专题2 数形结合思想-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

第 二 部 分 整 合 提 升 专题二 数形结合思想 数形结合思想是数学中重要的思想方法 之一,它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面.数学关系和空间图形是数学研究的两个主 要方面,它们之间有着密切的联系,在一定条 件下可以相互转化,相互渗透,即图形的问题 可以通过函数、方程、不等式及代数式运算等 代数方法来研究,使复杂的演绎推理过程变得 简单;代数问题也可以借助图形使复杂抽象的 演算过程变得直观明了. 例1 已知有理数a,b满足a<0<b,且 |a|>|b|.试判断(a+b+ab)2010值的符号. 分析:本题运用数形结合思想,利用数轴 可直观地看出a+b+ab的正负性. 解:根据题意画出数轴,如图所示: 由题意结合图形易知:a+b<0,ab<0,所 以(a+b+ab)2010>0,即(a+b+ab)2010的符号 为正. 例2 在改革开放30周年纪念活动中, 某校学生会就同学们对我国改革开放30年所 取得的辉煌成就的了解程度进行了随机抽样 调查,并将调查结果绘制成如图所示的统计图 的一部分. 根据统计图中的信息,解答下列问题: (1)本次抽样调查的样本容量是 , 调查中“了解很少”的学生占 %. (2)补全条形统计图. (3)若全校共有学生1300人,那么该校约 有多少名学生“很了解”我国改革开放30年来 取得的辉煌成就? (4)通过以上数据分析,请你从爱国教育 的角度提出自己的观点和建议. 分析:比较扇形统计图和条形统计图,在 被调查人数中“不了解”的人数为5,它占了被 调查人数的10%,可以求出样本容量,有了样 本容量后,再去求被调查的学生中“基本了解” 的人数. 解:(1)50 50 (2)补全图略 (3)1300 ×10%=130(名) (4)由统计图可知,“不了 解”和“了解很少”的占60%,由此可以看出同 学们对国情的关注不够.建议:加强国情教育、 爱国教育等.(答案不唯一,只要观点正确,建 议合理即可) 例3 从边长为a 的大正方形纸板中挖 去一个边长为b的小正方形后,将其拼成一个 平行四边形,那么通过计算阴影部分的面积可 以验证公式 . 76 第 二 部 分 整 合 提 升 分析:本例要求的结果是一个等式,要求 同学们从两个图形的面积计算中悟出一个代 数公式,必须注意到图2中的平行四边形的高 为a-b. 解:图1中阴影部分面积为a2-b2;图2 中阴影部分面积为(a+b)(a-b),故所填公 式为a2-b2=(a+b)(a-b). 1.在边长为a 的正方形中挖去一个边长 为b的小正方形(a>b)(如图1),把余下的部 分拼成一个梯形(如图2),根据两个图形中阴 影部分的面积相等,可以验证公式 . 2.实数a,b在数轴上对应点的位置如图 所示,则必有 ( ) A.a+b>0 B.a-b<0 C.ab>0 D. a b<0 3.如图,数轴上点P 表示的数可能是 ( ) A.7 B.- 7 C.-3.2 D.10 4.在数学活动中,小明为了求 1 2+ 1 22+ 1 23+ 1 24+ …+ 1 2n 的值(结果用n 表示),设计了 如图所示的几何图形. (1)利用这个图形可求出 1 2+ 1 22+ 1 23+ 1 24+ …+ 1 2n 的值为 . (2)请你再设计一个能求 1 2+ 1 22+ 1 23+ 1 24+ …+ 1 2n 的值的几何图形. 5.如图所示,图1表示的是某教育网站一 周连续7天日访问总量的情况,图2表示的是 学生日访问量占访问总量的百分比情况.观察 图1、图2,解答下列问题: 一周内访问总量统计图 图1 86 第 二 部 分 整 合 提 升 学生日访问量占日访问总量的百分比统计图 图2 (1)若这7天的日访问总量一共约为10 万人次,求星期三的日访问量. (2)求星期日学生日访问量. (3)请写出一条从统计图中得到的信息. 6.乘法公式的探究及应用 (1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式). (2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新 拼成一个矩形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式相乘的形式). 图1 图2 (3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以 得到公式: . (4)运用你所得到的公式,计算下列各题: ①10.2×9.8 ②(2m+n-p)(2m-n+p) 7.雅安地震,牵动着全国人民的心,地震 后某中学举行了爱心捐款活动,下面是根据该 校九年级某班学生为雅安灾区捐款情况绘制 的不完整的条形统计图和扇形统计图. (1)求该班人数. (2)补全条形统计图. (3)在扇形统计图中,求捐款“15元人数” 所在扇形的圆心角∠AOB 的度数. (4)若该校九年级有800人,据此样本,请 你估计该校九年级学生共捐款多少元. 96 第二部分 整合提升 专题一 分类讨论思想 1.±1 2.B 3.C 4.A 5.D 6.5cm或11cm 7.1小时或3小时 8.解:(1)如图1,当AB>BC 时,点P 在线段AB 上.根据点 M,N,P 分别是线段AB, BC,AC 的中点,可知BM=AM=3,PM=MB-PB=3-1=2,∴CP=AP=AM+MP= 3+2=5,BC=CP-BP=5-1=4,∴CN= 1 2BC=2. (2)如图2,当AB<BC 时,点P 在BC 上,∵AM=3,AM=BM,∴AB=6,∵BP=1, ∴AP=AB+BP=6+1=7,∵点P 为AC 的中点,∴CP=AP=7,BC=BP+CP=1+7=8, ∴CN= 1 2BC=4. 综上可知:线段CN 的长为2或4. 专题二 数形结合思想 1.a2-b2=(a+b)(a-b) 2.D 3.B 4.(1)1- 1 2n (2)如图1,2. 5.解:(1)10-(0.5+1+1+1.5+2.5+3)=0.5(万人次) 即星期三的日访问量为0.5万人次. (2)3×30%=0.9(万人次),即星期日学生日访问量为0.9万人次. (3)答案不唯一,如:星期日的日访问量最高等,只要言之有理即可. 6.(1)a2-b2 (2)a-b a+b (a+b)(a-b) (3)a2-b2=(a+b)(a-b) (4)解:①原式=(10+0.2)(10-0.2)=102-0.22=99.96 ②原式=(2m)2-(n-p)2=4m2-n2+2np-p2 ·31· 7.解:(1)15÷30%=50(人) (2)补全条形统计图如图所示: (3) 10 50×360°=72° (4)该班人平均捐款为: 1 50× (5×15+10×25+15×10)=9.5(元),由此估计该校九年级 学生共捐款为:9.5×800=7600(元). 专题三 整体思想 1.3 2.12 3.5 3 4.9 5.D 6.A 7. x= 10 3 y=2 ì î í ïï ïï 8.-7 9.9元 专题四 方程思想 1.-2 2.12.5 3.125° 4.67.5° 5.解:设CD=x,则35-x= 2 3 (44-x),解得x=17. ∴AB=AD+CB-CD=35+44-17=62. 6.121 7.解:(1)设李明步行的速度是x 米/分, 2100 x - 2100 3x =20 解得x=70 经检验,得x=70是原分式方程的根. 答:李明步行的速度是70米/分. (2)因为 2100 70 + 2100 3×70+1=41<42 , 所以李明能在联欢会开始前赶到学校. 8.解:(1)2 3 (2)设应放入x 个大球、y 个小球,由题意,得 ·41·