(七下)第5章 分式-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

6.解:原式=x2-y2 当x=2,y= 2 3 时,原式= 32 9. 7.解:剩余部分的面积=πR2-4πr2=π(7.82-2.22)=56π≈176(cm2) 【中考热身】 1.x2+2x+1 (x+3)(x-3) 2.3 3.x(x-2) 4.a(x-y) 5.(x+3)(x+2) 6.ab(a+1)(a-1) 7.m(n+3)2 8.(x-y)(x+z) 9.a(a-1)2 10.C 11.D 12.C 13.D 14.D 15.解:当ab=1,a+b=2时,原式=ab(a+b)=1×2=2. 第5章 分式 【基础过关】 一、1.x≠5 2.2y- 3 y =2 3. 40 a 4.±1 5.-1 6.x= 2 3 7.-2 8.= 9. 80a b+100 10.6 二、11.A 12.B 13.D 14.D 15.C 16.C 三、17.(1)1 (2)-1 (3)- b a+b (4)- a3b6 c6 18.(1)x=0 (2)x=4 19.解:不正确.正确解答如下: x-3 x2-1- 1 x-1 = x-3 (x+1)(x-1)- 1 x-1 = x-3 (x+1)(x-1)- x+1 (x+1)(x-1)= (x-3)-(x+1) (x+1)(x-1)=- 4 (x+1)(x-1) 由上式知,不可选x=1或x=-1代入,其他均可. 如:选x=2代入,得原式=- 4 (2+1)(2-1)=- 4 3. 【综合提升】 1.2 2.a+2 3.D 4.A 5.A 6.解:原式= 1 a-1 ,a 可取除0和1以外的任何数,计算正确即可. 7.(1)甲糖: 200 x+3 千克 乙糖: 480 x-1 千克 (2) 280x+1640 (x-1)(x+3) 千克 (3) 680x+1240 (x-1)(x+3) 千克 【中考热身】 1.x=-9 2.-2 3. a+b a 4.D 5.C 6.B 7.A 8.解:设甲队单独完成这项工程需x 天,则乙队单独完成这项工程需2x 天,由题意可得: ·01· 6· 1 x+16( 1 x+ 1 2x )=1 解得x=30,经检验x=30为方程的根. ∴2x=60. 答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程需60天. 第6章 数据与统计图表 【基础过关】 一、1.90 2.137.5 3.(1)中山公园 (2)18% (3)50 7 (4)2 (5)中山公园或北海公园 或圆明园 4.(1)八 70 (2)八 80 (3)八 5.2020 40 二、6.D 7.B 8.B 9.D 三、10.(1)38% (2)1000名 (3)中学生患“中度近视”的有2.08万人,小学生患“中度近视” 的有1.04万人. 【综合提升】 1.(1)扇形 (2)2580元 2150元 2.144° 3.144° 4.B 5.解:(1)如图所示: 某班学生文综等级条形统计图 (2)360°×(1-25%-40%-5%)=360°×30%=108° (3)15÷25%=60(人) (4)400×(25%+40%)=260(名) 【中考热身】 1.120 2.240 3.B 4.解:(1)一共抽查的学生人数= 8 16%=50 (名). (2)参加“体育活动”的人数=50-8-10-12-5=15(人),补全条形统计图如图所示: ·11· 第 一 部 分 夯 实 基 础 第5章 分式 1.分式的概念 (1)形如 A B 的式子(B 中含有字母)叫做分 式,其中A,B 是整式,这里应弄清两个问题: 一是分式是两个整式相除的商,那么分子就是 被除式,分母就是除式,而分数线可以理解为 除号,还兼有括号作用;二是分式的分子可以 含字母,也可以不含字母,但分式的分母一定 含有字母. (2)分式的分母的值不为零,这是让分式 有意义的条件,也是分式概念中的一个要点. (3)在求分式的值为零时,应该注意所求 出的这些分式的值要同时满足分母的值不 为零. 2.