精品解析：江苏省江阴市部分重点学校2024-2025学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题

2024—2025学年高一年级春学期第二次阶段性检测 数学 2025年5月 命题人：万赢银 审核人：万赢银 注意事项： 1．本试卷包括选择题和非选择题，满分150分，考试用时120分钟. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式求出的关系，进而可得出答案. 【详解】设， 则， 又因为， 所以，化简得， 所以. 故选：A. 2. 已知向量，，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，根据向量平行的坐标表示，列式求解，即得答案. 【详解】由题可知向量，，， 则，因为与共线， 所以，解得. 故选：B 3. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个独立事件及对立事件来解决问题. 【详解】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为. 故选：D. 4. 在中，，点为边上一点，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得， 因为点为边上一点，且，可得， 所以， 所以. 故选：D. 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，，那么 D. 如果，，，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可. 【详解】若，，，则，故A正确； 若，，，则或，故B错误； 由，，推不出，故C错误； 由，，，推不出，故D错误； 故选：A 6. 已知随机事件，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若事件与互斥，则 B. 若，则事件与可能互斥 C. 若事件与相互独立，则 D. 若，则事件与互斥 【答案】C 【解析】 【分析】由相互独立事件、互斥事件的关系进行验证各选项. 【详解】对于A，因为与互斥，所以，故A错误； 对于B，若，则， 解得，所以事件与不可能互斥，故B错误； 对于C，若事件与相互独立，则事件与也相互独立， 则，故C正确； 对于D，若，又， 所以，所以事件与相互独立，则事件与也相互独立， 事件与可能同时发生，所以事件与不互斥，故D错误. 故选：C. 7. 如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解即可. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有，如图， 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，， 由余弦定理得：, 所以，即, 在三角形中，，， 由勾股定理可得：,且. 同理可求：，因为， 所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 故选：D. 8. 的内角的对边分别为，已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得①，②, 由得，, 故， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为， 故，所以， 又，所以， 则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 故答案为：. 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据古典概型分析求解；对于BCD：利用列表法结合古典概型求，进而结合互斥事件、独立事件以及事件的运算分析求解. 【详解】对于选项A：因为第二次的点数有，共6个可能值， 事件B包含的点数有，共3个可能值，所以，故A正确； 因为第一次的点数有，共6个可能值，可得， 对于事件C，列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 可知共有个基本事件，且，则， 又因为事件，即，则. 对于选项B：因为，所以事件A与事件C不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，可知事件A与C相互独立，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 点在斜边的中线上 C. 点的轨迹长度是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量共线定理可判断BC选项，再利用转化法可求导向量数量积，进而可得取值范围. 【详解】 如图所示，设中点为，则， 由已知， 则， 又为直角三角形， 则，即， 所以，A选项正确； 由， 又，且，， 所以点在线段上，即点在斜边的中线上，B选项正确； 所以点的轨迹的长度为，C选项错误； D选项：，设，， 则，， 所以， D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，为BD的中点，在翻折过程中，则（ ） A. 在任何位置，都存在 B. 若，当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，当二面角为时，三棱锥的体积为 D. 若，当二面角为时，三棱锥的外接球的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线垂直可得线面垂直，进而可判断A，根据直二面角，利用线线平行即可利用三角形的边角关系求解B，根据三棱锥的体积公式即可求解C，利用勾股定理，结合二面角的平面角即可求解半径，由体积公式即可求解D. 【详解】连接，则， 对于A,平面， 平面平面,，故A正确； 对于B：由题目条件可知，，为二面角的平面角， 平面平面所以，取的中点的中点， 连接，，则， 且， （或其补角）为异面直线与所成的角，， 在中，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C：由上面的推导可知为二面角的平面角， ，由（2）可知，当时，， 又平面三棱锥的体积为，故C正确； 对于D：由上面的推导可知为二面角的平面角， 所以， 且平面， 外接圆的半径为. 设为外接圆的圆心，则， 所以三棱锥的外接球的球心在过点且与平行的直线上， 设，则由得，得， 所以，所以外接球的体积为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断D选的关键是：利用勾股定理，结合二面角的平面角即可求解半径，由此即可顺利得解. 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本1，2，4，x，y的平均数是3，标准差是2，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平均数与标准差的定义，列方程组求得的值，再由x、y的对称性求得xy的值． 【详解】样本1，2，4，x，y的平均数是3， ， 即， 又标准差是2， ， 即， 由联立，消去x得， ； 由x、y的对称性知，． 故答案为10． 【点睛】本题考查了平均数与标准差的定义和应用问题，是基础题． 13. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型，分情况计算求解. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 14. 如图，在矩形中，已知，是的中点，将△沿直线翻折成△，连接.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】当高最大时，体积最大，高最大为，球心在平面的投影为中点，根据勾股定理解得，代入体积公式计算得到答案. 【详解】三棱锥的底面积为定值，故当高最大值，体积最大， 易知△为等腰直角三角形，取中点为， 连接，故， 当平面平面时，高最大为，易知△为等腰直角三角形， 球心在平面的投影为中点， 且△的外接圆半径为，设， 故与 联解，解得，， ，故，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三棱锥体积的最值问题，三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在. （1）年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线； （2）现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取6人，进行成绩情况调研. ①从这6人中抽取2人，求这2人不在同一组的概率； ②若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. 【答案】（1）85 （2）①，②132 【解析】 【分析】（1）本次考试中成绩在前的同学，即第75百分位数，由百分位数公式计算即可； （2）①求出从这6人中抽取2人，共有情况数，抽取这2人不在同一组的情况数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解 ②利用分层方差公式计算即可求解. 【小问1详解】 成绩在前的同学的分数线，即第75百分位数，由频率分布直方图可知， 前三组频率为， 前四组频率为， 所以成绩优胜的分数线在第四组之间， 所以该数据为， 则估计此次考试成绩优胜的分数线为85. 【小问2详解】 ①由频率分布直方图可知第二组和第四组频率之比为， 则分层随机抽样的方法选取6名同学，其中2人的成绩在第二组内，4人的成绩在第四组内， 从这6人中抽取2人，则共有种情况，抽取这2人不在同一组有种情况， 所以从这6人中抽取2人，求这2人不在同一组的概率为． ②由已知，第二组和第四组抽取的所有同学的平均数为， 设第二组，第四组，抽取的学生成绩的平均数和方差分别为，，，， 则第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差为. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理化简计算即得. （2）选①，利用三角形面积公式得，再利用（1）的结论结合基本不等式求解即得.选②，利用中点向量公式、数量积运算律，结合基本不等式求得，再由（1）的结论求解即得.选③，利用三角形面积公式可得，再由（1）的结论，结合基本不等式求解即得. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理，得， 整理得，于是，而， 所以. 【小问2详解】 选①，BD是边AC上的高，由三角形面积公式得， 即，由（1）知，，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 选②，BD是边AC上的中线，则， 两边平方得，即， 当且仅当时取等号，于是，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 选③，BD是角的平分线，由三角形面积公式，得， 即，整理得， 当且仅当时取等号，，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 17. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1） （2） 当时，“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”， 因为，， 所以. 事件“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或400元”， 因为，所以， 事件的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为200元”， 所以， 所以， 所以事件，不相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型和互斥事件的概率加法公式可得； （2）利用古典概型概率公式求出，然后根据独立事件的定义直接判断即可. 【小问1详解】 即只摸1次球， 生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元， 从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为，为300元的概率为， 故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为. 【小问2详解】 略 18. 如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点B作一平面与垂直，分别交，于点E，F. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 【答案】（1） 证明：如图②，因为平面，且平面， 所以， 图② 又因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直证明，利用面面垂直的性质定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）利用等体积法即，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以， 在直角三角形中， , 由等面积代换得，， 即， 又因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面 又因为平面，所以 在直角三角形中， , 由等面积代换得， ， 即， 又在直角三角形中，， 设点到平面的距离为， 在三棱锥中，由等体积代换得，， 即， 也即， 即所求点到平面的距离为. 19. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. （1）证明：； （2）若，，且，求，； （3）若存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明： 因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，又，所以不可能成立， 所以. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合三角恒等变换可证； （2）根据三角形三个内角的关系求出的取值，再用向量法建立关于，的方程进行求解； （3）将原式中的角都转化为，确定的取值范围，构造关于的函数，再用换元法将函数化为二次函数，根据函数性质求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由，，则， 因为，所以， 因为，所以，， 所以， 因为，则， 所以， 将其两边平方得， 所以①，由正弦定理知，， 因为，所以，所以②， 联立①②解得，. 【小问3详解】 因为为锐角三角形，且， 所以，即，解得， 所以，， 又， 令，则， 所以，其中对称轴为， 因为存在最小值，所以，解得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一年级春学期第二次阶段性检测 数学 2025年5月 命题人：万赢银 审核人：万赢银 注意事项： 1．本试卷包括选择题和非选择题，满分150分，考试用时120分钟. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知向量，，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 0 3. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，点为边上一点，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，，那么 D. 如果，，，，那么 6. 已知随机事件，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若事件与互斥，则 B. 若，则事件与可能互斥 C. 若事件与相互独立，则 D. 若，则事件与互斥 7. 如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 的内角的对边分别为，已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 10. 已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 点在斜边的中线上 C. 点的轨迹长度是 D. 的取值范围是 11. 已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，为BD的中点，在翻折过程中，则（ ） A. 在任何位置，都存在 B. 若，当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，当二面角为时，三棱锥的体积为 D. 若，当二面角为时，三棱锥的外接球的体积为 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本1，2，4，x，y的平均数是3，标准差是2，则______． 13. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 14. 如图，在矩形中，已知，是的中点，将△沿直线翻折成△，连接.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则________． 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在. （1）年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线； （2）现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取6人，进行成绩情况调研. ①从这6人中抽取2人，求这2人不在同一组的概率； ②若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 17. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 18. 如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点B作一平面与垂直，分别交，于点E，F. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 19. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. （1）证明：； （2）若，，且，求，； （3）若存在最小值，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $