专题3 整体思想-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

第 二 部 分 整 合 提 升 专题三 整体思想 解决一个问题,人们经常习惯于把一个问 题分成若干小问题,或者分解为若干步骤,逐 一解决.这体现了化繁为简、化难为易、分而治 之、各个击破的策略.但有时从整体的角度观 察思考,变换重组,常能出奇制胜,得出绝妙的 解法.整体思想的表现形式主要有整体代入、 整体运算、整体设元、整体改造等. 例1 已知a2-ab=1,4ab-3b2=-2, 求a2-9ab+6b2-5的值. 分析:由已知条件很难求出a,b 的值.若 把a2-ab,4ab-3b2 各自看成一个整体,则可 化难为易. 解:a2-9ab+6b2-5=a2-ab-8ab+ 6b2-5=(a2-ab)-2(4ab-3b2)-5=1- 2×(-2)-5=0. 例2 求 ( 1 2+ 1 3+ …+ 1 2010)× (1+ 1 2+ 1 3+ …+ 1 2009)- (1+ 1 2+ …+ 1 2010)× ( 1 2+ 1 3+ …+ 1 2009) 的值. 分析:观察得到1 2+ 1 3+ …+ 1 2009 与 1 2+ 1 3+ …+ 1 2010 在式子中重复出现,可将它们各 自看成一个整体,将原式化简. 解:设1 2+ 1 3+ …+ 1 2010=a ,1 2+ 1 3+ … + 1 2009=b , 原式=a(1+b)-(1+a)b=a-b= ( 1 2 + 1 3+ …+ 1 2010) - ( 1 2+ 1 3+ …+ 1 2009) = 1 2010. 例3 若方程组① 2a-3b=13 3a+5b=30.9{ 的解 是 a=8.3 b=1.2{ , 则 方 程 组 ② 2(x+2)-3(y-1)=13 3(x+2)+5(y-1)=30.9{ 的解是 ( ) A. x=6.3 y=2.2{ B. x=8.3 y=1.2{ C. x=10.3 y=2.2{ D. x=10.3 y=0.2{ 分析:题目先给出了一个二元一次方程组 的解,然后求另一个二元一次方程组的解,这 就暗示我们两个方程组之间一定有某种关系, 观察方程组①与方程组②中未知数的系数及 方程右边的常数项,它们是完全相同的,如果 我们把方程组②中x+2,y-1分别视为一个 整体看成“元”,这就表明两个方程组是完全相 同的方程组,因而它们的解是相同的,所以有 x+2=8.3,y-1=1.2,即 x=6.3 y=2.2{ . 解:A 例4 设有四个数,其中每三个数的和分 别为22,20,17,25,求这四个数. 分析:可间接设四个数的和为x,比较 简单. 解:设这四个数的和为x,则 x-22+x-20+x-17+x-25=x 解之得:x=28 07 第 二 部 分 整 合 提 升 所以28-22=6,28-20=8,28-17= 11,28-25=3. 故这四个数分别为6,8,11,3. 1.如果a2+a-1=0,那么a3+2a2+2 的值为 . 2.已知当x=1时,代数式3ax3-2bx+ 4的 值 为8,代 数 式ax3-bx-15的 值 为 -14,那么当x=-1时,代数式5ax2+4bx +6的值是 . 3.若 x+2y=6 2x+y=9{ ,则x+y= , x-y= . 4.若x2-2x=3,则代数式2x2-4x+3 的值为 . 5. 已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 2x+y=-a+4 x+2y=3-a{ ,则x-y 的值为 ( ) A.-1 B.a-1 C.0 D.1 6.如图,一块四边形广场,四角都有以四 个顶点为圆心且半径为r的圆形花圃,则这些 花圃占去的广场的面积为 ( ) A.πr2 B.2πr2 C.4πr2 D.不能确定 7.解方程组 3x=6y-2 3x-4y=2{ . 8.当x=-6时,代数式ax5+bx3+cx -1的值为5,则当x=6时,求这个代数式 的值. 9.已知甲、乙、丙三种商品,若购甲4件、 乙7件、丙1件共需36元,若购甲5件、乙8 件、丙2件共需45元,则购甲、乙、丙三种商品 各1件共需多少元? 17 7.解:(1)15÷30%=50(人) (2)补全条形统计图如图所示: (3) 10 50×360°=72° (4)该班人平均捐款为: 1 50× (5×15+10×25+15×10)=9.5(元),由此估计该校九年级 学生共捐款为:9.5×800=7600(元). 专题三 整体思想 1.3 2.12 3.5 3 4.9 5.D 6.A 7. x= 10 3 y=2 ì î í ïï ïï 8.-7 9.9元 专题四 方程思想 1.-2 2.12.5 3.125° 4.67.5° 5.解:设CD=x,则35-x= 2 3 (44-x),解得x=17. ∴AB=AD+CB-CD=35+44-17=62. 6.121 7.解:(1)设李明步行的速度是x 米/分, 2100 x - 2100 3x =20 解得x=70 经检验,得x=70是原分式方程的根. 答:李明步行的速度是70米/分. (2)因为 2100 70 + 2100 3×70+1=41<42 , 所以李明能在联欢会开始前赶到学校. 8.解:(1)2 3 (2)设应放入x 个大球、y 个小球,由题意,得 ·41·