分式的基本性质 分式的基本性质:分式的分子与分母都乘 (或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不 变.用字母表示为: A B= A×M B×M ,A B= A÷M B÷M (其中 M 是不等 于零的整式). 注意:一是性质中的A,B,M 表示整式; 二是强调 M≠0,M 是一个整式,由于字母取 值是任意的,所以 M 有可能等于零,应用性质 时应着重考察 M 值是否为零;三是应用基本 性质时要充分理解“都”和“同”这两个字的含 义,避免犯只乘分子或分母一项的错误. 3.分式的约分 分式的约分:分式的分子和分母都除以分 子和分母的公因式. 确定公因式的方法:(1)取分子和分母系 数的最大公约数;(2)字母取分子和分母中的 相同字母;(3)相同字母取最低次幂. 如果分子和分母是多项式,则先将多项式 分解因式,才能容易发现和约去分子和分母中 的公因式,将分式化为最简分式. 4.分式的通分 分式的通分:把几个异分母的分式分别化 成与原来分式值相等的同分母的分式. 通分的关键是确定几个分式的公分母,通 常取各分母所有因式的最高次幂作为公分母, 叫做最简公分母.确定最简公分母的办法: (1)系数取最小公倍数;(2)字母取所有字母; (3)取所有字母的最高次幂.特别注意:为了确 定最简公分母,通常先将各分母分解因式. 5.分式的运算 (1)分式的乘除法以及乘方运算,应注意 先算乘方再算乘除,有括号注意灵活运用分配 律或先算括号内的. (2)分式的加减运算,其本质就是通过通 分化异分母为同分母. 运算时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符 号关. (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可 将整式化为分母为“1”的分式. (3)运算中及时约分、化简. (4)注意运算律的正确使用. (5)结果应为最简分式或整式. 6.分式方程及其应用 解分式方程的基本思想,是把分式方程转 化为整式方程去解,即把分式方程两边同时乘 各分母的最简公分母,从而约去分母,化为整 式方程,然后再解整式方程.一般步骤:(1)在 94 第 一 部 分 夯 实 基 础 方程两边都乘最简公分母,约去分母,化成整 式方程;(2)解方程;(3)验根. 由于用一个整式(各分式的最简公分母) 去乘分式方程的两边时有可能产生增根,因此 需要验根.验根的方法是将求得的根代入所 乘的整式(即最简公分母),看它的值是否为 零,如果不为零,就是原方程的根;如果值为 零,就是增根,必须舍去. 列分式方程解应用题的方法和步骤与列 一元一次方程解应用题一样,着眼于找出应用 题中的数量关系中的相等关系,也就是“建 模”.但不同的是,解分式方程必须要验根.一 方面要看原方程是否有增根,另一方面还要看 解出的根是否符合题意.原方程的增根和不 符合题意的根都应舍去. 【例1】 (温州中考题)要使分式 x+1 x-2 有 意义,则x 的取值应满足 ( ) A.x≠2 B.x≠-1 C.x=2 D.x=-1 【解题思路】 根据分式的分母不为0,建 立不等式求解. 【解答过程】 解:由x-2≠0得x≠2,故 选A. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方 是将分式有意义理解为分式值为0而错选D. 【归纳拓展】 对于分式 A B 而言,当B≠0 时,分式有意义;当B=0时,分式无意义;当 A=0且B≠0时,分式的值为零;当A,B 同 号时,分式的值为正;当A,B 异号时,分式的 值为负. 【例 2】 (济 南 中 考 题)化 简 m-1 m ÷ m-1 m2 的结果是 ( ) A.m B. 1 m C.m-1 D. 1 m-1 【解题思路】 根据分式除法法则先把除 法转化为乘法,m-1 m ÷ m-1 m2 = m-1 m × m2 m-1. 【解答过程】 解: m-1 m ÷ m-1 m2 = m-1 m × m2 m-1=m ,故选A. 【易错点睛】 运算完成后,误将分子、分 母颠倒. 【方法规律】 在分式的乘除法运算中,可 先将除法化为乘法,若分子、分母能进行分解 因式的,应先进行约分,直到分子、分母没有公 因式时再相乘得到最简结果. 