2024-2025学年苏科版七年级下册数学期末提优卷

第 1页，共 8页 2024-2025 学年苏科版七年级（下）数学期末提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A. 2、2、3 B. 2、2、5 C. 5、5、11 D. 1、2、3 2.下列计算正确的是( ) A. �6 +�2 = �8 B. �6 ⋅ �2 = �12 C. �6 ÷�2 = �3 D. (�6)2 = �12 3.下列四个图形中，线段��是△ ���的高的是( ) A. B. C. D. 4.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1 的度数为( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 第 4题 第 7题 第 8题 5.下列命题是真命题的是( ) A.同角的补角相等 B.三角形的一个外角等于两个内角的和 C.若�2 = �2，则� = � D.同位角相等 6.请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟， 归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4 分钟就飞跃 1000 里，逆风返回 时 4 分钟走了 600 里.若设孙悟空的速度为�里/分钟，风速为�里/分钟，则可列方程组( ) A. 4� + � = 600 4� − � = 1000 B. 4(� + �) = 600 4(� − �) = 1000 C. 4� + � = 1000 4� − � = 600 D. 4(� + �) = 1000 4(� − �) = 600 7.如图，大正方形与小正方形的面积之差是 48，则阴影部分的面积是( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 第 2页，共 8页 8.如图，�、�分别是△ ���边��、��上的点，�� = ��，�� = 2��，��、��相交于点�.若四边形���� 的面积为 10，则△ ���的面积为( ) A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 9.如图，∠��� = 70°，点�，�分别在��，��上运动(不与点�重合)，��平分∠���，��的反向延长线 与∠���的平分线交于点�，在�，�的运动过程中，∠�的度数( ) A.变大 B.变小 C.等于 55° D.等于 35° 第 9题 第 10题 第 15题 10.如图，在△ ���中，延长��至点�，使得�� = ��，延长��至点�，使得�� = 2��，延长��至点�，使 得�� = 3��，连接��、��、��，若�△��� = 36，则�△���为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3分，共 24 分。 11.2024 年 6 月 4 日 7 时 38 分，备受瞩目的嫦娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起 飞，并顺利进入预定的环月轨道.这一壮举是世界航天历史上的又一个里程碑，实现了首次从月球背面采样 并起飞.返回器在接近大气层时，飞行 1�大约需要 0.0000893�.数据 0.0000893 用科学记数法表示为______． 12.分解因式：8�2 − 2�2 = ______． 13.已知 2� + 5� − 4 = 0，则4� × 32�的值为______． 14.关于�的不等式组 2� − 1 ≤ 5� − � > 0 恰有三个整数解，则�的取值范围是______． 15.如图，在△ ���中，沿��折叠，点�落在三角形所在的平面内的点为�′，若∠� = 30°，∠���′ = 86°， 则∠���′的度数为______． 16.规定 � �� � = �� − ��，若�、�满足 � � − 2 2 4 = 2， � − 1 2 � 3 > 0，则�的取值范围是______． 17.现有两个边长为�的小正方形����、����和一个边长为�的大正方形，如图 1，小明将两个边长为�的 小正方形����、����有部分重叠的放在边长为�的大正方形内；如图 2，小彤将一个边长为�的小正方形 放在边长为�的大正方形外．若图 1 中长方形����的面积为 80，重叠部分的长方形����的面积为 48，则 第 3页，共 8页 图 2 中阴影部分的面积为______． 18.设�1，�2，…，�2024是从−1，0，1 这三个数中取值的一列数，若�1 + �2 + … + �2024 = 0，(�1 + 1)2 + (�2 + 1)2 + … + (�2024 + 1)2 = 4024，则�1，�2，…，�2024中为 1 的个数是______． 三、解答题：本题共 10 小题，共 96 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 10 分)计算： (1)( − 2)2 − (2 − �)0 + ( − 13 ) −1 (2)(� − 3)(� + 2) − (� − 1)2． 20.(本小题 10 分) (1)解方程组： 2� + � = 12 3� − � = 3 ． (2)解不等式组： 5(� + 1) ≥ 2� − 1 2�+5 3 > � + 1 ． 第 4页，共 8页 21.(本小题 10 分) 已知：如图 1，��//��，∠��� = ∠���． 求证：��/ ​ /��． (1)请补充下面证明过程证 证明：∵ ��/ ​ /��(已知) ∴ ∠______+∠��� = 180°(______) ∵ ∠��� = ∠���(已知) ∴ ∠______+∠��� = 180°(______) ∴ ��/ ​ /��(______) (2)某同学想到了另一种证法，请你补充完整他的证明过程． 证明：连接��，如图 2． 22.(本小题 10 分)已知：|�| = 3，|�| = 5． (1)若� > �，求��的值；(2)若�� < 0，求� − �的值． 23.(本小题 10 分)如图，点�，�，�，�在△ ���的边上，且��//��，∠1 + ∠2 = 180°． (1)求证：��/ ​ /��； (2)若��平分∠���，∠2 = 138°，求∠���的度数． 第 5页，共 8页 24.(本小题 10 分) 已知方程组 � + � =− 7 − � � − � = 1 + 3�的解满足�为非正数，�为负数． (1)求�的取值范围； (2)当�为何整数时，不等式 2�� + � < 2�+ 1 的解集为� > 1． 25.(本小题 10 分) 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔 20 只，乙种头盔 30 只，共花费 2700 元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高 10 元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共 40 只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按 单价的八折出售，乙种头盔每只降价 6 元出售.如果此次购买总费用不超过 1772 元，甲种头盔最多可买多 少只？ 第 6页，共 8页 26.(本小题 12 分) 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积， 可以得到一个等式.例如：计算图 1 的面积，把图 1 看作一个大正方形.它的面积是(� + �)2；如果把图 1 看 作是由 2 个长方形和 2 个小正方形组成的，它的面积为�2 + 2�� + �2，由此得到(� + �)2 = �2 + 2�� + �2． (1)如图 2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(� + � + �)的正方形，从中你能发 现什么结论？