解三角形中的范围与最值问题讲义（基础）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

解三角形中的范围与最值问题 策略1：余弦定理+基本不等式放缩 策略2：正弦定理边化角+三角函数求值域 策略3：数形结合（适用于填选） 例1 在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c、且，a＝2，求 （1） △ABC面积S的最大值． （2） △ABC周长的范围． 例2 在锐角△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c、且，a＝2，求 （1） △ABC面积S的取值范围． （2） △ABC周长的范围． 例3 在△ABC中，， (1)求的取值范围。 (2)求的取值范围。 例4 在锐角△ABC中，，求△ABC面积的取值范围. 练1（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练2（22-23高一下·河南·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 练3（21-22高一上·江西景德镇·期末）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练4．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 练5（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 练6．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 练1【详解】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 练2【答案】A 【分析】根据三角恒等变换求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，即可求得面积的最大值． 【详解】因为， 所以， 即， 即， 即， 所以，解得， 因为，所以， 又因为，， ，解得， 因为，，都为正数，所以，即， 解得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 故选：A． 练3【分析】根据条件求出，利用三角形面积公式得到，采用极端值方法求出的最值，进而得到的范围，求出面积的取值范围. 【详解】，因为为锐角三角形，故， ，当BC⊥AB时，，当CB⊥AC时，，故，所以. 故选：C 练4【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 练5【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 练6【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$