在轴上,,在抛物线上,连结,,是正三角形,,则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【例3】(23-24九年级上 浙江温州 阶段练习)如图,抛物线y=-x2+ 4x+c交y轴正半轴于点A,过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C,点B在x轴上,点D在AC上方的抛物线上.当四边形ABCD是菱形时,则c的值为 . 【例4】(23-24九年级上 浙江湖州 阶段练习)如图,已知抛物线与直线交于O,A两点.点B是个抛物线上O,A之间的一个动点,过点B分别作两条坐标轴的平行线,与直线OA交于点C,E,以BC,BE为边构造矩形BCDE,设点D的坐标为,则m关于n的函数关系式是 . 1.(2022 安徽合肥 模拟预测)已知抛物线恒经过两个定点A和B(点A在点B左侧),现将直线AB作为对称轴,将抛物线进行翻折而得到抛物线,的顶点P与的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ. (1)点A和点B坐标分别为_和_; 四边形APBQ的是一种特殊的四边形,它是_,的解析式为_. (2)当点Q到x轴的距离为4时, ①求m值和此时四边形APBQ的面积. ②若直线与两抛物线、共同所组成图像共有4个交点,直接写出当时,a的取值范围. 2.(2025 安徽池州 一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)若点F为抛物线上一点,点E为直线上一点,当以A,B,E,F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时,求点F的坐标. 3.(23-24九年级上 陕西咸阳 期末)如图,在坐标系中,抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点,抛物线的对称轴为. (1)求点,,的坐标及对称轴; (2)为上一动点,为抛物线上一动点,是否存在这样的点,,使得以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有点和点的坐标;若不存在,请说明理由. 4.(24-25九年级上 重庆綦江 期末)如图1,已知抛物线与x轴交于两点,与y轴交于C. (1)求抛物线的函数表达式: (2)设P为抛物线上一动点,点P在直线上方时,过P作轴,交于点E,过E作轴于F,求的最大值及此时点P的坐标: (3)若M为抛物线上动点,点N在抛物线对称轴上,是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形?如果存在,直接写出点N的坐标:如果不存在,请说明理由. 【典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题】 【例1】(2024 安徽滁州 模拟预测)抛物线,设该抛物线与轴的交点为和,与轴的交点为C,若,则的值为 ( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 浙江杭州 模拟预测)如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿A B C方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E作EF⊥AE交CD于点F,设点E运动路程为x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,给出下列结论:①a=3;②当CF=时,点E的运动路程为或或,则下列判断正确的是( ) A.①②都对 B.①②都错 C.①对②错 D.①错②对 【例3】(2025九年级 全国 专题练习)直线与抛物线交于、两点,当时,直线恒过一个定点,该定点坐标为 . 【例4】(23-24九年级上 江苏南通 期中)如图,已知点P是二次函数图像在y轴右侧部分上的一个动点,将直线沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以为直角边的与相似,请求出点P的坐标 . 1.(24-25九年级上 陕西咸阳 阶段练习)某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图,这两条小道之间的距离为9米,表示这块空地,点在上,点,在上,米.现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛,使它的一边在上,其余两个顶点分别在边上. (1)如果矩形花坛的边,分别求出此时矩形花坛的两条邻边长; (2)矩形花坛的面积能否占到三角形空地面积的?请作出判断并说明理由. 2.(2025 安徽蚌埠 模拟预测)已知二次函数的图像与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,对称轴经过点且与交于点F,. (1)求二次函数的表达式; (2)点D是抛物线的顶点,点P在抛物线上,并且位于对称轴的右侧, ①当时,求点P的坐标; ②连接,点Q是直线上一点,当时,求点P的坐标. 3.(24-25九年级上 辽宁大连 期末)我们定义【a,b,c】为函数的“特征数”.如:函数的“特征数”是【1,,3】,函数的“特征数”是【0,2,】,函数的“特征数”是【0,,0】. (1)若一个函数的特征数是【1,,2】,将此函数的图象先向左平移1个单位,再向上平移2个单位,得到一个图象对应的函数“特征数”是_; (2)将“特征数”是【0,,】的函数图象向上平移2个单位,得到一个新函数,这个新函数的解析式是_; (3)当“特征数”是【1,,】的函数在直线和直线之间的部分(包括边界点)的最低点的纵坐标为4时,求的值. (4)当特征数【1,b,c】满足时,函数的图象与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.已知点B的坐标为,若在x轴上有一点P,使,请直接写出点P的坐标. 4.