精品解析：山东省淄博第七中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

高一数学阶段测试题5.22 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．） 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 在一个周期内的图象如图所示，则= A. B. C. D. 5. 在中，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. B. C. 13 D. 26 7. 在中，是BC上一点，是线段AD上一点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图在堑堵中，，，D，E分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体不鳖臑 B. DE与平面相交 C. 若，则AB与DE所成角的正弦值为 D. 三棱锥的外接球的体积为定值 二、多选题：本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则为的内心 C. 若为的重心，是边上的中线，则 D. 若，则 11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（ ） A. 当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m B. 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点 C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒 D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面周长为2π，则球的体积为________． 13. 定义关于向量的运算法则，若，，则______． 14. 若关于x的方程在区间内有两个相异实数根，则实数k的取值范围是__________，两根之和为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 16. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 17. 如图，在三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：平面. 18. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如图坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标． （1）设，求； （2）已知斜坐标系下，， （ⅰ）求 （ⅱ）求 19. 已知函数． （1）化简并求最小正周期； （2）已知在的值域为，求m的取值范围； （3）在锐角三角形ABC中，，，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学阶段测试题5.22 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．） 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算化简复数，再求虚部. 【详解】由条件可知，， 所以复数的虚部为. 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C. 3. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可. 【详解】因为，且由余弦定理得， 所以，解得，而在中，，则，故A正确. 故选：A． 4. 已知函数 在一个周期内的图象如图所示，则= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意得求得函数的解析式为，然后可求出的值． 【详解】由图象得， ∴， ∴， ∴． 又点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查根据函数的图象求解析式，解题时可先根据图象得到和周期，进而得到的值．求的值时有两种方法，一是运用代点法求解，即通过代入图象最高（低）点的坐标求出的值；另一种方法是根据“五点法”求解，此种方法在求解时需要确定出“第一点”的位置，即离原点最近的且在上升阶段中的零点，然后再根据图象中的零点可求出的值． 5. 在中，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算，得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由向量的线性运算，可得，， 所以． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算求值，其中解答中熟练应用向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，属于基础题. 6. 底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. B. C. 13 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】画出直观图，由题意可得∽，从而可求出棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图所示，正四棱锥被平行于底面的平面所截， 由题意可知， 因为∥，所以∽， 所以， 所以，所以， 所以所得棱台的体积为. 故选：A 7. 在中，是BC上一点，是线段AD上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知向量关系得出,再应用待定系数法求参即可. 【详解】. ， 由是线段AD上一点，设，其中， 所以解得 故选：D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图在堑堵中，，，D，E分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体不鳖臑 B. DE与平面相交 C. 若，则AB与DE所成角的正弦值为 D. 三棱锥的外接球的体积为定值 【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断A；连接相交于点，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可判断B；由B选项知与所成角即与所成角为或其补角，求出，在中由余弦定理得，再求出可得正切值可判断C；由、均为直角三角形可得点是三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径可判断D. 【详解】对于A，在堑堵中，平面，平面， 所以，，，所以、均为直角三角形， 因为，所以为直角三角形， 且，平面，所以平面，平面， 所以，所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故A错误； 对于B， 如图，连接相交于点，所以点为的中点，连接， 所以，，因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B错误； 对于C，，由B选项知，， 所以与所成角即与所成角或其补角， 因为，所以，连接，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以为锐角，则， 则与所成角的正切值为，故C错误； 对于D，如下图，连接，由A选项可知，、均为直角三角形， 且，，且点为的中点， 所以， 所以点是三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为， 因为，所以为直角三角形， 所以三棱锥的外接球的体积为，与长度无关，故D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理逐个对选项进行分析即可得出结论. 【详解】对于A，若，，，此时可以异面，也可以平行，即A错误； 对于B，由，，，可得，即B正确； 对于C，若，，，则可得或，即C错误； 对于D，若，，，不一定能得到， 例如，若，也可以满足，因此可能相交，即D错误. 故选：ACD 10. 已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则为的内心 C. 若为的重心，是边上的中线，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D. 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（ ） A. 当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m B 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点 C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒 D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面 【答案】ABC 【解析】 分析】建立平面直角坐标系，设，结合题目条件求出，再对四个选项一一作出判断. 【详解】以为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建立平面直角坐标系， 如图，则m，则，故， 筒车按逆时针方向每分钟转2圈，故筒车转1圈的时间为30秒，即， 解得， 因为，故当秒时，筒车第一次到达最高点，此时，故B正确； 同理可得，当秒时，筒车第一次到达最低点，此时， 设， 则，解得， 故，又当时，， 故，解得，取， 故， A选项，当时，， 即当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m，A正确； C选项，令， 当时，盛水桶第二次距离水面4m，解得， 故盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒，C正确； D选项，令，解得，， 故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面周长为2π，则球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系求球的半径，再代入体积公式，即可求解. 【详解】设所截圆面半径为，则，， 设球心与截面圆的距离为，球的半径为， 则， 所以球的体积. 故答案为： 13. 定义关于向量的运算法则，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，，再结合新定义转化为计算两者的数量积即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 14. 若关于x的方程在区间内有两个相异实数根，则实数k的取值范围是__________，两根之和为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意结合三角恒等变换得在区间内有两个相异实数根，画出函数的图象，转化条件为直线与函数的图象有两个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题意， 所以在区间内有两个相异实数根， 令，则，， 画出函数的图象，如图： 若在区间内有两个相异实数根，则直线与函数的图象有两个交点， 数形结合可得，所以； 又因为直线与函数的图象的两个交点关于直线对称， 所以两根之和为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用及三角函数图象与性质的应用，考查了根据方程根的个数确定参数范围与数形结合思想，属于中档题. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而得解； （2）由余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，又， ，即，由，得. 【小问2详解】 由余弦定理知， 即，则，解得（负值舍去）， . 16. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可. 【详解】连接，交于点，取中点，连接，， （1） ∴ （2）∵， ∴ 【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高. 17. 如图，在三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质有，根据线面平行的判定证结论； （2）线面垂直判定有面，根据线面垂直、菱形的性质可得、，最后由线面垂直的判定证结论. 【小问1详解】 连接交于，连接， 由为三棱柱，则为平行四边形， 所以是中点，又是的中点， 故在△中，面，面， 所以平面. 【小问2详解】 由，而，面， 所以面，又面，则， 由侧面为菱形，故， 又，面，故平面. 18. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如图坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标． （1）设，求； （2）已知在斜坐标系下，， （ⅰ）求 （ⅱ）求 【答案】（1） （2）（i）1；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意计算，再代入向量模的公式即可求解； （2）（i）由新定义结合数量积的运算律计算； （ii）先计算出和，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，， 所以， 【小问2详解】 ，， ， （i）； （ii）， ， 则. 19. 已知函数． （1）化简并求的最小正周期； （2）已知在的值域为，求m的取值范围； （3）在锐角三角形ABC中，，，求的范围． 【答案】（1）；最小正周期为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和两角和差公式，以及辅助角公式，即可化简函数解析式，并求周期； （2）根据（1）的结果，利用代入法求的取值范围，再结合函数的值域，即可求解； （3）根据（1）的结果求角，再结合正弦定理，利用三角函数表示边，转化为三角函数求值域问题. 【小问1详解】 ， ， 函数的最小正周期； 【小问2详解】 当，， 因为函数的值域是，所以，解得：， 所以得到取值范围是； 【小问3详解】 ，得， 因为，则，所以，得， 又，，所以，， 因为为锐角三角形，且，所以， 所以， 因为，所以的范围是， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $