(七下)第2章 二元一次方程组-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（浙教版2024）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第2章 二元一次方程组 1.二元一次方程 含有两个未知数,并且含有未知数的项 的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次 方程. 要点诠释:二元一次方程满足的三个 条件: (1)在方程中“元”是指未知数,“二元”就 是指方程中有且只有两个未知数. (2)“未知数的次数为1”是指含有未知 数的项(单项式)的次数是1. (3)二元一次方程的左边和右边都必须 是整式. 2.二元一次方程的解 一般地,使二元一次方程两边的值相等 的两个未知数的值,叫做二元一次方程的一 组解. 要点诠释: (1)二元一次方程的解都是一对数值,而 不是一 个 数 值,一 般 用 大 括 号 联 立 起 来, 如: x=2 y=5{ . (2)一般情况下,二元一次方程有无数个 解,即有无数多对数适合这个二元一次方程. 3.二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程 合在一起,就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释:组成方程组的两个方程不必 同时含有两个未知数,例如 3x+1=0 x-2y=5{ 也是 二元一次方程组. 4.二元一次方程组的解 一般地,二元一次方程组的两个方程的 公共解,叫做二元一次方程组的解. 要点诠释: (1)二元一次方程组的解是一组数对,它 必须同时满足方程组中的每一个方程,一般 写成 x=a y=b{ 的形式. (2)一般地,二元一次方程组的解只有一 个,但也有特殊情况,如方程组 2x+y=5 2x+y=6{ 无 解,而方程组 x+y=-1 2x+2y=-2{ 的解有无数个. 【例1】 (南昌中考题)小锦和小丽购买 了价格分别相同的中性笔和笔芯.小锦买了 20支笔和2盒笔芯,用了56元;小丽买了2 支笔和3盒笔芯,仅用了28元.设每支中性 笔x 元,每盒笔芯y 元,根据题意所列方程 组正确的是 ( ) A. 20x+2y=28 2x+3y=56{ B. 20x+2y=56 2x+3y=28{ C. 20x+3y=28 2x+2y=56{ D. 20x+3y=56 2x+2y=28{ 【考点解剖】 本题考查了二元一次方程 组的应用,解题的关键是找出题目的等量 关系. 【解题思路】 找出题目中的等量关系: 20支笔的金额+2盒笔芯的金额=56元,2 支笔的金额+3盒笔芯的金额=28元,把未 知数代入数量关系得到方程组. 53 第 一 部 分 夯 实 基 础 【解答过程】 解: 20x+2y=56 2x+3y=28{ ,故选 择B. 【方法规律】 由实际问题抽象出二元一 次方程组的主要步骤:(1)弄清题意;(2)找准 题中的两个等量关系;(3)设出合适的未知 数;(4)根据找到的等量关系列出两个方程并 组成二元一次方程组. 【例 2】 (甘 孜 州 中 考 题)解 方 程 组 x-2y=2 x+3y=7{ . 【考点解剖】 本题考查了二元一次方程 组的解法,解题的关键是熟练掌握加减法或 代入法解二元一次方程组. 【解题思路】 思路一:因为两个方程未 知数x 的系数相同,可以将两式相减,消去 未知数x.思路二:因为两个方程未知数x 的 系数都是1,本题也可以利用代入法求解. 【解答过程】 解: x-2y=2 ① x+3y=7 ②{ , ②-①得5y=5, 解得y=1. 把y=1代入①得x=4. ∴ 原方程组的解为 x=4 y=1{ . 【思维模式】 解二元一次方程组常用的 方法有加减法和代入法.若方程组中相同未 知数的系数相同或互为相反数,则可以考虑 运用加减法求解;若方程组中某个未知数的 系数为1或-1时,则可以考虑运用代入法 求解. 