该结论用等式表示为______． (2)利用(1)中的结论解决以下问题： 已知� + � + � = 10，�� + �� + �� = 37，求�2 + �2 + �2的值； (3)如图 3，正方形����边长为�，正方形����边长为�，点�，�，�在同一直线上，连接��、��，若� − � = 5， �� = 6，求图 3 中阴影部分的面积． 第 7页，共 8页 27.(本小题 13 分) 课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图 1，已知点�是��外一点，连接��、��，求∠� + ∠��� + ∠�的度数.阅读并补充下面推 理过程． 解：过点�作��/ ​ /��，∴ ∠� = ，∠� = ，∵ ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180°，∴ ∠� + ∠��� + ∠� = 180°． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠���、∠�、∠�“凑”在 一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图 2，已知��/​ /��，求∠� + ∠��� + ∠�的度数； (3)深化拓展：已知��/ ​ /��，点�在点�的右侧，∠��� = 50°，��平分∠���，��平分∠���，��，�� 所在的直线交于点�，点�在直线��与��之间． ①如图 3，点�在点�的左侧，若∠��� = 36°，求∠���的度数． ②如图 4，点�在点�的右侧，且�� < ��，�� < ��.若∠��� = �°，求∠���度数. (用含�的代数式表示) 第 8页，共 8页 28.(本小题 13 分) 在我们苏科版义务教育教科书数学七下第 42 页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题. 聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】 如图 1，在△ ���中，∠���、∠���的角平分线交于点�，若∠� = 50°.则∠� = ______； (2)【问题推广】 如图 2，在△ ���中，∠���的角平分线与△ ���的外角∠���的角平分线交于点�，过点�作�� ⊥ ��于点�， 若∠��� = 80°，求∠���的度数． (3)如图 3，在△ ���中，∠���、∠���的角平分线交于点�，将△ ���沿��折叠使得点�与点�重合，若∠1 + ∠2 = 80°，则∠��� = ______； (4)【拓展提升】 在四边形����中，��/ ​ /��，点�在直线��上运动(点�不与�，�两点重合)，连接��，��，∠���、∠��� 的角平分线交于点�，若∠��� = �，∠��� = �，直接写出∠�和�，�之间的数量关系． 2024-2025学年苏科版七年级（下）数学期末提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是(    ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列四个图形中，线段是的高的是(    ) A. B. C. D. 4.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第4题 第7题 第8题 5.下列命题是真命题的是(    ) A. 同角的补角相等 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 若，则 D. 同位角相等 6.请欣赏我国古典文学名著西游记描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，分钟就飞跃里，逆风返回时分钟走了里若设孙悟空的速度为里分钟，风速为里分钟，则可列方程组(    ) A. B. C. D. 7.如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 8.如图，、分别是边、上的点，，，、相交于点若四边形的面积为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，，点，分别在，上运动不与点重合，平分，的反向延长线与的平分线交于点，在，的运动过程中，的度数(    ) A. 变大 B. 变小 C. 等于 D. 等于 第9题 第10题 第15题 10.如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.年月日时分，备受瞩目的嫦娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，并顺利进入预定的环月轨道这一壮举是世界航天历史上的又一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞返回器在接近大气层时，飞行大约需要数据用科学记数法表示为______． 12.分解因式： ______． 13.已知，则的值为______． 14.关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是______． 15.如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的点为，若，，则的度数为______． 16.规定，若、满足，，则的取值范围是______． 17.现有两个边长为的小正方形、和一个边长为的大正方形，如图，小明将两个边长为的小正方形、有部分重叠的放在边长为的大正方形内；如图，小彤将一个边长为的小正方形放在边长为的大正方形外．若图中长方形的面积为，重叠部分的长方形的面积为，则图中阴影部分的面积为______． 18.设，，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则，，，中为的个数是______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算： ． 20.本小题分 解方程组：． 解不等式组：． 21.本小题分 已知：如图，，． 求证：． 请补充下面证明过程证 证明：已知 ____________ 已知 ____________ ______ 某同学想到了另一种证法，请你补充完整他的证明过程． 证明：连接，如图． 22.本小题分已知：，． 若，求的值；若，求的值． 23.本小题分如图，点，，，在的边上，且，． 求证：； 若平分，，求的度数． 24.本小题分 已知方程组的解满足为非正数，为负数． 求的取值范围； 当为何整数时，不等式的解集为． 25.本小题分 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔只，乙种头盔只，共花费元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高元． 甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ 商店决定再次购进甲、乙两种头盔共只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价元出售如果此次购买总费用不超过元，甲种头盔最多可买多少只？ 26.本小题分 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图的面积，把图看作一个大正方形它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． 如图，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______． 利用中的结论解决以下问题： 已知，，求的值； 如图，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图中阴影部分的面积． 27.本小题3分 课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，        ，        ，，． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：如图，已知，求的度数； 深化拓展：已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间． 如图，点在点的左侧，若，求的度数． 如图，点在点的右侧，且，若，求度数用含的代数式表示 28.本小题分 在我们苏科版义务教育教科书数学七下第页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题再现】 如图，在中，、的角平分线交于点，若则 ______； 【问题推广】 如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数． 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______； 【拓展提升】 在四边形中，，点在直线上运动点不与，两点重合，连接，，、的角平分线交于点，若，，直接写出和，之间的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，能组成三角形，故此选项符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可． 此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 2.【答案】  【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：． 根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：线段是的高的图是选项C． 故选：． 根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：，， ， ， ． 故选：． 由平角定义求出，由平行线的性质推出． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 5.【答案】  【解析】解：、同角的补角相等，正确，是真命题，符合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故错误，是假命题，不符合题意； C、若，则，故错误，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题，不符合题意． 故选：． 利用补角的性质、三角形的内角和、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解补角的性质、三角形的内角和、平行线的性质等知识，难度不大． 6.【答案】  【解析】解：设孙悟空的速度为里分钟，风速为里分钟， 则可列方程组为：； 故选：． 根据顺风去查妖精的行踪，分钟就飞跃里，逆风返回时分钟走了里，列出方程组即可． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系是关键． 7.【答案】  【解析】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ，， 大正方形与小正方形的面积之差是， ， 根据图示可得，， ，， 阴影部分的面积 ， 故选：． 根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解． 本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：连接． 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 连接，设，则，根据“，”分别将、和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积． 本题考查三角形的面积，连接并由三角形的面积公式将各部分的面积表示出来是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：平分，平分， ，， 又是的外角， ， 即， ， 又是的外角， ， ， ， 故选：． 根据角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可． 本题考查角平分线，三角形的外角性质，理解角平分线的定义，掌握三角形的外角性质是解决问题的前提． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接，，设的面积为． ， 的面积为，的面积为， ， 的面积的面积， ， 的面积，的面积， ， 的面积的面积， 的面积， ， 的面积为， 故选：． 如图，连接，，设的面积为利用等高模型的性质，用表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 11.【答案】  【解析】解：数据用科学记数法表示为， 故答案为：． 科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值． 本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解： ， 故答案为：． 先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 13.【答案】  【解析】解：， ， 则． 故答案为：． 根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 此题主要考查幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 14.【答案】  【解析】解： 解不等式可得， 解不等式可得， 由题意可知原不等式组有解， 原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解， 整数解为，，， ． 故答案为：． 可先用表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于的不等式组，可求得的取值范围． 本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有三个整数解的应用． 15.【答案】  【解析】解：是沿对折后的图形， ，． ，， ． ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． 先利用对折的性质说明与、与的关系，再利用三角形的内角和、平角的定义求出、、的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 本题主要考查了三角形的内角和、平角的定义，掌握角的和差关系、“三角形的内角和是”及平角的定义是解决本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：根据题中的新定义化简得： ，， 由得：， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 利用题中的新定义化简已知等式及不等式，求出的范围即可． 此题考查了解一元一次不等式，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：图中长方形的面积为，重叠部分的长方形的面积为， ，， 解得，， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 由图和已知可知：，，依此可求，，进一步可求图中阴影部分的面积． 本题考查了整式的加减，列代数式，关键是求出，的值． 18.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， 设有个，个，个， ， 解得，， 有个，个， 故答案为：． 首先根据得到，然后设有个，个，个，得到方程组，解方程组即可确定正确的答案． 本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大． 19.【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算即可； 根据多项式乘多项式和完全平方公式展开，去括号，合并同类项即可． 本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，多项式乘多项式，完全平方公式，掌握是解题的关键． 20.【答案】解：， 得：， ， ， 将代入得：， 解得：， 原方程组的解为； ， 解不等式得； 解不等式得； 不等式组的解集为：．  【解析】利用加减消元法求解即可； 先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 本题考查了解二元一次方程组和解不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则． 21.【答案】，两直线平行，同旁内角互补 ，等量代换  同旁内角互补，两直线平行 ， 两直线平行，内错角相等， ， ， 内错角相等，两直线平行．  【解析】证明：已知， 两直线平行，同旁内角互补， 已知， 等量代换， 同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：，两直线平行，同旁内角互补，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行． 见答案． 先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据等量代换得出得出； 根据得出，再根据得出，根据内错角相等，两直线平行判定即可． 本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键熟练掌握平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 22.【答案】解：，， ，， ， 时，，， 时，，， 综上所述，的值是； ，， ，， ， 时，，， 时，，， 综上所述，的值为．  【解析】根据绝对值的性质求出、的值，然后确定出、的对应情况，再相乘即可得解； 根据绝对值的性质求出、的值，然后根据异号得负确定出、的对应情况，再代入解答即可． 本题主要考查有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，有理数的减法，解答的关键是理解清楚题意，找到符合题意的相应的，的值． 23.【答案】证明：， ， ． ， ； 解：，， ， 平分， ， ， ．  【解析】由平行线的性质得，再根据补角性质得，便可由平行线的判定得结果； 先由平行线的性质求得，再由平分线的定义求得，再由平行线的性质求得结果． 本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，关键是明确平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 24.【答案】解：解方程组得， 为非正数，为负数， ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为； 不等式，即的解集为， ， 解得， 在中符合的整数为．  【解析】解方程组得，根据为非正数，为负数得，解之可得答案； 由不等式，即的解集为知，解之得出，再从中找到符合此条件的整数的值即可． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 25.【答案】解：设购买甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：购买甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元， 设购买只甲种头盔，则购买乙种头盔只，根据题意得： ， 解得：． 答：如果此次购买总费用不超过元，甲种头盔最多可买只．  【解析】设甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，根据购买甲种头盔只，乙种头盔只，共花费元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高元，列二元一次方程组，求解即可； 设再次购进甲种头盔只，则购买乙种头盔只，根据题意列出不等式求出的范围即可． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键． 26.【答案】  【解析】解：图整体是边长为的正方形，因此面积为，图中个部分面积和为， 因此有， 故答案为：； ，，而， ， 即， 答：的值为； ，， ， 又， ， ． 从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图的面积即可； 利用的结论代入计算即可； 根据图形中各个部分面积之间的关系得出，再代入计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，以及完全平方式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． 27.【答案】；； 过作， ， ， ， ， ， ， ； 过作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； 过作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ．   【解析】解：， ，两直线平行，内错角相等； 故答案为：；； 过作， ， ， ， ， ， ， ； 过作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； 过作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ． 由“两直线平行，内错角相等”可得结果； 过作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果； 过作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；过作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质求角即可． 本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键． 28.【答案】解：； 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ，即， ； ； 当点在点左侧时，如图所示， ， ， 平分，平分， ， ， ； 当在、之间时，如图所示： 同理可得，， ； 当点在点右侧时，如图所示： 同理可得； 综上所述，在左侧；在中间；在右侧．  【解析】解：， ， 平分，平分， ，， ，即， ， 故答案为：； 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ，即， ； 由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， 同原理可得， 故答案为：； 当点在点左侧时，如图所示， ， ， 平分，平分， ， ， ； 当在、之间时，如图所示： 同理可得，， ； 当点在点右侧时，如图所示： 同理可得； 综上所述，在左侧；在中间；在右侧． 根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； 先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同即可得到答案； 分点在点左侧，点在、之间，点在点右侧三种情况讨论求解即可． 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$