(七下)第4章 因式分解-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

答:甲组平均每天掘进5米,乙组平均每天掘进4.5米. (2)设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a 天、b天完成任务,则 a=(1957-57)÷(5+4.5)=200(天) b=(1957-57)÷(5+4.5+0.2+0.3)=190(天) a-b=10(天) 答:能够比原来少用10天完成任务. 第3章 整式的乘除 【基础过关】 一、1.(1)-12x5y3 (2)1 1 8 2.a 9 3.2 4.±32 5 5.0 6.-8mn 二、7.D 8.C 9.B 10.C 11.B 三、12.(1)-3x9y6z (2)x4-8x2y2+16y4 13.解:(1)∵82-62=28,∴28是神秘数;∵102-82=36,∴36是神秘数. (2)∵(2k+2)2-4k2=4k2+8k+4-4k2=4(2k+1), ∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数. 【综合提升】 1.246 2.±2 3.16n4-9m4 4.B 5.D 6.(1)12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 6 (2)204 【中考热身】 1.D 2.D 3.A 4.B 5.解:(2x-1)2-2(3-2x) =4x2-4x+1-6+4x =4x2-5 当x=-2时,原式=4×(-2)2-5=11. 第4章 因式分解 【基础过关】 一、1.12mn 2.x(2x+1)(2x-1) 3.-2x2(x2+2) 4.2(x+2)(x-2) 5.(a+4) 6.(4a+4) 7.13 二、8.C 9.C 10.C 11.A 12.B 13.D 14.D 三、15.(1)2mn(4m-1) (2)(4a+3b)(4a-3b) (3)x(x-2y)2 16.(1)400 (2)75 17.(1)36 (2)7850 【综合提升】 1.答案不唯一,如-b2,-4,-9b2 等 2.a2+2ab=a(a+2b) 3.C 4.A 5.B ·9· 6.解:原式=x2-y2 当x=2,y= 2 3 时,原式= 32 9. 7.解:剩余部分的面积=πR2-4πr2=π(7.82-2.22)=56π≈176(cm2) 【中考热身】 1.x2+2x+1 (x+3)(x-3) 2.3 3.x(x-2) 4.a(x-y) 5.(x+3)(x+2) 6.ab(a+1)(a-1) 7.m(n+3)2 8.(x-y)(x+z) 9.a(a-1)2 10.C 11.D 12.C 13.D 14.D 15.解:当ab=1,a+b=2时,原式=ab(a+b)=1×2=2. 第5章 分式 【基础过关】 一、1.x≠5 2.2y- 3 y =2 3. 40 a 4.±1 5.-1 6.x= 2 3 7.-2 8.= 9. 80a b+100 10.6 二、11.A 12.B 13.D 14.D 15.C 16.C 三、17.(1)1 (2)-1 (3)- b a+b (4)- a3b6 c6 18.(1)x=0 (2)x=4 19.解:不正确.正确解答如下: x-3 x2-1- 1 x-1 = x-3 (x+1)(x-1)- 1 x-1 = x-3 (x+1)(x-1)- x+1 (x+1)(x-1)= (x-3)-(x+1) (x+1)(x-1)=- 4 (x+1)(x-1) 由上式知,不可选x=1或x=-1代入,其他均可. 如:选x=2代入,得原式=- 4 (2+1)(2-1)=- 4 3. 【综合提升】 1.2 2.a+2 3.D 4.A 5.A 6.解:原式= 1 a-1 ,a 可取除0和1以外的任何数,计算正确即可. 7.(1)甲糖: 200 x+3 千克 乙糖: 480 x-1 千克 (2) 280x+1640 (x-1)(x+3) 千克 (3) 680x+1240 (x-1)(x+3) 千克 【中考热身】 1.x=-9 2.-2 3. a+b a 4.D 5.C 6.B 7.A 8.解:设甲队单独完成这项工程需x 天,则乙队单独完成这项工程需2x 天,由题意可得: ·01· 第 一 部 分 夯 实 基 础 第4章 因式分解 1.因式分解 一般地,把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解,也叫分解因式.因式 分解和整式乘法具有互逆的关系. 2.添括号的法则 括号前面是“+”号,括到括号里的各项 都不变号;括号前面是“-”号,括到括号里的 各项都变号. 3.因式分解的方法 (1)提取公因式法 ①提取公因式 如果一个多项式的各项含有公因式,那 么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫 做提取公因式法.如:多项式 ma+mb 各项 都含有公因式m,可将m 提到括号外面,写 成m(a+b)的形式. ②公因式的确定 用提取公因式法分解因式的关键是确定 公因式,确定公因式可按照下面的步骤: a.公因式的系数应取各项系数绝对值 的最大公约数(当系数是整数时). b.