【例3】 (连云港中考题)小林在某商店 购买商品A,B 共三次,只有一次购买时,商 品A,B 同时打折,其余两次均按标价购买. 三次购买商品A,B 的数量和费用如下表: 购买商品A 的数量(个) 购买商品B 的数量(个) 购买总费用 (元) 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 (1)小林以折扣价购买商品A,B 是第 次购物. (2)求商品A,B 的标价. (3)若商品 A,B 的折扣相同,问:商店 是打几折出售这两种商品的? 【解题思路】 (1)由第三次购物数量最 多而费用最少,可以确定以折扣价购买商品 A,B 是第三次购物. (2)设商品 A,B 的标价分别为x 元、y 元,以第一、二次购物的数量和费用列二元一 次方程组,列表如下: 购买商品A 的费用(元) 购买商品B 的费用(元) 购买 总费用(元) 第一次购物 6x 5y 1140 第二次购物 3x 7y 1110 通过解方程组使问题获解. (3)根据第三次购物时,应付费用×折数 =实际费用,列一元一次方程求解. 【解答过程】 解:(1)第三次购物,数量 最多而费用最少,所以以折扣价购买商品A, B 是第三次购物,故填“三”. (2)设 A,B 两种商品的标价分别为x 元、y 元. 根 据 题 意,可 得 6x+5y=1140 3x+7y=1110{ ,解 得 x=90 y=120{ . 答:A,B 两种商品的标价分别为90元、 120元. 63 第 一 部 分 夯 实 基 础 (3)设商店是打a 折出售的,则 a 10 (90×9+8×120)=1062, 解得a=6. 答:商店是打6折出售商品A,B 的. 【归纳拓展】 正确地列出方程组的关键 在于寻求实际问题中的等量关系,列表能使 数量关系一目了然,是帮助我们分析题意、寻 找等量关系、建立方程组的好办法. 一、选择题 1.下列四个方程中,是二元一次方程的是 ( ) A.x-3=0 B.xy-x=5 C. 2 x-y=3 D.2y-x=5 2.已知x=2m+1,y=2m-1,用含x 的式子表示y 的结果是 ( ) A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=-x+2 D.y=-x-2 3.方程组 3x+7y=9 4x-7y=5{ 的解是 ( ) A. x=-2 y=1{ B. x=-2 y= 3 7 ì î í ï ï ï ï C. x=2 y=- 3 7 ì î í ï ï ï ï D. x=2 y= 3 7 ì î í ï ï ï ï 4.在等式y=x2+mx+n 中,当x=2 时,y=5;当x=-3时,y=-5.则当x=3 时,y等于 ( ) A.23 B.-13 C.-5 D.13 5.已知|3x+2y-4|与9(5x+7y-3)2 互为相反数,则x,y 的值是 ( ) A. x=1 y=-1{ B. x=2 y=-1{ C. x=-1 y=2{ D.无法确定 6.已知方程组 2x+y=5k 2x-y=7k{ 的解满足方 程1 3x-2y=5 ,那么k的值为 ( ) A. 3 5 B. 5 3 C.-5 D.1 二、解答题 7.解下列方程组: (1) 5(x+y)+3(x-y)=90 5(x+y)-3(x-y)=30{ (2) 2x+4y+2z=6 3x-2y+5z=11 5x-6y+7z=13 ì î í ï ï ï ï 73 第 一 部 分 夯 实 基 础 8.李大叔今年五月份购买了一台彩电 和一台洗衣机,根据“家电下乡”的补贴标准: 农户每购买一件家电,国家将按每件家电售 价的13%补贴给农户.因此,李大叔从乡政 府领到了390元补贴款.若彩电的售价比洗 衣机的售价高1000元,求彩电和洗衣机的售 价各是多少元. 1.若xm-2-8yn+3=15是关于x,y 的 二元一次方程,则m+n= ( ) A.-1 B.2 C.1 D.-2 2.以 x=1 y=-1{ 为解的二元一次方程组是 ( ) A. x+y=0 x-y=1{ B. x+y=0 x-y=-1{ C. x+y=0 x-y=2{ D. x+y=0 x-y=-2{ 3.为紧急安置100名地震灾民,需要同 时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷,则搭 建方案共有 ( ) A.8种 B.9种 C.16种 D.17种 4.同时满足方程 2 3x+ 1 2y=1 与3x+ 2y=5的解是 ( ) A.x=2,y=2 B.x=-3,y=4 C.x=3,y=-2 D.x=-3,y=-2 5.已知代数式 1 2x a-1y3 与-3x-by2a+b 是同类项,那么a,b的值分别是 ( ) A. a=2 b=-1{ B. a=2 b=1{ C. a=-2 b=-1{ D. a=-2 b=1{ 6.某校七年级(2)班40名同学为“希望 工程”捐 款,共 捐 款100元。捐 款 情 况 如 下表: 捐款(元) 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被 墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元 的有y 名同学,根据题意,可得方程组 ( ) A. x+y=27 2x+3y=66{ B. x+y=27 2x+3y=100{ C. x+y=27 3x+2y=66{ D. x+y=27 3x+2y=100{ 7.“十一”黄金周期间,几位同学一起去 郊外游玩.男同学都背着红色的旅行包,女同 学都背着黄色的旅行包.其中一位男同学说: “我看到红色旅行包个数是黄色旅行包个数 的1.5倍.”另一位女同学说:“我看到红色旅 行包个数是黄色旅行包个数的2倍.”如果这 两位同学说的都对,那么女同学的人数是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 83 第 一 部 分 夯 实 基 础 8.解下列方程组: (1) x=y+1 2x+3y=1{ (2) 3x-5y=3 x 2- y 3=1 ì î í ï ï ï ï 9.若二元一次方程组 2x+3y=k-3 x-2y=2k+1{ 的 解互为相反数,求k的值. 1.(本 溪 中 考 题)关于x,y 的方程组 2x-y=m x+my=n{ 的解是 x=1 y=3{ ,则|m+n|的值是 . 2.(杭州中考题)设实数x,y 满足方程 组 1 3x-y=4 1 3x+y=2 ì î í ï ï ï ï ïï ,则x+y= . 3.(盘锦中考题)在一次知识竞赛中,学 校为获得一等奖和二等奖的共30名学生购 买奖品,共花费528元.其中一等奖奖品每件 20元,二等奖奖品每件16元,则获得一等奖 和二等奖的学生各有多少名? 设获得一等奖 的学生有x名,获得二等奖的学生有y 名,根 据题意可列方程组为 . 4. (威 海 中 考 题 ) 解 方 程 组: 3x-5y=3 x 2- y 3=1 ì î í ï ï ï ï . 5.(青海中考题)穿越青海境内的兰新 高速铁路正在加紧施工.某工程队承包了一 段全长1957米的隧道工程,甲、乙两个班组 分别从南、北两端同时掘进,已知甲组比乙组 每天多掘进0.5米,经过6天施工,甲、乙两 组共掘进57米. (1)求甲、乙两班组平均每天各掘进多 少米. (2)为加快工程进度,通过改进施工技 术,在剩余的工程中,甲组平均每天比原来多 掘进0.3米,乙组平均每天比原来多掘进0.2 米.按此施工进度,能够比原来少用多少天完 成任务? 93 7.证明:∵AB⊥BF,CD⊥BF,∴AB∥CD,又∠BAF=∠AFE,∴AB∥EF,∴CD∥ EF,∴∠DCE+∠E=180°. 8.解:(1)AD 平分∠EAC,理由如下: ∵AD∥BC, ∴∠EAD=∠B,∠CAD=∠C. 又∵∠B=∠C, ∴∠EAD=∠CAD,即AD 平分∠EAC. (2)AD∥BC,理由如下: ∵AD 平分∠EAC, ∴∠EAD=∠CAD. ∵∠BAC+∠EAC=180°, ∴∠BAC+2∠DAC=180°. 又∵∠B=∠C, ∴∠BAC+2∠C=180°, ∴∠DAC=∠C, ∴AD∥BC. 