(24-25九年级上 安徽阜阳 阶段练习)在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,,交轴于点,连接,的面积为. (1)如图1,求与的值: (2)如图2,点在第一象限抛物线上,连接交轴于点,设点的横坐标为,线段的长为,求与的函数解析式(不必写出自变量的取值范围); (3)在(2)的条件下,如图3,点在上,连接,,点为的中点,连接并延长交抛物线于点,连接交于点,连接,,点在上,连接,交于点,交于点,若,求点的坐标. 【典型例题十一 二次函数综合一一周长问题】 【例1】(2025 四川达州 模拟预测)如图,抛物线(为常数)交轴于点,与轴的一个交点G,顶点为. ①拋物线与直线有没有交点; ②若点、点、点在该函数图象上,则; ③将抛物线向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为; ④点关于直线的对称点为,点D,E分别在轴和轴上,当时,四边形周长的最小值为. 其中正确判断有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例2】(2025 浙江湖州 模拟预测)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=a1x2(a1≠0)与抛物线C2:y=a2x2+bx(a2≠0)的交点P在第三象限,过点P作x轴的平行线,与物线C1,C2分别交于点M,N.若=,则的值是( ) A. B.n﹣1 C.n D. 【例3】(2025 辽宁 模拟预测)如图,抛物线经过坐标原点O,顶点,矩形的顶点A,D在抛物线上,B,C在x轴的正半轴上,点A的纵坐标是,则矩形的周长为 . 【例4】(2024九年级 全国 竞赛)如图,在平面直角坐标系中,对称轴为直线的抛物线经过不同的三点,其中点在第二象限且为抛物线的顶点,点在轴的负半轴上,点位于点之间的抛物线图象上,若的周长为,则四边形的周长为 . 1.(2025九年级 安徽 专题练习)已知抛物线与轴交于,两点(点在点左侧),与轴交于点. (1)求三点的坐标. (2)在该拋物线的对称轴上是否存在点,使得的周长最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 2.(2025 安徽宣城 模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于,两点,点的横坐标为1. (1)求直线和抛物线的解析式; (2)点是直线下方的抛物线上的一动点(不与点,重合),过点作轴的平行线,与直线交于点,连接.设点的横坐标为. 当点在轴上方,为何值时,是等腰三角形; 当点在轴下方,为何值时,的周长最大,最大值是多少? 3.(23-24九年级上 福建莆田 阶段练习)如图,已知二次函数的图像经过、两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)设该二次函数图像的对称轴与轴交于点,连接、,求的面积和周长. 4.(24-25九年级上 四川泸州 期末)如图,抛物线的图象与x 轴交于、B两点,与y轴交于点. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)若点E在抛物线上,且,求点E 的坐标; (3)点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作轴于M,过点P作交抛物线于点Q,过点Q作轴于点N.设点P的横坐标为m,请用含m的代数式表示矩形的周长,并求矩形的周长最大值. 【典型例题十二 二次函数综合一一面积问题】 【例1】(2025 安徽宣城 模拟预测)如图,为线段上一点,,,,,,记和的面积分别为,.设,,则关于的函数图象为( ) A. B. C. D. 【例2】(24-25九年级上 安徽合肥 阶段练习)如图,用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是( ). A. B. C. D.4 【例3】(24-25九年级上 湖南张家界 阶段练习)已知抛物线顶点为点,与y轴交于点B,在抛物线上有一点P,使的面积为8,则点P的坐标是 . 【例4】(24-25九年级上 吉林长春 阶段练习)如图,抛物线交x轴正半轴于点A,交y轴于点B,线段轴交抛物线于点,则的面积是 . 1.(2025 安徽安庆 模拟预测)已知一次函数与二次函数(是常数)相交于两点,点是轴上的点,点是轴上的点,点为抛物线的顶点.点在抛物线上,其横坐标为. (1)求该二次函数解析式及顶点的坐标; (2)若抛物线在之间的部分(包含两点)最高点与最低点的纵坐标差为时,求的取值范围; (3)点是直线上的点,且轴,把点往右平移两个单位,再往下平移个单位得到点.是否存在不与点重合的点,使得?若存在,请求出面积相等时的值;若不存在,请说明理由. 2.(2025 福建泉州 模拟预测)定义:三角形的三个顶点都在二次函数的图象上,若该三角形的重心恰好在x轴上,则称此三角形为“平稳三角形”.如图,二次函数的图象与x轴交于点,与y轴交于点,A是二次函数图象上的一点,且点A在第三象限. (1)求二次函数的表达式; (2)若为“平稳三角形”,中线AD交x轴于点G,求的面积. 3.(24-25九年级上 安徽合肥 阶段练习)如图1是某校操场实物图,图2是运动场示意图,每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成,每两条跑道之间的距离是相等的.最内侧半圆形跑道的半径为a米,最外侧半圆形跑道的半径为b为米,每条直道的长度为c米. (1)列式表示最内侧一圈跑道的长度为_米(保留 ). (2)当最内侧一圈跑道的长度为400米,跑道内部矩形设计成足球场,问直道跑道的长度c为多少米时,矩形面积最大? 4.(24-25九年级上 安徽亳州 阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点坐标分别是,,连接,. (1)求直线的表达式; (2)将沿所在直线折叠,得到,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上?若点D在对称轴上,请求出点D的坐标;若点D不在对称轴上,请说明理由; (3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接交于点Q,连接,的面积记为,的面积记为,求的值最大时点P的坐标. 1.(23-24九年级上 安徽阜阳 期中)飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是,则飞机着陆后滑行( )秒才能停下来? A.10 B.15 C.20 D.30 2.(24-25九年级上 安徽合肥 期末)据统计,7月份我国新能源汽车的销量为98万辆,8,9月份销量逐月增加.若第三季度的累计销量为万辆,平均月增长率为,则关于的函数解析式为( ) A. B. C. D. 3.(2025 安徽蚌埠 模拟预测)如图,在边长为的菱形中,,点,同时从点出发,点以的速度沿的方向运动,点以的速度沿的方向运动,当其中一点到达点时,两点都随即停止运动.设运动时间为,的面积为,则下列能大致反映与之间关系的函数图象是( ) A. B. C. D. 4.(2025 安徽六安 模拟预测)如图,已知抛物线与抛物线的对称轴相同,顶点分别为C,D,两图象交于点,,则下列结论正确的个数是( ) ①的值为2;②当时,两抛物线组成的图象为轴对称图形,共有两条对称轴;③四边形为菱形;④满足四边形为正方形的的值有2个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2025 安徽池州 模拟预测)一种高脚杯如图1所示,其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分,图2为其杯肚的截面图,已知杯口,杯深.如图3,若将盛有部分液体的高脚杯倾斜(即与液面所在直线相交,所夹较小角为),液面与交于点E,且点E距杯口的距离,则此时液面宽为( ) A. B. C. D. 6.(2025 安徽安庆 模拟预测)已知抛物线与轴交于点,,抛物线与轴交于点. (1)点的坐标为 ; (2)当时,点是抛物线在第一象限上的一动点,连接,,,若随的增大而增大,则的取值范围是 . 7.(24-25九年级上 安徽蚌埠 期中)某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离(米)关于滑行的时间(秒)的函数解析式是,无人机着陆后滑行的最大距离是 米. 8.(24-25九年级上 安徽池州 期中)根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛(如图所示),那么物体离地面的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)的函数关系为:.根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间t为 秒. 9.(24-25九年级上 安徽六安 期末)如图,一古桥的桥洞可近似看成抛物线型,其解析式为,现要对这座古桥进行加固,须临时安装一些垂直于地面的支撑杆,要求相邻支撑杆之间的距离为,但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于,即图中,,则最多可安装支撑杆 条. 10.(24-25九年级上 安徽宣城 期末)如图,抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点C,作轴交抛物线于点D,交于点,那么与的面积比值是 . 11.(24-25九年级上 安徽铜陵 阶段练习)已知抛物线与直线的图象交于两点(点在点的左侧),试分别求两点的横坐标. 12.(24-25九年级上 全国 期中)某商品售价为每件60元,每周可卖出300件,为提高利润,商家决定涨价销售,经过一段时间发现,每涨价5元,每周少卖50件,已知商品的进价为每件40元,当售价定为多少时利润最大?求最大利润. 13.(2025 安徽池州 模拟预测)如图,小明在距篮筐处跳起投篮,篮球的运动路径为抛物线,球在小明头顶上方处出手,在距离篮筐水平距离为处达到最大高度,并且球被投中.以小明起跳点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式; (2)已知小刚跳离地面时,最高能摸到,则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时,小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球? 14.(2025 安徽安庆 模拟预测)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点和点.为第一象限的抛物线上一点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)求面积的最大值; (3)若点、分别为线段、上一点,且四边形是菱形,直接写出的坐标. 15.(2025 安徽蚌埠 模拟预测)数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围,他们发现:自动浇水装置竖直立于草坪中心处,且喷出的水流的最上层呈抛物线形.他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为,到地面的竖直高度记为,得到测量数据如下: 根据以上数据,完成下列问题. (1)测量数据中,哪一组是错误的?( ) A. B. C. D. E. (2)以草坪的中心为原点,浇水装置所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出,请将错误数据对应的点重新标出,并用平滑的曲线画出函数图象; 求图象所在抛物线的函数表达式. (3)若测得此圆形草坪的直径为,试通过计算说明草坪边缘处是否能恰好喷洒到水.若不能,则可以在不改变抛物线顶点位置的情况下,将喷水口向上调整多高来实现? 学科网(北京)股份有限公司 $$