专题5 数学建模思想-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

第 二 部 分 整 合 提 升 专题五 数学建模思想 所谓数学建模,就是建立数学模型的过 程.所谓数学建模思想,就是将具有实际意义 的应用问题,通过数学思考的方法抽象、转化 为数学模型,以达到解决问题的目的.可以说, 凡有数学及其应用就有数学建模,其分析问题 的过程就是数学建模的过程,分析、解决问题 的能力就是数学建模的能力. 数学建模思想的思维过程,可用下面的框 图表示: 实际问题 抽象 (转化)→ 数学模型 ↓ (推理或演算)求解 ↓ 实际问题的解 还原说明 (检验)← 数学模型的解 例1 小王上周五在股市以收盘价(收市 时的价格)每股25元买进某公司股票1000 股.在接下来的一周交易日内,小王记下该股 票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况如 下表: 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (元) +2 -0.5 +1.5 -1.8 +0.8 根据上表回答问题: (1)星期二收盘时,该股票每股多少元? (2)这周内该股票收盘时的最高价和最低 价分别是多少? (3)已知买入股票与卖出股票均需支付成 交金额的5‰的交易费.若小王在本周五以收 盘价将全部股票卖出,他的收益情况如何? 分析:表格内显示的是该股票每日收盘价 格相比前一天的涨跌情况,因此可以根据买进 价求出每一天股票收市时的价格.买入股票与 卖出股票均需支付成交金额的5‰的交易费, 也就是股票买卖一次需交两笔交易费.收益情 况=股票收益-支付的交易费. 解:(1)星期二收盘价为每股25+2-0.5 =26.5(元). (2)收盘最高价为每股25+2-0.5+1.5 =28(元),收盘最低价为每股25+2-0.5+ 1.5-1.8=26.2(元). (3)小王的收益为27×1000×(1-5‰) -25×1000×(1+5‰)=27000-135-25000 -125=1740(元).∴ 小 王 的 本 次 收 益 为 1740元. 例2 下图反映了被调查用户对甲、乙两 种品牌空调售后服务的满意程度(以下称:用 户满意程度),分为很不满意、不满意、较满意、 很满意四个等级,并依次记为1分、2分、3分、 4分. (1)求甲、乙两品牌用户满意程度分数的 平均值.(计算结果保留到小数点后第2位) (2)根据条形统计图及上述计算结果说明 哪个品牌用户满意程度较高. 分析:(1)利用加权平均数的计算方法求 57 第 二 部 分 整 合 提 升 解.(2)主要比较两个方面:一是满意程度的平 均数;二是较满意与很满意的人数. 解:(1)甲品牌被调查用户数为50+100 +200+100=450(户);乙品牌被调查用户数 为10+90+220+130=450(户). 甲品牌 用 户 满 意 程 度 分 数 的 平 均 值= 50×1+100×2+200×3+100×4 450 ≈2.78 (分). 乙品牌 用 户 满 意 程 度 分 数 的 平 均 值= 10×1+90×2+220×3+130×4 450 ≈3.04 (分). 答:甲、乙两品牌用户满意程度分数的平 均值分别约为2.78分、3.04分. (2)用户满意程度较高的品牌是乙品牌. 因为乙品牌满意程度分数的平均值较大,且由 统计图可知,乙品牌“较满意”“很满意”的用户 较多. 例3 先 阅 读 下 面 的 材 料,然 后 解 答 问题: 在一条直线上有依次排列的n(n>1)台 机床在工作,我们要设置零件供应站P,使这 n 台机床到供应站P 的距离总和最小.要解决 这个问题,先退到比较简单的情形: 如图1,如果直线上有2台机床时,很明 显设在A1 和A2 之间的任何地方都行,因为 甲和乙走的距离之和等于A1 到A2 的距离. 如图2,如果直线上有3台机床时,不难 判断,供应站设在中间一台机床 A2 处最合 适,因为如果P 放在A2 处,甲、乙和丙所走的 距离之和恰好为A1 到A3 的距离,而如果把 P 放到别处,例如D 处,那么甲和丙所走的距 离之和仍是A1 到A3 的距离,可是乙还得走 从A2 到D 的这一段,这是多出来的,因此P 放在A2 处是最佳选择. 不难知道,如果直线上有4台机床,P 应 设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台 机床,P 应设在第3台的位置. 问题(1):有n 台机床时,P 应设置在 何处? 问题(2):根据问题(1)的结论,求|x-1| +|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最 小值. 分析:根据图1与图2的解题思路得出此 类问题的解题方法,然后找出规律,再利用规 律来解题.特别要注意的是第(1)题要采用分 类讨论的思想. 解:(1)当n 为偶数时,P 应设在第 n 2 台和 第 ( n 2+1) 台机床之间的任何地方 ;当n 为奇 数时,P 应设在第 n+1 2 台机床的位置. (2)根据绝对值的几何意义,求|x-1|+ |x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值 就是在数轴上找出表示x 的点,使它到表示 1,2,…,617各点的距离之和最小.根据问题 (1)的结论,当x=309时,原式的值最小.最小 值是:|309-1|+|309-2|+|309-3|+…+ |309-308|+0+|309-310|+|309-311| +…+|309-616|+|309-617|=308+307 +306+…+1+0+1+2+…+308=308× 309=95172. 67 第 二 部 分 整 合 提 升 1.某车间生产一批圆形机器零件,从中 抽取6件进行检验,比规定直径长的毫米数记 作正数,比规定直径短的毫米数记作负数,检 查结果记录如下表:(单位:mm) 1 2 3 4 5 6 +0.2 -0.3 -0.2 +0.3 +0.4 -0.1 请指出第几个零件好些.怎样用绝对值的 知识来说明什么样的零件好些? 2.(济南中考题)某寄宿制学校有大、小 两种类型的学生宿舍共50间,大宿舍每间可 住8人,小宿舍每间可住6人.该校360名住 宿生恰好住满这50间宿舍.求:大、小宿舍各 有多少间? 3.如图,平原上有A,B,C,D 四个村庄, 为了解决当地缺水问题,政府准备投资修建一 个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确定蓄 水池 H 点的位置,使它距四个村庄的距离之 和最小,并说明理由. 4.学校有一边长为a 的正方形草坪,现 将其各边长都增加了b,求扩大的草坪面积. 有同学说“扩建后比扩建前面积增大了b2”, 你认为正确吗? 如果正确,请说明理由;如果 不正确,请你计算出扩建后比扩建前草坪面积 增大了多少.(写出过程) 77 3x+2y=50-26 x+y=10{ , 解这个方程组,得 x=4 y=6{ . 答:应放入4个大球,6个小球. 专题五 数学建模思想 1.答:第6个零件好些,因为第6个零件与规定的直径的差的绝对值最小,最接近规定值. 2.解法1:设大宿舍有x 间,则小宿舍有(50-x)间,根据题意,得 8x+6(50-x)=360, 解得x=30 ∴50-x=20(间) 答:大宿舍有30间,小宿舍有20间. 解法2:设大宿舍有x 间,小宿舍有y 间,根据题意,得 x+y=50 8x+6y=360{ , 解得 x=30 y=20{ . 答:大宿舍有30间,小宿舍有20间. 3.连接AC,BD 相交于点H,点H 所在的位置就是蓄水池的位置.(图略) 理由:两点之 间线段最短. 4.解:不正确;(a+b)2-a2=2ab+b2,面积增大了2ab+b2. 专题六 跨学科试题 1.③ 2.24 3.400 4.B 5.D 6.不对,理由略. 7.解:(1)200 (2)200-20-110-10=60(人),补全统计图如下: ·51·