精品解析：河南省焦作市焦作城乡一体化示范区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年（下）八年级学生素养期中测评 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间90分钟．请用黑色水笔直接答在答题卷上． 2．答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置． 1. “一窗一景致，一窗一姿容，一窗一风韵，一窗一境界”，窗棂是中国传统建筑文化的审美中心之一．下列的古建窗户图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ） A. 等腰三角形的三线合一 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等边对等角 3. 有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在《三角形的证明》一章中，我们学习了很多定理，如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等．在上述5个定理中，存在逆定理的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 6. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（ ） A. B. C. D. 8. 如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ） A. 户最长 B. 户最长 C. 户最长 D. 三户一样长 9. 如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 如图为一件衣服的洗涤说明标志，请根据其信息写出一个关于温度的不等式_____． 12. 若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 13. 如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 14. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______． 15. 如图，在中，，，直线经过点C，，是边上的中线，将绕点B顺时针旋转，得到．当点落在直线上时，__________． 三、解答题．（共75分） 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，在和中，，，与交于点．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为； （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并写出点的坐标； （2）由到的平移距离为_____； （3）若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出． 19. 如图，在中，平分，点E是上一点，，且． （1）若，求的度数； （2）求证：． 20. 【知识回顾】：本册第二章教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_____． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为_____．方程的解是_____，不等式的解是_____． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围_____． 21. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． （1）求的值； （2）求的长． 22. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解决以下两个问题： （1）求每头牛、羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用45两银子买牛和羊共18只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 23. 某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”． 如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： 如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC＝4cm，CD＝2cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 探究二： 如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝120，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC＝6cm，CD＝4cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： 如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC'，点C的对应点为点C'． 1．由旋转得：∠D＝∠　　，因为∠ABC+∠D＝180°，所以∠ABC+∠ABC'＝180°，即点C'，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△ACC'． 2．如图7，在△ACC'中，作AH⊥BC于点H，若AH＝m，CH＝n，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 探究四： 以下是图7中的“等补四边形”ABCD的四个条件：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm；④AC＝13cm．请你从中选择不超过3个条件（不能有多余条件），并用所选择的条件计算图7中的“等补四边形”ABCD的面积． 选择的条件是：　　；　　（写出两种不同组合，只填写序号）．“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年（下）八年级学生素养期中测评 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间90分钟．请用黑色水笔直接答在答题卷上． 2．答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置． 1. “一窗一景致，一窗一姿容，一窗一风韵，一窗一境界”，窗棂是中国传统建筑文化的审美中心之一．下列的古建窗户图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ） A. 等腰三角形的三线合一 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等边对等角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，为的中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：A． 3. 有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上字母表示数，不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据图示可知，然后根据不等式性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据图示可知，，则 A.，故该选项错误； B.，所以，故该选项错误； C.，，所以，故该选项错误； D.，，所以，故该选项正确； 故选：D． 4. 在《三角形的证明》一章中，我们学习了很多定理，如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等．在上述5个定理中，存在逆定理的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题，逆命题，定理，逆定理解答即可． 本题考查了命题，逆命题，熟练掌握判定真假命题是解题的关键． 【详解】解：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如果三角形的一边的平方等于其余两边的平方和，则这个三角形是直角三角形， 正确，有逆定理； ②全等三角形的对应角相等； 其逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题， 无逆定理； ③等腰三角形的两个底角相等； 两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题，有逆定理； ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 和线段的两个端点距离相等的点在这条相等的垂直平分线上，真命题，有逆定理； ⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等； 到角的两边距离相等的点在角的平分线上，真命题，有逆定理． 故选：C． 5. 如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：B． 6. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 7. 某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式．根据题意可得，这批水果可卖元，根据“这批水果至少获得的利润”即可列出不等式． 【详解】解：设该水果每千克的售价为元， 根据题意所列不等式为， 故选：B． 8. 如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ） A. 户最长 B. 户最长 C. 户最长 D. 三户一样长 【答案】D 【解析】 【分析】可理解为将最左边一组电线向右、向上平移所得，由平移的性质即可得出结论． 【详解】解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列， ∴将a向右、向上平移即可得到b、c， ∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状， ∴三户一样长． 故选：D． 【点睛】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解答此题的关键． 9. 如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，找旋转中心，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转的性质，可知对应点到旋转中心的距离相等，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，得，只有， 故B，C，D都错误，A正确， 故选：A． 10. 如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作轴于点D，结合，，得到，，，确定，根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，确定循环节为6，再由即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为， ∵每旋转6次为一个循环 ∵， ∴第2025秒时，点的对应点的坐标为， 故选C． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 如图为一件衣服的洗涤说明标志，请根据其信息写出一个关于温度的不等式_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查列不等式，找到标志中含有不等关系的语句，列出不等式即可． 