专题4 方程思想-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

第 二 部 分 整 合 提 升 专题四 方程思想 方程思想就是从分析问题的数量关系入 手,适当设定未知数,把已知量与未知量之间 的数量关系转化为方程(组)模型,从而使问题 得到解决的思维方法.主要包含两个方面:一 是列方程(组)解决问题;二是列方程(组)解决 代数问题或几何问题.关键是要善于挖掘隐含 条件,找出相等关系,列出方程. 例1 为确保信息安全,信息需要加密传 输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密 文→明文(解密).已知加密规则为:明文a,b, c对应的密文是a+1,2b+4,3c+9.例如明文 1,2,3对应的密文为2,8,18.如果接收方收到 密文7,18,15,则解密得到的明文为 ( ) A.4,5,6 B.6,7,2 C.2,6,7 D.7,2,6 分析:根据题意可将问题转化为一元一次 方程,即a+1=7,2b+4=18,3c+9=15,然 后解出a,b,c的值,即可求得明文. 解:B 例2 一个角的补角与它的余角的2倍 的差是直角的一半,求这个角. 分析:这里涉及“一个角”,它的“余角”和 “补角”等多重复杂的关系,但核心是“这个 角”.设这个角度数为α,根据题中的相等关 系,列方程求解. 解:设 这 个 角 度 数 为α,则 它 的 余 角 是 90°-α,它的补角是180°-α. 依题意列方程: (180°-α)-2(90°-α)= 1 2×90° 解得α=45°. 例3 如图,在长方形ABCD 中,放入6 个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所 示,求图中阴影部分面积. 分析:阴影部分是两块不规则的图形和一 个小长方形,可以看成是长方形ABCD 的面 积减去6个小长方形的面积,本题的关键是求 小长方形的长与宽,可转化为二元一次方程组 解决此题. 解:设小长方形长为xcm,宽为ycm,根 据题意,得 x+3y=14 2y+6=x+y{ ,解得 x=8 y=2{ . ∴S阴影=14×10-8×2×6=44(cm2). 例4 某地生产一种绿色蔬菜,若在市场 上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后 销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销 售,每吨利润涨到7500元.当地一家农工商公 司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产 能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工 16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨,但 两种加工方式不能同时进行,受季节的条件限 制,公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售 或加工完毕.为此公司研究了三种可行方案. 方案一:将蔬菜全部进行粗加工; 方案二:尽可能对蔬菜进行精加工,没有 来得及加工的蔬菜在市场上直接销售; 方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬 27 第 二 部 分 整 合 提 升 菜进行粗加工,并恰好15天完成. 你认为选择哪种方案获利最多? 为什么? 分析:方案一、二的利润可以直接求出,方 案三先求出精加工、粗加工的蔬菜各多少吨, 再求总利润.求方案三中精加工、粗加工蔬菜 的吨数,依据这样两个相等关系:①精加工蔬 菜+粗加工蔬菜=140吨;②精加工时间+粗 加工时间=15天. 解:选择第三种方案获利最多. 方案一:每天粗加工16吨,140吨可以在 15天内加工完. 总利润W1=4500×140=630000(元). 方案二:每天精加工6吨,15天可以加工 90吨,其余50吨直接销售. 总利 润:W2=90×7500+50×1000= 725000(元). 方案三:设15天内精加工蔬菜x 吨,粗 加工蔬菜y 吨. 依题意,得 x+y=140 x 6+ y 16=15 ì î í ï ï ï ï ,解得 x=60 y=80{ . 总 利 润 W3=60×7500+80×4500= 810000(元). 