【中考热身】 1.107 2.D 3.B 4.A 5.C 第2章 二元一次方程组 【基础过关】 一、1.D 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 二、7.(1) x=11 y=1{ (2) x=-1 y= 1 2 z=3 ì î í ï ï ï ï ïï 8.解:设一台彩电的售价为x 元,一台洗衣机的售价为y 元. 根据题意,得 x-y=1000 13%(x+y)=390{ ,解得 x=2000 y=1000{ . 答:彩电的售价为2000元,洗衣机的售价为1000元. 【综合提升】 1.C 2.C 3.A 4.C 5.A 6.A 7.C ·7· 8.(1) x= 4 5 y=- 1 5 ì î í ï ïï ï ï (2) x= 8 3 y=1 ì î í ï ï ïï 9.解:解方程组得 x= 8k-3 7 y= -3k-5 7 ì î í ï ïï ï ï , 因为方程组的解x,y 互为相反数,则有 8k-3 7 + -3k-5 7 =0 ,解得k= 8 5. 【中考热身】 1.3 2.8 3. x+y=30 20x+16y=528{ 4.解: 3x-5y=3 ① x 2- y 3=1 ② ì î í ï ï ïï ②×6,得3x-2y=6 ③ ③-①,得3y=3. ∴y=1. 把y=1代入①,得3x-5=3. ∴x= 8 3. ∴方程组的解为 x= 8 3 y=1 ì î í ï ï ïï . 5.解:(1)解法一:设乙组平均每天掘进x 米,则甲组平均每天掘进(x+0.5)米, 由题意得:6[x+(x+0.5)]=57, 解得x=4.5, 则x+0.5=5, 答:甲组平均每天掘进5米,乙组平均每天掘进4.5米. 解法二:设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x 米、y 米, 由题意,得 x-y=0.5 6(x+y)=57{ , 解得 x=5 y=4.5{ . ·8· 答:甲组平均每天掘进5米,乙组平均每天掘进4.5米. (2)设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a 天、b天完成任务,则 a=(1957-57)÷(5+4.5)=200(天) b=(1957-57)÷(5+4.5+0.2+0.3)=190(天) a-b=10(天) 答:能够比原来少用10天完成任务. 第3章 整式的乘除 【基础过关】 一、1.(1)-12x5y3 (2)1 1 8 2.a 9 3.2 4.±32 5 5.0 6.-8mn 二、7.D 8.C 9.B 10.C 11.B 三、12.(1)-3x9y6z (2)x4-8x2y2+16y4 13.解:(1)∵82-62=28,∴28是神秘数;∵102-82=36,∴36是神秘数. (2)∵(2k+2)2-4k2=4k2+8k+4-4k2=4(2k+1), ∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数. 【综合提升】 1.246 2.±2 3.16n4-9m4 4.B 5.D 6.(1)12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 6 (2)204 【中考热身】 1.D 2.D 3.A 4.B 5.解:(2x-1)2-2(3-2x) =4x2-4x+1-6+4x =4x2-5 当x=-2时,原式=4×(-2)2-5=11. 第4章 因式分解 【基础过关】 一、1.12mn 2.x(2x+1)(2x-1) 3.-2x2(x2+2) 4.2(x+2)(x-2) 5.(a+4) 6.(4a+4) 7.13 二、8.C 9.C 10.C 11.A 12.B 13.D 14.D 三、15.(1)2mn(4m-1) (2)(4a+3b)(4a-3b) (3)x(x-2y)2 16.(1)400 (2)75 17.(1)36 (2)7850 【综合提升】 1.答案不唯一,如-b2,-4,-9b2 等 2.a2+2ab=a(a+2b) 3.C 4.A 5.B ·9·