【详解】解：根据最高洗涤温度，可列不等式：； 根据熨斗底板最高温度，可列不等式：； 故答案为：（或） 12. 若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的范围，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于a的不等式，进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵该不等式组无解， ∴，解得． 故答案为：． 13. 如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【详解】解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 14. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______． 【答案】14 【解析】 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故答案为∶14 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 15. 如图，在中，，，直线经过点C，，是边上的中线，将绕点B顺时针旋转，得到．当点落在直线上时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，点的位置有两个，在点C的左右两侧，①当在点C的左侧时，过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出，由平行线间距离相等得出，可得出，由勾股定理得出，故可得出；②当在点C的右侧时可求出，故可得出． 【详解】解：①当在点C的左侧时，过点作于点，过点作于点，如图， ∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是边上的中线， ∴是的中点， ∴， 由勾股定理得， 由旋转得，， 在中，， ∴； ②当在点C的右侧时，； ∴， 综上，或 故答案为：或． 三、解答题．（共75分） 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， 数轴表示如下： ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，在和中，，，与交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明得，再由等角对等边即可得证．掌握“等角对等边”是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为； （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并写出点的坐标； （2）由到的平移距离为_____； （3）若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出． 【答案】（1）图见解析， （2） （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键： （1）确定平移规则，画出，进而写出的坐标即可； （2）根据平移的性质，结合勾股定理进行求解即可； （3）根据旋转的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：∵的对应点的坐标为， 故平移规则为先向右平移5个单位，再向下平移3个单位， 画出如图所示： 由图可知：． 【小问2详解】 由题意，可知，平移距离为的长， 由勾股定理，得： 【小问3详解】 如图，即为所求； 19. 如图，在中，平分，点E是上一点，，且． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）. （2） 证明：如图，过点E作于点F， 平分，， ， 在和中， . ， ，， ， . 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论. 【小问1详解】 解：，平分， 是的一个外角， . 【小问2详解】 略 20. 【知识回顾】：本册第二章教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_____． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为_____．方程的解是_____，不等式的解是_____． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围_____． 【答案】（1） ；（2）；；；（3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程，一次函数与不等式，熟练掌握图象法求方程的解，求不等式的解集，是解题的关键． （1）图象法求不等式的解集即可； （2）数形结合，确定两条直线的交点坐标，进而求出方程的解，不等式的解集即可； （3）先求出两点的坐标，再根据图象法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由图象可知，的解集是； 故答案为：； （2）由图象可知，两条直线的交点坐标为， ∴方程的解是； 不等式的解是； 故答案为：；；； （3）对于，当时，， ∴点的横坐标为4， 令，解得：， ∴点的横坐标为2， 由图象可知：当时，两个函数的函数值呈现， 当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围为． 故答案为：． 21. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． （1）求的值； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据旋转的性质得出，，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出旋转角，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 ， 由旋转得， 点在同一条直线上， ， ， 旋转角的度数是，即， 的值为120． 【小问2详解】 ， ， 由（1）知， ， ， 的长为6． 22. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解决以下两个问题： （1）求每头牛、羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用45两银子买牛和羊共18只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 【答案】（1）每头牛3两银子，每头羊2两银子 （2）有3种方案：①购买6头牛，购买12只羊；②购买7头牛，购买11只羊；③购买8头牛，购买10只羊 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设每头牛两银子，每头羊两银子，根据5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，列出方程组进行求解即可； （2）设购买头牛，则购买只羊，根据羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出不等式组，求出整数解，即可． 【小问1详解】 解：设每头牛两银子，每头羊两银子， 根据题意，得， 解得，； 答：每头牛3两银子，每头羊2两银子； 【小问2详解】 设购买头牛，则购买只羊， 依题意得：， 解得： ∵为整数， ， 有3种方案： ①购买6头牛，购买12只羊；②购买7头牛，购买11只羊；③购买8头牛，购买10只羊． 23. 某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”． 如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： 如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC＝4cm，CD＝2cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 探究二： 如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝120，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC＝6cm，CD＝4cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： 如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC'，点C的对应点为点C'． 1．由旋转得：∠D＝∠　　，因为∠ABC+∠D＝180°，所以∠ABC+∠ABC'＝180°，即点C'，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△ACC'． 2．如图7，在△ACC'中，作AH⊥BC于点H，若AH＝m，CH＝n，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 探究四： 以下是图7中的“等补四边形”ABCD的四个条件：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm；④AC＝13cm．请你从中选择不超过3个条件（不能有多余条件），并用所选择的条件计算图7中的“等补四边形”ABCD的面积． 选择的条件是：　　；　　（写出两种不同组合，只填写序号）．“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 【答案】探究一：9；探究二：；探究三：，；探究四：①和②和③或③和④，60． 【解析】 【分析】（1）计算出直角梯形的面积，由旋转的性质可得，“等补四边形”ABCD的面积为直角梯形面积的一半； （2）由旋转的性质即可得出，“等补四边形”ABCD的面积为等边三角形面积的，计算出等边三角形的面积即可求得答案； （3）由旋转的性质即可得出，，“等补四边形”ABCD的面积等于等腰的面积，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式即可求得的面积； （4）根据上述分析和已知条件，结合勾股定理和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）探究一：如图， 将“等补四边形”ABCD烧点A顺时针旋转90°得到“等补四边形”四边形，可以形成一个直角梯形， 则， ∴直角梯形的面积 , ∴“等补四边形”ABCD的面积直角梯形的面积； 故答案为：9 探究二：由题可知，等边三角形的边长为10cm， 点C绕点A顺时针旋转120°得到 ,再旋转一次得到， 过点作垂足为E， ∵为等边三角形，， ∴, ∴， ∴, ∴“等补四边形”ABCD的面积， 故答案为：； 探究三：由旋转的性质得，, ∵,AH⊥BC ∴， ∴, 又∵S四边形ABCD，且 ∴S四边形ABCD， 故答案为：，； 探究四： 选择的条件是：③AH＝5cm；④AC＝13cm， 在中， ， 结合探究三得， S四边形ABCD; 选择的条件是：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm； ∵， ∴， ∴， ∴S四边形ABCD； 故答案为：①和②和③或③和④，60． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题关键是理解题目，结合所学知识点进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $