专题1 分类讨论思想-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

第 二 部 分 整 合 提 升 第二部分 整合提升 专题一 分类讨论思想 分类讨论是比较数学对象的共同性和差 异性,根据数量关系和空间形式的某一标准将 数学对象分为不同种类,然后对它们进行讨 论,得出各种情况下相应结论的数学方法.分 类必须有一定的标准,标准不同,分类结果也 就不同,但要做到不重复、不遗漏;分类讨论应 逐级进行,通过分类,可以把一个复杂的问题 分解成若干相对简单明了的问题. 例1 若|a|=3,|b|=2,且a>b,求a+ b的值. 分析:根据绝对值的概念及已知条件a> b可分两种情况:a=3,b=2或a=3,b=-2. 解:∵|a|=3,|b|=2, ∴a=±3,b=±2. ∵a>b,∴a=3,b=2或a=3,b=-2. 当a=3,b=2时,a+b=5;当a=3,b= -2时,a+b=1. 例2 如图,以直线 m 上的点A,B,C, D,E,F 为端点的线段有多少条? 分析:这是一个简单的计数问题,如果不 得要领,就会遗漏或重复.如果按照一定的标 准,采取分类的方法,问题就会简单得多.因为 AB 和BA 是同一条线段,所以一条线段就对 应着一个左(或右)端点.不妨以左端点为标准 分类. 解:以点 A 为左端点的线段有AB,AC, AD,AE,AF,共5条; 以点B 为左端点的线段有BC,BD,BE, BF,共4条; 以点C 为左端点的线段有CD,CE,CF, 共3条; 以点 D 为左端点的线段有DE,DF,共 2条; 以点E 为左端点的线段有EF,仅1条. 所以,以直线m 上的点A,B,C,D,E,F 为端点的线段共有5+4+3+2+1=15(条). 例3 若|a|=3,b2=5,则|a+b|= . 分析:二次根 式 b2 可 以 化 简,转 化 为 |b|,与绝对值有关的问题,一般要去掉绝对 值符号,这就要根据绝对值的概念进行分类讨 论研究. 解:b2=b ,a=±3,b=±5. 当a=3,b=5时,|a+b|=8; 当a=-3,b=-5时,|a+b|=8; 当a=-3,b=5时,|a+b|=2; 当a=3,b=-5时,|a+b|=2; 综上所述,|a+b|=2或8. 46 第 二 部 分 整 合 提 升 故答案为2或8. 例4 在平面内有四个点A,B,C,D,能 确定多少条直线? 分析:本题为结论开放型问题.解题的关 键是要对四个点的位置关系分情况讨论,分 为:四个点恰好在一条直线上;恰有三个点在 同一条直线上;任意三个点都不在同一条直线 上的三种情况. 解:(1)如果四个点恰好在一条直线上时, 能确定1条直线,如图1. (2)如果三个点在同一条直线上,第四个 点在这条直线外时,能确定4条直线,如图2. (3)如果任意三个点都不在同一条直线 上,能确定6条直线,如图3. 例5 如图所示,AB,CD 是两根钉在木 板上的平行木条,将一根橡皮筋固定在A,C 两点,点E 是橡皮筋上的任意一点,拽动点E 将橡皮筋拉紧后,请你探索∠A,∠C,∠AEC 之间的关系,并说明理由. 分析:因为原题当中并没有说明点E 拽 动后的位置,所以结合实际情况,可以将点E 拽动后的位置分为四种情况. 解:第一种情况(如图1),∠AEC=∠A +∠C. 理 由:经 过 点 E 作 EF ∥AB,∵AB ∥CD, ∴AB∥EF∥CD,(平行于同一条直线的 两条直线互相平行) ∴∠A=∠1,∠C=∠2,(两直线平行, 内错角相等) ∴∠1+∠2=∠A+∠C, 即∠AEC=∠A+∠C. 第二 种 情 况(如 图2),∠AEC+∠A+ ∠C=360°. 理 由:经 过 点 E 作 EF ∥AB,∵AB ∥CD, ∴AB∥EF∥CD,(平行于同一条直线的 两条直线互相平行) ∴∠1+∠A=180°,∠2+∠C=180°, (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠1+∠A+∠2+∠C=360°, 即∠A+∠C+∠AEC=360°. 