【例3】 (长春中考题)某文具厂计划加 工3000套画图工具,为了尽快完成任务,实际 每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍, 结果提前4天完成任务.求该文具厂原计划每 天加工这种画图工具的数量. 【解题思路】 设该文具厂原计划每天加 工x 套画图工具,实际每天加工1.2x 套画图 工具,根据原计划的时间比实际多4天建立方 程求出解即可.注意分式方程要验根. 【解答过程】 解:设该文具厂原计划每天 加工x 套这种画图工具, 根据题意,得3000 x - 3000 1.2x=4 解得:x=125. 经检验,x=125是原方程的解,且符合 题意. 05 第 一 部 分 夯 实 基 础 答:该文具厂原计划每天加工125套这种 画图工具. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方 是列分式方程解决实际问题,对求出的分式方 程的解既要检验是否适合所列分式方程,又要 检验是否适合实际问题,否则会出现多解的 错误. 【方法规律】 列分式方程解决实际问题 的解题步骤: (1)审题:弄清已知量和未知量,找出相等 关系. (2)设未知数,并根据相等关系列出符合 题意的分式方程. (3)解这个分式方程. (4)验根:检验分式方程的根既要适合所 列分式方程,也要符合实际意义. (5)作答:写出完整的答. 一、填空题 1.(丽水中考题)若分式 1 x-5 有意义,则 实数x 的取值范围是 . 2.解方程 2x x2-1- 3x2-3 x =2 时,若设 y= x x2-1 ,则方程可化为 . 3.某单位全体员工在植树节义务植树 240棵.原计划每小时植树a 棵.实际每小时植 树的棵数是原计划的1.2倍,那么实际比原计 划提前了 小时完成任务.(用含a 的 代数式表示) 4.当x= 时,分式 2 |x|-1 无 意义. 5.已知x=2009,y=2010,则(x+y)· x2+y2 x4-y4 等于 . 6.(铜仁中考题)分式方程: 2x+1 3-x =1 的 解是 . 7.关于x 的方程 x-3 x-1= m x-1 有增根,则 m 的值为 . 8.a,b 为实数,且ab=1,设P= a a+1+ b b+1 ,Q= 1 a+1+ 1 b+1 ,则P Q.(填 “>”“<”或“=”) 9.商品的原售价为a 元,按此价的8折 出售,仍获利b%,则此商品进价为 元. 10.甲计划用若干天完成某项工作,在甲 独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两 人工效相同,结果提前两天完成任务.设甲计 划完成此项工作的天数是x,则x 的值是 . 二、选择题 11.若分式 2 x-1 有意义,则x 的取值范围 是 ( ) A.x≠1 B.x>1 C.x=1 D.x<1 12.计算 (-ab)2 a2b 的结果是 ( ) A.a B.b C.1 D.-b 13.(临沂中考题)某校为了丰富学生的 校园生活,准备购买一批陶笛,已知A 型陶笛 比B 型陶笛的单价低20元,用2700元购买 A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量 相同.设A 型陶笛的单价为x 元,依题意,下 面所列方程正确的是 ( ) 15 第 一 部 分 夯 实 基 础 A. 2700 x-20= 4500 x B. 2700 x = 4500 x-20 C. 2700 x+20= 4500 x D. 2700 x = 4500 x+20 14.下列各式中不成立的是 ( ) A. -x-y x+y =-1 B. a 2x2y = 2ay 4x2y2 C. a2-b2 (a-b)2= a+b a-b D. am+bn mx+ny = a+b x+y 15.当x=3时,分式 x+a 3x-b 的值为零,而 当x=1时,分式无意义,则 ( ) A.a=3,b=3 B.a=-1,b=2 C.a=-3,b=3 D.a=1,b=-2 16.已知关于x的分式方程 m x-1+ 3 1-x= 1的解是非负数,则m 的取值范围是 ( ) A.m>2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3 三、解答题 17.计算: (1) a-1 a2-1+ a a+1 (2) m+2n n-m + n m-n- 2n n-m (3)1- a-b a+2b÷ a2-b2 a2+4ab+4b2 (4)(- a2b c ) 3 ÷ (- a3 c ) · (- b3 c4 ) 18.解方程: (1) x 2x-5+ 5 5-2x=1 25 第 一 部 分 夯 实 基 础 (2) 2x2-8x+16 x2-4x+4 = 2x x-2 19.对 于 试 题:“先 化 简 分 式 x-3 x2-1- 1 x-1 ,再选取一个你喜爱的数代入求值.”某 同学写出了如下的解答: 解:x-3 x2-1- 1 x-1= x-3 (x+1)(x-1)- 1 x-1= x-3 (x+1)(x-1)- x+1 (x+1)(x-1)= (x-3)-(x+1)=x-3+x+1=2x-2. 选x=1代入, 当x=1时,原式=2×1-2=0. 他的解答正确吗? 如不正确,请你写出正 确解答. 1.若分式 x-2 x2+2x+1 的值为0,则x 的值 等于 . 2.化简 a2+2a a 的结果是 . 3.临近春节,甲厂决定包租一辆车送员 工返乡过年,租金为4000元.出发时,乙厂有3 名同乡员工也随车返乡(车费自付),总人数达 到x 名.如果包车租金不变,那么甲厂为员工 支付的人均车费可比原来少多少元? 则根据 题意可列代数式为 ( ) A. 4000 x - 4000 x+3 B. 4000 x+3- 4000 x C. 4000 x - 4000 x-3 D. 4000 x-3- 4000 x 4.(来宾中考题)将分式方程 x-2 2x =1 去 分母后得到的整式方程,正确的是 ( ) A.x-2=2x B.x2-2x=2x C.x-2=x D.x=2x-4 5.下列计算错误的是 ( ) A. 0.2a+b 0.7a = 2a+b 7a-b B. x3y2 x2y3 = x y C. a-b b-a=-1 D. 1 c+ 2 c= 3 c 6.先化简: a-1 a ÷ (a- 2a-1 a ) ,并任选 一个你喜欢的数a 代入求值. 35 第 一 部 分 夯 实 基 础 7.将价值200元的甲种糖果和价值480 元的乙种糖果混合成什锦糖,其单价比原甲糖 少3元,比原乙糖多1元,已知什锦糖单价为 x 元,那么: (1)甲糖、乙糖各有多少千克? (用含有x 的代数式表示) (2)乙糖比甲糖多多少千克? (3)甲、乙两种糖共有多少千克? 1.(潍坊中考题)方程 3 2x= 1 x+3 的解是 . 2.(绥化中考题)若关于x 的方程 2 x-3= 1- m x-3 有增根,则m= . 3.(济宁中考题)如果从一卷粗细均匀的 电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a 克,再称得剩余电线的质量为b 克,那么原来 这卷电线的总长度是 米. 4.(杭州中考题)若 ( 4 a2-4+ 1 2-a ) ·w =1,则w= ( ) A.a+2(a≠-2) B.-a+2(a≠2) C.a-2(a≠2) D.-a-2(a≠-2) 5.(贵港中考题)分式方程 1 x-1= 3 x2-1 的解是 ( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.无解 6.(陕西中考题)化简 (a- b2 a ) · a a-b 的结 果是 ( ) A.a-b B.a+b C. 1 a-b D. 1 a+b 7.(牡丹江中考题)若x∶y=1∶3,2y= 3z,则 2x+y z-y 的值是 ( ) A.-5 B.- 10 3 C. 10 3 D.5 8.(朝阳中考题)某市区一条主要街道的 改造工程准备招标,指挥部现接到甲、乙两个 工程队的投标书,从投标书中得知:乙队单独 完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项 工程所需天数的2倍;该工程若由甲队先做6 天,剩下的工程再由甲、乙两队合做16天可以 完成.求甲队、乙队单独完成这项工程各需多 少天. 45