字母取各项的相同字母. c.各字母的指数取最低次幂. ③提取公因式的注意事项 a.提公因式后的项数应与原多项式的 项数一样. b.当多项式的某一项恰好是公因式时, 这一项应看成它与1的乘积,提公因式后剩 下的应是1.1作为项的系数通常可省略,但 如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏 项.这 类 题 常 有 学 生 犯 下 面 的 错 误,如: 4x2-8ax+2x=2x(2x-4a). c.第一项的系数是负数时,应先提负号 转化,然后再提公因式. d.添括号法则:括号前面是“+”号,括 到括号里的各项都不变号;括号前面是“-” 号,括到括号里的各项都要变号. e.公因式要提尽,如:-3ab+6abx- 9aby=-ab(3-6x+9y)(×). 原式应分解为:-3ab(1-2x+3y). f.公因式可以是一个数、一个单项式、一 个多项式.如:2(a-b)-a+b,利用添括号 法则把-a+b变形成-(a-b),所以原多项 式就可以提取公因式(a-b). (2)运用公式法 ①概念 平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b); 完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2. (a,b可以表示数、单项式、多项式) 在选用完全平方公式时的关键是看多项 式中的乘积为2倍的符号. ②运用公式法的注意事项 a.若多项式为两项,这两项都能写成完 全平方数(或式)的形式,且符号相反,即可用 平方差公式. b.若多项式为三项,其中有两项能写成 完全平方数(或式)的形式,符号相同,且第三 项恰是这两个数(或式)的2倍或2倍的相反 数,即可用完全平方公式. c.因式分解时,无论有几项,首先考虑提 取公因式,再考虑是否符合公式. 44 第 一 部 分 夯 实 基 础 (3)x2+(a+b)x+ab型的多项式因式 分解 二次项系数是1的二次三项式x2+px +q的分解方法是:如果能找到两个数a,b, 使得a+b=p,且ab=q,那么x2+px+q 就可以分解为:(x+a)(x+b),即:x2+px +q=(x+a)(x+b),如:x2+3x+2,可以 找到两个数2,1,使得2+1=3,2×1=2,所 以,x2+3x+2=(x+2)(x+1). 【例1】 (玉林防城港中考题)下面的多 项式在实数范围内能因式分解的是 ( ) A.x2+y B.x2-y C.x2+x+1 D.x2-2x+1 【解题思路】 根据因式分解的两种方 法:提公因式法和公式法,逐一验证四个选择 项求解. 【解答过程】 解:选项A中的两项没有 公因式,也不符合公式法的形式,不能因式分 解;选项B没有公因式,用平方差公式第二 项由于缺少了平方,因此不能因式分解;选项 C有一点像完全平方公式,但一次项系数缺 少了2倍,也不能因式分解;只有选项D能 用完全平方公式进行因式分解,即x2-2x+ 1=(x-1)2.故选择D. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方 是选择项B错看成平方差的形式求解,即: x2-y=(x-y)(x+y). 【方法规律】 (1)能用提公因式法分解 因式的多项式,各项必须存在公因式,这个公 因式可以是单项式,也可以是多项式;(2)能 用平方差公式分解因式的多项式应满足条件 是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号 相反;能用完全平方公式分解因式的多项式 应符合a2±2ab+b2=(a±b)2,左边是三项 式,两项都能写成平方的形式且符号相同,另 一项是这两个数乘积的2倍. 【例2】 (河北中考题)计算:852-152= ( ) A.70 B.700 C.4900 D.7000 【解题思路】 利用平方差公式分解,然 后计算. 【解答过程】 解:852-152=(85+15)× (85-15)=100×70=7000,故选择D. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方 是计算错误. 【例3】 (毕节中考题)下列因式分解正 确的是 ( ) A.2x2-2=2(x+1)(x-1) B.x2+2x-1=(x-1)2 C.x2+1=(x+1)2 D.x2-x+2=x(x-1)+2 【解题思路】 按照因式分解的要求逐一 判断,或根据因式分解与整式乘法的关系逆 向判断. 【解答过程】 解:选项 A中2x2-2= 2(x2-1)=2(x+1)(x-1),故选项 A对; 选项B、C都记错了公式,应该是x2-2x+1= (x-1)2,x2+2x+1=(x+1)2;选项D不 符合因式分解的形式,故选项B、C、D都错, 选A. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方 是混淆乘方公式,或者记错乘法公式的正确 形式. 【方法规律】 整式的因式分解一般遵循 “一提(提公因式),二套(套用公式),三整理 (规范形式)”的解题过程. 54 第 一 部 分 夯 实 基 础 一、填空题 1.12m2n2 与12mn 的 公 因 式 是 . 2.分解因式4x3-x= . 3.把多项式-2x4-4x2 分解因式,其结 果是 . 4.(怀 化 中 考 题)分 解 因 式:2x2-8 = . 5.一个正方形的面积是(a2+8a+16)cm2, 则此正方形的边长是 cm. 6.一个边长为am的正方形广场,扩建 后的正方形边长比原来长2m,则扩建后面 积增大了 m2. 7.|x+y-5|+(xy-6)2=0,则x2+ y2= . 二、选择题 8.下列由左边到右边的变形,属于分解 因式的变形是 ( ) A.x2-2=(x-1)(x+1)-1 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.1-x2=(1+x)(1-x) D.x2+4=(x+2)2-4x 9.若x2+2mx+[ ]是完全平方式, 则[ ]中应填入的代数式是 ( ) A.m B.-m C.m2 D.±m 10.多项式x2-4x+m 可以分解为 (x+3)(x-7),则m 的值为 ( ) A.3 B.-3 C.-21 D.21 11.(怀化中考题)多项式ax2-4ax- 12a 因式分解正确的是 ( ) A.a(x-6)(x+2) B.a(x-3)(x+4) C.a(x2-4x-12) D.a(x+6)(x-2) 12.(安徽中考题)下列四个多项式中, 能分解因式的是 ( ) A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x5+5y D.x2-5y 13.方程2x(3x-1)=0的解是 ( ) A.x1= 1 2 ,x2=- 1 3 B.x1=- 1 2 ,x2= 1 3 C.x1=0,x2=- 1 3 D.x1=0,x2= 1 3 14.若9x2+kx+16是一个完全平方 式,则k的值等于 ( ) A.12 B.24 C.-24 D.±24 三、解答题 15.把下列各式因式分解: (1)8m2n-2mn (2)16a2-9b2 64 第 一 部 分 夯 实 基 础 (3)x3-4x2y+4xy2 16.用简便方法计算: (1)1012-992 (2)0.75×117- 3 4×13+7.5× (-0.4) 17.计算与求值: (1)已知:a+b=3,ab=4,计算a3b+ 2a2b2+ab3 的值. (2)已知S=πrl+πRl,当r=45,R= 55,l=25,π=3.14时,求S 的值. 1.若多项式4a2+m 能用平方差公式分 解因式,则单项式m= .(写出三个即可) 2.如图是由一个边长为a 的小正方形和两个长、宽分别为 a,b的长方形拼接而成的长方 形ABCD.则整个图形可以表达 一些有关多项式分解因式的等 式,请你写出一个等式: . 3.已知n 是正整数,则下列数中一定能 整除(2n+3)2-25的是 ( ) A.6 B.3 C.4 D.5 4.(攀枝花中考题)因式分解a2b-b的 正确结果是 ( ) A.b(a+1)(a-1) B.a(b+1)(b-1) C.b(a2-1) D.b(a-1)2 5.(佛山中考题)把24个边长为1的小 正方体木块拼成一个长方体(要全部用完), 则不同的拼法(不考虑放置的位置,形状和大 小一样的拼法即为相同的拼法)的种数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.先 化 简,再 求 值:[(x2 +y2)2 - 4x2y2]÷(x2-y2),其中x=2,y= 2 3. 74 第 一 部 分 夯 实 基 础 7.如图,在半径为R 的圆形钢板上挖去 半径为r的4个小圆.运用因式分解计算当 R=7.8cm,r=1.1cm 时剩余部分的面积 (结果精确到个位). 1.(常州中考题)计算:(x+1)2= ;分解因式:x2-9= . 2.(枣庄中考题)若m2-n2=6,且m- n=2,则m+n= . 3.(福 州 中 考 题)分 解 因 式:x2-2x = . 4.(泸 州 中 考 题)分 解 因 式:ax-ay = . 5.(威海中考题)分解因式:(x+3)2- (x+3)= . 6.(孝 感 中 考 题)分解因式:a3b-ab = . 7.(北京中考题)分解因式:mn2+6mn +9m= . 8.(怀化中考题)分解因式:x2-xy+ xz-yz= . 9.(哈尔滨中考题)把多项式a3-2a2+ a 分解因式的结果是 . 10.(岳阳中考题)下列因式分解正确的是 ( ) A.x2-y2=(x-y)2 B.a2+a+1=(a+1)2 C.xy-x=x(y-1) D.2x+y=2(x+y) 11.(葫芦岛中考题)计算:552-152= ( ) A.40 B.1600 C.2400 D.2800 12.(南宁中考题)把多项式2x2-8x+ 8分解因式,结果正确的是 ( ) A.(2x-4)2 B.2(x-4)2 C.2(x-2)2 D.2(x+2)2 13.(眉山中考题)下列因式分解错误的是 ( ) A.x2-y2=(x+y)(x-y) B.x2+6x+9=(x+3)2 C.x2+xy=x(x+y) D.x2+y2=(x+y)2 14.(威海中考题)将下列多项式分解因 式,结果中不含因式x-1的是 ( ) A.x2-2x+1 B.x2-1 C.x2+x-2 D.x2+2x+1 15.(宿迁中考题)已知实数a,b满足ab =1,a+b=2,求代数式a2b+ab2 的值. 84