第三 种 情 况(如 图3),∠AEC=∠A- ∠C. 理由:经过点E 作EF∥AB,∵AB∥CD, ∴AB∥EF∥CD,(平行于同一条直线的 两条直线互相平行) ∴∠A=∠AEF,∠C=∠1,(两直线平 行,内错角相等) ∴∠A-∠C=∠AEF-∠1, 即∠AEC=∠A-∠C. 第 四 种 情 况 (如 图 4),∠AEC = ∠C -∠A. 理 由:经 过 点 E 作 EF ∥AB,∵AB 56 第 二 部 分 整 合 提 升 ∥CD, ∴AB∥EF∥CD,(平行于同一条直线的 两条直线互相平行) ∴∠C+ ∠1=180°,∠A + ∠AEF= 180°,(两直线平行,同旁内角互补) ∴(∠C+∠1)-(∠A+∠AEF)=180° -180°=0, ∴∠C+∠1-∠A-∠AEF=0, ∴∠C-∠A=∠AEF-∠1=∠AEC, 即∠AEC=∠C-∠A. 1.若|x|=3,|y|=4,且xy<0,则x+y = . 2.设a 为实数,则|a|-a 的值 ( ) A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数,也可以是负数 3.设a,b,c为实数,则 a |a|+ b |b|+ c |c|+ ab |ab|+ bc |bc|+ ac |ac|+ abc |abc| 的值为 ( ) A.7 B.-1 C.7,-1 D.7,-1,1 4.已知n 是大于1的整数,p=n+(n2- 1) 1-(-1)n 2 ,则p 的值 ( ) A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.有时是奇数,有时是偶数 D.可能不是整数 5.平面上有三个点,过其中某两点可以 确定的直线的条数为 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条 6.已知线段AB=8cm,在直线AB 上画 线段BC,使它等于3cm,求线段AC 的长. 7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千 米的两地相向而行,甲每小时行17.5千米,乙 每小时行15千米,经过几小时两人相距32.5 千米? 8.在一直线上自左至右顺次取三点 A, B,C,设 AB 的中点为 M,BC 的中点为N, AC 的中点为P,已知AM=3,BP=1,求CN 的长. 66 第二部分 整合提升 专题一 分类讨论思想 1.±1 2.B 3.C 4.A 5.D 6.5cm或11cm 7.1小时或3小时 8.解:(1)如图1,当AB>BC 时,点P 在线段AB 上.根据点 M,N,P 分别是线段AB, BC,AC 的中点,可知BM=AM=3,PM=MB-PB=3-1=2,∴CP=AP=AM+MP= 3+2=5,BC=CP-BP=5-1=4,∴CN= 1 2BC=2. (2)如图2,当AB<BC 时,点P 在BC 上,∵AM=3,AM=BM,∴AB=6,∵BP=1, ∴AP=AB+BP=6+1=7,∵点P 为AC 的中点,∴CP=AP=7,BC=BP+CP=1+7=8, ∴CN= 1 2BC=4. 综上可知:线段CN 的长为2或4. 专题二 数形结合思想 1.a2-b2=(a+b)(a-b) 2.D 3.B 4.(1)1- 1 2n (2)如图1,2. 5.解:(1)10-(0.5+1+1+1.5+2.5+3)=0.5(万人次) 即星期三的日访问量为0.5万人次. (2)3×30%=0.9(万人次),即星期日学生日访问量为0.9万人次. (3)答案不唯一,如:星期日的日访问量最高等,只要言之有理即可. 6.(1)a2-b2 (2)a-b a+b (a+b)(a-b) (3)a2-b2=(a+b)(a-b) (4)解:①原式=(10+0.2)(10-0.2)=102-0.22=99.96 ②原式=(2m)2-(n-p)2=4m2-n2+2np-p2 ·31·