(七下)第3章 整式的乘除-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第3章 整式的乘除 1.幂的运算性质 (1)同底数幂的乘法法则:am·an=am+n (m,n 都是正整数). (2)幂的乘方法则:(am)n=amn(m,n 都 是正整数). (3)积的乘方法则:(ab)n=anbn(n 为正 整数). (4)同底数幂相除的法则:am÷an=am-n (a≠0,m,n 都是正整数,且m>n). 2.整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘,把它们的系数、 同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不 变,作为积的因式. (2)单项式与多项式相乘,就是用单项式 去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. (3)多项式与多项式相乘,先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所 得的积相加. 3.乘法公式 (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+ b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 4.整式的化简 整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后 加减的顺序.能运用乘法公式的则运用公式. 5.零指数幂与负整数指数幂 (1)a0=1(a≠0),a-p= 1 ap (a≠0,p 是 正整数). (2)有了负指数幂,我们就可以用科学记 数法表示绝对值较小的数. 6.整式的除法 (1)单项式相除,把系数、同底数幂分别相 除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的 字母,则连同它 的 指 数 一 起 作 为 商 的 一 个 因式. (2)多项式除以单项式,先把这个多项式 的每一项除以 这 个 单 项 式,再 把 所 得 的 商 相加. 7.多项式的乘法 (1)多个单项式间的乘法运算法则 ①单项式的乘法法则,对于三个或三个以 上的单项式相乘同样适用,具体方法同上. ②单项式乘法中有乘方、乘法的混合运算 时,应先乘方后乘法. ③单项式与单项式相乘,其结果仍是一个 单项式. (2)单项式与多项式相乘的法则 ①注意积的符号的确定:一个多项式的每 一 项 都 包 括 它 前 面 的 符 号, 如 1 2ab( 2 3ab 2-2ab) 中多项式的第二项应该是 -2ab,而不是2ab;还应注意单项式的符号, 如-4x(2x2+3x-1)中的单项式带有负号, 在相乘时要特别注意. ②单项式与多项式相乘,其结果是一个多 项式,此多项式的项数与因式中的多项式的项 数相同,在运算过程中,不要因漏乘而造成漏 项.在混合运算中,要注意运算顺序,最后的 结果中应当不含有同类项. (3)多项式与多项式相乘的法则 形如(x+a)(x+b)的多项式的乘法,其 结果非常有规律,简单易记,可以作为公式记 忆使用,即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ 04 第 一 部 分 夯 实 基 础 ab(a,b为已知数). 其特点是: ①二次项系数为1. ②一次项系数是两乘式的常数项之和. ③常数项是两乘式的常数项的积. 掌握这些特点,会给此种形式的运算带来 方便,直接写出计算结果. 8.掌握乘法公式的结构特征 (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 可以用语言叙述为“两个数的和与这两个数的 差的积等于这两个数的平方差”.其结构特征 是:公式的左边是两个一次二项式的乘积,并 且这两个二项式中有一项是完全相同的,另一 项则是互为相反数,右边是乘式中两项的平 方差. (2)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+ b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.可以用语言叙述 为“两个数和(或差)的平方,等于第一数的平 方加上(或减去)第一数与第二数乘积的2倍, 加上第二数的平方”.其结构特征是:左边是 “两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末 两项是平方项,且符号相同,中间项是2ab,且 符号由左边的“和”或“差”来确定. 【例1】 (泰州中考题)下列运算正确的是 ( ) A.x2·x4=x8 B.(2x2)2=2x4 C.(x3)2=x6 D.x6÷x2=x3 【解题思路】 对照相应的运算法则逐一 排除. 【解答过程】 解:选项 A是同底数幂的 乘法,底数不变,指数相加,结果应是x6;选项 B是积的乘方,各因式乘方的积,结果应是 4x4;选项C是幂的乘方,底数不变,指数相 乘;选项D是同底数幂的除法,底数不变,指 数相减,结果应是x4.故选择C. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方 是指数间的运算与整式的运算等. 【例2】 (绍兴中考题)先化简,再求值: a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b),其中a=1, b=- 1 2. 【解题思路】 先利用完全平方公式和单 项式与多项式乘法法则化简、合并同类项,再 代入数值进行计算. 【解答过程】 解:原式=a2-3ab+a2+ 2ab+b2-a2+ab=a2+b2 当a=1,b=- 1 2 时, 原式=12+ (- 1 2) 2 = 5 4. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方 是对乘法公式掌握不牢导致出错. 【方法规律】 整式运算的顺序是:先做整 式的乘除,再做整式的加减.整式加减的实质 就是合并同类项.对于化简求值题,常常先化 简再求值. 一、填空题 1.计算: (1)(- 4 3xy) ·(-3x2y)2= . (2)(-π)0+2-3= . 2.计算:(a3)2·a3= . 14 第 一 部 分 夯 实 基 础 3.(葫芦岛中考题)若m+n=2,mn=1, 则m2+n2= . 4.若210=a2=4b,则a= ,b= . 5.已知m 为实数,且满足(m-2011)2+ (2012-m)2=1,则(m-2011)(2012-m)= . 6.若[(2m-n)2-(2m+n)2]÷A=1, 则A= . 二、选择题 7.下列运算正确的是 ( ) A.a2·a3=a6 B.a3÷a=a3 C.(a2)3=a5 D.(3a2)2=9a4 8.计算(-3ab2)4 的结果是 ( ) A.-12a4b8 B.12a4b8 C.81a4b8 D.81a5b6 9.下列计算正确的是 ( ) A.(-3an+1b)·(-2a)=6an+1b B.(-6a2b)·(-ab2)· 1 2b 3c=3a3b6c C.(-4ab)·(-a2c)· 1 2ab 2=2a3b3c D.(anb3c)·(- 1 3ab n-1)=- 1 3a n+1b3n-1c 10.计算 ( m 2- n 2 ) ( m 3+ n 3 ) 的结果是 ( ) A. 1 6m 2 B. 1 6 (m2+n2) C. 1 6 (m2-n2) D. 1 6m 2+ 7 6n 2 11.若x2-3x+1=0,则x2+ 1 x2 的值是 ( ) A.8 B.7 C. 3± 5 2 D. 7± 5 2 三、解答题 12.计算: (1)(-3x2y)3·xyz· ( 1 3xy) 2 (2)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2) 13.如果一个正整数能表示为两个连续 偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘 数”,如:4=22-02,12=42-22,20=62-42, 因此4,12,20这三个数都是神秘数. (1)28和36这两个数是神秘数吗? 为 什么? (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中 k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神 秘数是4的倍数吗? 为什么? 24 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.若n 为正整数,a2n=5,则2a6n-4 = . 2.若(x-4)(x+m2)=x2-16,则m= . 3.(3m2-4n2)(-4n2-3m2)= . 4.已知 1 x-|x|=1 ,则1 x+|x| 的值为 ( ) A.± 5 B.5 C.± 3 D.5或1 5.已知a-b=3,ab=1,则a2+b2 等于 ( ) A.5 B.7 C.9 D.11 6.观察下列算式,你发现了什么规律? 12= 1×2×3 6 12+22= 2×3×5 6 12+22+32= 3×4×7 6 12+22+32+42= 4×5×9 6 …… (1)你能用一个算式表示这个规律吗? (2)根据你发现的规律,计算:12+22+ 32+…+82. 1.(辽阳中考题)下列运算正确的是 ( ) A.a2·a3=a6 B.(a2)3=a5 C.2a2+3a2=5a4 D.(a+2b)(a-2b)=a2-4b2 2.(衡阳中考题)下列运算结果正确的是 ( ) A.x2+x3=x5 B.x3·x2=x6 C.x5÷x=x5 D.x3·(3x)2=9x5 3.(泰 安 中 考 题)若2x =3,4y=5,则 2x-2y的值为 ( ) A. 3 5 B.-2 C. 35 5 D. 6 5 4.(苏州中 考 题)若3×9m×27m=321, 则m 的值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.(来宾中考题)先化简,再求值:(2x- 1)2-2(3-2x),其中x=-2. 34 答:甲组平均每天掘进5米,乙组平均每天掘进4.5米. (2)设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a 天、b天完成任务,则 a=(1957-57)÷(5+4.5)=200(天) b=(1957-57)÷(5+4.5+0.2+0.3)=190(天) a-b=10(天) 答:能够比原来少用10天完成任务. 第3章 整式的乘除 【基础过关】 一、1.(1)-12x5y3 (2)1 1 8 2.a 9 3.2 4.±32 5 5.0 6.-8mn 二、7.D 8.C 9.B 10.C 11.B 三、12.(1)-3x9y6z (2)x4-8x2y2+16y4 13.解:(1)∵82-62=28,∴28是神秘数;∵102-82=36,∴36是神秘数. (2)∵(2k+2)2-4k2=4k2+8k+4-4k2=4(2k+1), ∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数. 【综合提升】 1.246 2.±2 3.16n4-9m4 4.B 5.D 6.(1)12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 6 (2)204 【中考热身】 1.D 2.D 3.A 4.B 5.解:(2x-1)2-2(3-2x) =4x2-4x+1-6+4x =4x2-5 当x=-2时,原式=4×(-2)2-5=11. 第4章 因式分解 【基础过关】 一、1.12mn 2.x(2x+1)(2x-1) 3.-2x2(x2+2) 4.2(x+2)(x-2) 5.(a+4) 6.(4a+4) 7.13 二、8.C 9.C 10.C 11.A 12.B 13.D 14.D 三、15.(1)2mn(4m-1) (2)(4a+3b)(4a-3b) (3)x(x-2y)2 16.(1)400 (2)75 17.(1)36 (2)7850 【综合提升】 1.答案不唯一,如-b2,-4,-9b2 等 2.a2+2ab=a(a+2b) 3.C 4.A 5.B ·9·