精品解析：河南省淮阳第一中学2024-2025学年高三上学期第一次全真模拟考试（B卷）数学试题

2025届高三年级（上）第一次全真模拟考试（B卷）数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先解不等式化简集合A，B，再求集合A，B的交集与并集，结合选项可得答案. 【分析】因为集合，， 所以，. 故选：A 2. 若复数为实数，则实数a等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，集合复数的有关概念计算即可求解. 【详解】， 又为实数，所以，解得. 故选：C 3. 小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ） A. 840mm，594mm B. 840mm，588mm C. 594mm，420mm D. 588mm，420mm 【答案】A 【解析】 【分析】由复印纸的拼接关系以及长与宽比值不变的特点，代入计算，即可得到结果. 【详解】A4纸的宽为，设其长为， 若两张A4纸的宽拼在一起， 则A3纸的宽为，长为， 且，故舍去； 若两张A4纸的长拼在一起， 即A3纸的宽为，长为， A2纸的宽为，长为， A1纸的宽为，长为， 由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变， 可得，解得，则， 所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm. 故选：A 4 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得. 故选：D 5. 已知，是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程及其定义有，结合等差中项的性质有，可求，进而可证，即可求. 【详解】由双曲线，得，， 因为是和的等差中项， 所以，即 ①， 由双曲线的定义得 ②， 由①②得，，， 所以，即， 故 故选：B 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件求出，进而通过三角恒边等换将用来表示. 【详解】，解得， 又，解得， 所以， 故选：D. 7. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解.  解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论错误的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为8 D. 若样本数据，，…，的方差为9，则，，…，的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望及方差公式计算判定A，应用正态分布的概率计算判定B，应用百分位数定义计算判定C，应用方差性质计算判定D. 【详解】对于A中，由，，解得，所以A正确； 对于B中，由正态曲线的对称性，可得，则 ，所以B错误； 对于C中，由于，则第60百分位数为由小到大排列的第5个数为9，所以C错误； 对于D中，若样本数据，，…，方差为9， 则，，…，的方差为，所以D不正确. 故选：BCD. 10. 在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. B. 直线与平面所成角为 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，即可判断A，由线面角的定义即可判断B，由等体积法即可判断C，由二面角的定义即可判断D. 【详解】 对于A，由题意，，又，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，平面，平面，所以平面平面， 且面面，因为为等边三角形，在平面内过作， 则平面，所以和平面所成角为，故B错误； 对于C，，所以面积为， 因为平面，所以四面体， 故C正确； 对于D，过作交于，因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，且平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在等腰三角形中，由等面积法可得 即，在中，，故D正确； 故选：ACD 11. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的方程为 B. 的周长为4 C. 定点P的坐标为 D. 当轴时，的内切圆圆心坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，先由焦距求出，再根据离心率求出，最后用算出，从而得到椭圆方程.对于B选项，依据椭圆定义，周长等于，都为2a，算出周长判断对错.对于C选项，设直线方程与椭圆联立，用韦达定理得到和，由内心在轴推出，进而求出.对于D选项，当轴，求出值，设内切圆圆心，根据点到直线距离公式列方程求解圆心横坐标，舍去不合理的值. 【详解】对于A选项，已知，可得.又离心率，则.由，得，所以椭圆方程为，故A正确. 对于B选项，周长为，根据椭圆定义，，，，所以周长是，故B错误 对于C选项，，设，，. 根据题意,设方程，与椭圆方程联立得，由韦达定理，. 因为内心在轴上，所以，即， 即，即， 经化简得，代入韦达定理则，得，解得. 故C正确 对于D选项，轴时，直线MN方程，代入椭圆方程得. 设内切圆圆心，不妨设直线，根据点到直线距离公式，解得，舍去，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则边上的高为______ 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高. 【详解】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得． 故答案为：. 13. 已知函数．若函数有零点，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】若函数有零点，则方程有解，所以．令，则，且，所以在上单调递增，值域为，所以，即a的取值范围是． 14. 在方格表的16个小方格中选取8个，使得每行每列都恰有两个小方格被选中，则不同的选取方法数为__________.（请用数字作答） 【答案】90 【解析】 【分析】根据第二行选取方格与第一行的位置关系进行分类讨论，然后分别计算每类情况的方法数，最后根据分类加法计数原理将所有情况的方法数相加. 【详解】第一行选2个方格有种方法，这2个方格确定后： （1）若第二行选的方格均与第一行同列，则后两行选的方格只能与前两行不同列，有1种方法； （2）若第二行选的方格均与第一行不同列，则前两行选取的4个方格中每列1个，第三行选的方格有种方法，选定后第4行随之确定； （3）若第二行选的方格恰有1个与第一行同列，第二行选取方法有种， 此时，前两行选的4个方格中有2个在同一列（该列后两行不选），有1列前两行都未选（该列后两行必选），另两列前两行各选一个（后两行也要各选一个，2种方法）. 综上，共种方法. 故答案为：90. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，角的对边分别是，D为BC边上一点，已知 （1）求； （2）若AD平分，求的面积； （3）若为边的中点，分别为边及边上一点含端点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合即可求解； （2）由（1）结合余弦定理得到，再由角平分线性质得到，结合三角形面积公式即可求解； （3）由向量线性运算得到，，再由向量数量积的运算性质及即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即 则， 即， 即， 因为，所以，则， 又因为， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由余弦定理得，即， 因为AD平分，根据角平分线性质，且， 所以， 由余弦定理， 则， 则. 【小问3详解】 因为D为BC边的中点，所以， ， ， 则 ， 又， 则， 因为， 则当时，， 当时， 所以. 16. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中m的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？ （3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）表格见解析，有 （3）分布列见解析， 0.7 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，求出的值； （2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到列联表，根据列联表求出值，从而得出判断； （3）先求出的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 【小问2详解】 数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人， 经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下， 可以认数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联； 【小问3详解】 由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人， 不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2， 经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件， 则 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件 则，，，， ，， ， ， ， 故X分布列如下： X 0 1 2 P 则可得X的数学期望为． 17. 如图1，为等腰直角三角形，其中，，分别在线段，上（不含端点位置），且.现将沿进行翻折，使得点到达点的位置，得到四棱锥，如图2. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，由线面平行的判定定理即可证明； （2）由面面垂直的性质定理可得到线面垂直，进而可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 翻折前，，，， 翻折后依然成立，而平面，平面， 平面. 【小问2详解】 翻折前，由，，得， 翻折后，在四棱锥中，，， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， 平面，. 分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，则， 令，得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，C在点A，B处的切线交于点P，且当时，. （1）求C的方程； （2）记直线PA，PB，PQ的斜率分别为，，，证明：； （3）设直线PA，PB与x轴的交点分别为M，N，若四边形ABNM的面积是28，求k的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）写出准线方程，根据焦半径公式得到； （2）联立直线方程与抛物线方程，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得与的值，设出，，写出C在点A，B处的切线方程，联立得，整理即可得证； （3）由（2）写出四边形的面积并整理化简，运用换元法求导可得参数的值. 【小问1详解】 因为C的准线方程为， 点A在C上，且当时，， 所以，解得， 所以C的方程为. 【小问2详解】 证明：联立消y整理得， 所以， 设，，则，， 由，得， 所以， 且C在点A处的切线方程为， 即，化简整理得， 同理可得C在点B处的切线方程为， 联立，解得， 所以， 又，所以， 所以. 【小问3详解】 由（2）知， 令，得，同理得， 不妨设点A在y轴右侧，则，，且，， 所以四边形ABNM的面积 ， 由，得， 即， 令，则上式等价于，， 令，， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又，所以当且仅当， 即时，. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若的零点为的零点为. (i)证明:； (ii)证明:. 【答案】（1）当时，函数在上为增函数，在上为减函数， 当时，函数在上为增函数 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，分类讨论可得函数的单调区间； （2）（i）当时，（1）可得在上为增函数，又结合，可得，进而对，求导可得函数在上为增函数，结合，，可得； （ii）进一步可得，，可得，计算可证结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由，可得， 当时，，函数在上为增函数， 当时，令，可得， 当时，，函数在上为减函数， 当时，，函数在上为增函数， 综上所述：当时，函数在上为增函数，在上为减函数， 当时，函数在上为增函数； 【小问2详解】 当时，， 因为的零点为的零点为. 所以， （i）由（1）可知函数在上为增函数， 又，所以， 的定义域为，又， 所以函数在上为增函数， 又，， 所以， 综上所述：； （ii）由函数在上为增函数，函数在上为增函数， 又， 所以，所以， 又，所以， 所以 所以. 【点睛】思路点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值) ，判断零点的个数与零点所在的区间，最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级（上）第一次全真模拟考试（B卷）数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为实数，则实数a等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ） A. 840mm，594mm B. 840mm，588mm C. 594mm，420mm D. 588mm，420mm 4. 已知函数，则（ ） A B. C. 1 D. 2 5. 已知，是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，，且该正四棱台体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论错误是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为8 D. 若样本数据，，…，的方差为9，则，，…，的方差为 10. 在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. B. 直线与平面所成角为 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 11. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的方程为 B. 的周长为4 C. 定点P的坐标为 D. 当轴时，的内切圆圆心坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则边上的高为______ 13. 已知函数．若函数有零点，则实数a的取值范围是_____． 14. 在方格表的16个小方格中选取8个，使得每行每列都恰有两个小方格被选中，则不同的选取方法数为__________.（请用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，角的对边分别是，D为BC边上一点，已知 （1）求； （2）若AD平分，求的面积； （3）若为边的中点，分别为边及边上一点含端点，且，求的取值范围. 16. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中m的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？ （3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图1，为等腰直角三角形，其中，，分别在线段，上（不含端点位置），且.现将沿进行翻折，使得点到达点的位置，得到四棱锥，如图2. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，C在点A，B处的切线交于点P，且当时，. （1）求C的方程； （2）记直线PA，PB，PQ斜率分别为，，，证明：； （3）设直线PA，PB与x轴的交点分别为M，N，若四边形ABNM的面积是28，求k的值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若的零点为的零点为. (i)证明:； (ii)证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $