21.1 一元二次方程课件2025--2026学年人教版　九年级数学上册

21.1一元二次方程 创设情境，导入新知 思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？ 如图：雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 思考:观察上述三个方程,它们与一元一次方程有什么共同点?有什么不同点？ 等号两边都是整式 只含有一个未知数 未知数的最高次数是 2 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程． 三个问题得到三个方程 一元二次方程的概念：含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。其一般形式是 。其中，二次项是 ，一次项是 ，常数项是 二次项系数是 ，一次项系数是 。 1个 2次 整式 c bx a b 例1：当m取何值时，关于x的方程（m-3）x∣m∣-1+(m+3)x-3=0是一元二次方程。 解，由题意得： 解得： 练习：（1）已知关于x的方程（n-2）xn2-2 +3nx+3=0是一元二次方程。求n的值。 （2）关于x的方程（2m2+m-3）xm+1+5x=13是一元二次方程吗？为什么 例2：将一元二次方程化为一般形式，并指出它的a、b、c. 解： a=1,b=-6,c=14 练习：将一元二次方程化为一般形式，并指出它的a、b、c. (1)3x2=27 (2)(1+3x)2=25 (3)9x2+24x+16=11 (4)x2-4x-2=0 (5)2x2-8x=-5 (6)2x(x+3)=5(x+3) 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2 + bx + c = 0 （a≠0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 将方程3x(x - 1)= 5(x + 2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项． 例题解析 二次项系数是：3； 一次项系数是：-8； 常数项系数是：-10 巩固训练 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）5x 2 -1= 4x；（2）4x 2 = 81；（3）4x(x + 2)=25；（4)(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3． 2．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式． （1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； （2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x； （3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x． 一元二次方程的根 x=2是方程3x(x-1)=5(x+2)的根吗？为什么？ 例题解析 解：把x=2代入方程3x(x-1)=5(x+2)的左右两边， 得到左边=6，右边=20 左边≠右边， 所以x=2不是原方程的根。 使得方程成立即使得方程两边相等的未知数的值为方程的解。而一元二次方程的解也称作一元二次方程的根。 总结梳理 1.一元二次方程的概念： 只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式，我们把 称为一元二次方程的一般形式． 3.一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。 Lavf56.40.100 $$