综合以上三种方案的利润情况知: W1<W2<W3,所 以 第 三 种 方 案 获 利 最多. 例5 如图,已知∠AOB 与∠BOC 互为 补角,OD 是∠AOB 的平分线,OE 在∠BOC 中,∠BOE = 1 2 ∠EOC ,∠DOE =72°.求 ∠EOC 的度数. 分析:设∠AOB=x°,∠BOC=y°,建立 x,y 的方程组求解.用代数方法解几何问题是 一种常用的方法. 解:设 ∠AOB =x°,∠BOC =y°,则 ∠DOB = ( x 2 )° ,∠BOE = ( 1 3y )° ,则 x+y=180 1 2x+ 1 3y=72 ì î í ï ï ï ï ,解得 x=72 y=108{ . ∠EOC= 2 3×∠BOC=108°× 2 3=72° , 故∠EOC=72°. 1.若3xm+5y 与x3y 是同类项,则 m= . 2.如图所示的两架天平保持平衡,且每 块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相 等,则一块巧克力的质量是 g. 3.一个角α与50°角之和的 1 7 等于65°的余 角,则α= . 4.一个角α的补角是它的余角的5倍,则 α= . 5.如图,已知线段 AB 上有两点C,D, AD=35,CB=44,AC= 2 3DB ,求AB 的长. 37 第 二 部 分 整 合 提 升 6.如果一个正实数的平方根是3a+5与 2a-15,那么这个正实数是多少? 7.李明到离家2.1千米的学校参加联欢 会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时 距联欢会开始还有42分钟,于是他立即步行 (匀速)回家,在家拿道具用了1分钟,然后骑 自行车(匀速)返回学校.已知李明骑自行车的 速度是步行速度的3倍,李明骑自行车到学校 比他从学校步行到家少用了20分钟. (1)求李明步行的速度. (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校? 8.根据图中给出的信息,解答下列问题: (1)放入一个小球水面升高 cm, 放入一个大球水面升高 cm. (2)如果要使水面上升到50cm,并且放 入大球、小球总数为10个.应放入大球、小球 各多少个? 47 7.解:(1)15÷30%=50(人) (2)补全条形统计图如图所示: (3) 10 50×360°=72° (4)该班人平均捐款为: 1 50× (5×15+10×25+15×10)=9.5(元),由此估计该校九年级 学生共捐款为:9.5×800=7600(元). 专题三 整体思想 1.3 2.12 3.5 3 4.9 5.D 6.A 7. x= 10 3 y=2 ì î í ïï ïï 8.-7 9.9元 专题四 方程思想 1.-2 2.12.5 3.125° 4.67.5° 5.解:设CD=x,则35-x= 2 3 (44-x),解得x=17. ∴AB=AD+CB-CD=35+44-17=62. 6.121 7.解:(1)设李明步行的速度是x 米/分, 2100 x - 2100 3x =20 解得x=70 经检验,得x=70是原分式方程的根. 答:李明步行的速度是70米/分. (2)因为 2100 70 + 2100 3×70+1=41<42 , 所以李明能在联欢会开始前赶到学校. 8.解:(1)2 3 (2)设应放入x 个大球、y 个小球,由题意,得 ·41· 3x+2y=50-26 x+y=10{ , 解这个方程组,得 x=4 y=6{ . 答:应放入4个大球,6个小球. 专题五 数学建模思想 1.答:第6个零件好些,因为第6个零件与规定的直径的差的绝对值最小,最接近规定值. 2.解法1:设大宿舍有x 间,则小宿舍有(50-x)间,根据题意,得 8x+6(50-x)=360, 解得x=30 ∴50-x=20(间) 答:大宿舍有30间,小宿舍有20间. 解法2:设大宿舍有x 间,小宿舍有y 间,根据题意,得 x+y=50 8x+6y=360{ , 解得 x=30 y=20{ . 答:大宿舍有30间,小宿舍有20间. 3.连接AC,BD 相交于点H,点H 所在的位置就是蓄水池的位置.(图略) 理由:两点之 间线段最短. 4.解:不正确;(a+b)2-a2=2ab+b2,面积增大了2ab+b2. 专题六 跨学科试题 1.③ 2.24 3.400 4.B 5.D 6.不对,理由略. 7.解:(1)200 (2)200-20-110-10=60(人),补全统计图如下: ·51·