2.4.3 利用二次函数解决最大利润问题【课件】2024—2025学年北师大版数学九年级下册

2.4.3 利用二次函数解决最大利润问题 [例1] (2024内江)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元,某商家用5 000元购进的猪肉粽盒数与3 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价52元时,可售出180盒;每盒售价提高1元时,少售出10盒. (1)求猪肉粽、豆沙粽每盒的进价; 探究点一　根据二次函数图象的顶点坐标确定最大利润 【新知探究】 (2)设猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70),y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式,并求出y的最大值. 解:(2)由题意,得当x=52时,每天可售出180盒,当猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70)时,每天可售[180-10(x-52)]盒, ∴y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700) =-10x2+1 200x-35 000=-10(x-60)2+1 000, ∵-10<0,52≤x≤70,∴当x=60时,y取最大值,最大值为1 000, ∴y关于x的函数解析式为y=-10x2+1 200x-35 000(52≤x≤70),且最大利润为1 000元. 【新知巩固】 1.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价金额x (元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为( ) A.15元 B.400元 C.800元 D.1 250元 D 2.某商店销售一款进价为20元/件的新背包,试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件,销售单价每上涨 1元,每天的销售量就减少10件. (1)若该背包销售单价为30元,销售该背包每天获利　　　　元. 解:(1)2 000 (2)设该背包销售单价为x元,销售该背包每天获利为w元,当x为多少 时,销售该背包每天获得的利润最大,最大的利润是多少元?  解:(2)根据题意,得w=(x-20)[250-(x-25)×10],∴w=-10x2+700x- 10 000, 即w=-10(x-35)2+2 250. ∵-10<0,∴当x=35时,w取得最大值,最大值为2 250. 答:当x为35时,销售该背包每天获得的利润最大,最大的利润是 2 250元. (3)经过试营销后,商店按(2)中单价销售,为了回馈广大顾客,同时提高该背包知名度,商店决定开展降价促销活动,若每个背包降价率为m%,则可多售出2m%,结果当天销售额为5 670元,要使销量尽可能大,求m的值. 解:(3)根据题意,得35(1-m%)×[250-(35-25)×10]×(1+2m%)=5 670, 整理,得m2-50m+400=0. 解得m1=10,m2=40, 又∵要使销量尽可能大,且35×(1-40%)=21>20,∴m=40. 探究点二　根据二次函数自变量的取值范围确定最大利润 【新知探究】 [例2] (2023南充仪陇月考)某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图所示的是y与x的函数关系图象. (1)y与x之间的函数表达式为　　　　　 　 　　, x的取值范围为　　　　　　.  解:(1)y=-2x+340　20≤x≤40 (2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W与x之间的函数表达式. (3)当销售单价x为多少元时,利润W最大,最大利润为多少元? 解:(2)由题意,得W=(x-20)(-2x+340)=-2x2+380x-6 800, ∴W与x之间的函数表达式为 W=-2x2+380x-6 800(20≤x≤40). (3)由(2),知W=-2x2+380x-6 800=-2(x-95)2+11 250, ∵-2<0,20≤x≤40, ∴当x=40时,W取得最大值,此时W=5 200. 答:当销售单价x为40元时,利润W最大,最大利润为5 200元. 【新知巩固】 p=-2x+80 448元 2.(2022辽宁)某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜,市场监督部门规定其售价每千克不高于28元.经市场调查发现,山野菜的日销售量y(kg)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表: 每千克售价x/元 … 20 22 24 … 日销售量y/kg … 66 60 54 … (1)求y与x之间的函数表达式. (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时,批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大?最大利润为多少元? 解:(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元,由题意,得 w=(x-18)y=(x-18)(-3x+126)=-3x2+180x-2 268=-3(x-30)2+432, ∵-3<0,18≤x≤28, ∴当x=28时,w取得最大值,最大值为420. ∴当每千克山野菜的售价定为28元时,批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大,最大利润为420元. 谢谢观赏！ 15 解:(1)设猪肉粽每盒的进价a元,则豆沙粽每盒的进价(a-20)元. 则=,解得a=50, 经检验a=50是方程的解,此时a-20=30, ∴猪肉粽每盒的进价50元,豆沙粽每盒的进价30元. 1.小致创办了一个微店商铺,营销一款成本为20元/盏的小型LED护眼台灯.“双十一”来临前,该网店前8天台灯的日销售量 p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了 76盏,台灯的销售价格y(元/盏)与时间 x(天)符合关系式y=x+25(1≤x≤8,且x为整数). (1)日销售量p(盏)与时间x(天)之间的一次函数关系式为　 　; (2)这8天中最大日销售利润是　 　.  解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 由表中数据,得解得 ∴y与x之间的函数表达式为 y=-3x+126(18≤x≤28). $$