重庆市2024-2025学年人教版八年级下册四边形的有关计算填空

四边形的有关计算——填空题 1.（2023-2024长寿八下期末）如图，点是正方形对角线的交点，以为斜边在正方形的内部，连接，如果，则正方形的面积为_______． 2.（2023-2024育才八下期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，若，，则长度为_________________． 3.（2023-2024渝北八下期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，点P为边上一动点（不与点 A、B重合），于点E，于点F，若 ，则的最小值为____． 4.（2023-2024西大附中八下期末）如图，在矩形中，，，平分，交于点E，交延长线于点F，连接，若点M是的中点，点N是的中点，连接，则的长为______． 5.（2023-2024巫山八下期末）如图，菱形的边长为8，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和，交于点G，则的长为_________ 6.（2023-2024万州八下期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为_____． 7.（2023-2024铜梁八下期末）如图，先有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接；当P，A重合时，________________________． 8. 2023-2024沙坪坝八中八下期末）如图，在矩形ABCD中，，对角线，交于点O，将沿直线翻折至矩形ABCD所在平面内，得到，与交于点E，与交于点F，连接，若，则点E到的距离为______． 9.（2023-2024沙坪坝八下期末）如图，在菱形中，对角线交于点，线段上有一点，连接，若，且，则的度数为___． 10. （2023-2024黔江八下期末）如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__． 11.（2023-2024两江新区八下期末）如图，在菱形中，，，点分别是上的动点，且为等边三角形，则面积的最大值为_________． 12.（2023-2024开州八下期末）在矩形中，，，点在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点，连接．若点为的中点，则的面积为__________． 13.（2023-2024重庆实验外国语学校八下期末）如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 14.（2023-2024江津八下期末）如图，四边形中，对角线，，、、分别是、、的中点，若，则______． 15.（2023-2024江津八下期末）. 如图，在菱形中，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，，且为的中点，则菱形的周长为______． 16.（2023-2024重庆一中八下期末）如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为______． 17. （2023-2024八中八下期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上（点不与点，点重合），连接，，且，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则________（用含的代数式表示），的长为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四边形的有关计算——填空题 1.（2023-2024长寿八下期末）如图，点是正方形对角线的交点，以为斜边在正方形的内部，连接，如果，则正方形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定；在上截取，连接，根据、、、四点共圆，推出，证，推出，，得出等腰直角三角形，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：在上截取，连接，设交于点 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得： 即， ， ， 正方形的面积， 故答案为：． 2.（2023-2024育才八下期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，若，，则长度为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，勾股定理，翻折性质，三角形内角和定理等．根据题意利用平行线性质可得，利用勾股定理求得，继而设，则，再中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵平行四边形中， ∴， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴在中：，解得：， ∴， 故答案为：． 3.（2023-2024渝北八下期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，点P为边上一动点（不与点 A、B重合），于点E，于点F，若 ，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等积法求高等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．连接，根据菱形的性质和勾股定理，得出，，，由勾股定理，得出，再证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即有最小值，利用等积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即有最小值， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 4.（2023-2024西大附中八下期末）如图，在矩形中，，，平分，交于点E，交延长线于点F，连接，若点M是的中点，点N是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，作的中点，连接，过点作的垂线段，可得，再证明四边形是矩形，可得，利用勾股定理即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作的中点，连接，过点作的垂线段， 四边形是矩形，平分， ， ， 即三角形 等腰直角三角形， ， 分别是的中点， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 根据勾股定理可得， 故答案为：． 5.（2023-2024巫山八下期末）如图，菱形的边长为8，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和，交于点G，则的长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，,然后证得进而由勾股定理即可得出结论. 【详解】菱形的边长为8，， ，，， F为的中点，H为的中点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在中，由勾股定理得∶ ， 故答案为：． 6.（2023-2024万州八下期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 7.（2023-2024铜梁八下期末）如图，先有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接；当P，A重合时，________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据题意画出图形可推出四边形是菱形，设，则，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 设，则 ∵ ∴ 解得： ∴， ∴ ∴ 故答案为： 8. 2023-2024沙坪坝八中八下期末）如图，在矩形ABCD中，，对角线，交于点O，将沿直线翻折至矩形ABCD所在平面内，得到，与交于点E，与交于点F，连接，若，则点E到的距离为______． 【答案】． 【解析】 【分析】连接，根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，证明△DOC，△AO，△DO，△AOB都是等边三角形，运用等腰三角形三线合一，等边三角形性质，勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接，设与AC的交点为G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°， ∵O∥DC， ∴∠AFO=∠ADC=90°， ∴∠AOF=∠DOF， ∵将沿直线翻折至矩形ABCD所在平面内，得到， ∴∠DOC=∠DOF，O=OC=DO=OA，BC=B， ∴∠AOF=∠DOC=∠DOF=60°， ∴△DOC，△AO，△DO，△AOB都是等边三角形， ∴EG⊥AO，∠BO =∠OB =∠DF=30°，∠OD=60°， ∴∠BD =90°，设D=x，则BD=2x， ∴，解得x=，x=-（舍去）， ∴F= =，G=x=， 设EF=y，则E=2y， ∴，解得y=，y=-（舍去）， ∴E=2y=1， ∴EG=G-E=-1=， 故答案为：． 9.（2023-2024沙坪坝八下期末）如图，在菱形中，对角线交于点，线段上有一点，连接，若，且，则的度数为___． 【答案】50 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后由，得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】∵在菱形中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在菱形中，垂直平分 ∴， ∴ ∴． 故答案为：50． 10. （2023-2024黔江八下期末）如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE＝7﹣1＝6． 【详解】解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G， 由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAG+∠BAF＝45°， 又∵∠BAD＝90°， ∴∠GAF＝45°， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS） ∴EF＝GF， ∵BE＝1，DF＝7， ∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6. 故答案为：6． 11.（2023-2024两江新区八下期末）如图，在菱形中，，，点分别是上的动点，且为等边三角形，则面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作于点G，于点H，证明是等边三角形，，得到，利用等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理解答即可． 【详解】如图，连接，过点C作于点G，于点H， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴； ∴，， ∵ 为等边三角形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 当最小时，最小，取得最大值， 根据垂线段最短，得当与重合时，最小，此时， ∴， 故答案为：． 12.（2023-2024开州八下期末）在矩形中，，，点在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点，连接．若点为的中点，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由三角形面积公式可求的长，再由矩形性质得到，利用三角形面积公代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 点为的中点，， ， 将沿翻折， ，， 在中，， ， ，解得， 在矩形中，，则， 故答案为：． 13.（2023-2024重庆实验外国语学校八下期末）如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的运动路线是解答的关键． 连接，取的中点O，连接，证明是等边三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，证明得到，则点Q在射线上运动，由已知得到，过Q作于M，于N，，则，，利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到， ，在中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，则， 在矩形中，，，， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， 连接并延长交于E， 由旋转性质得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴由得 解得，则 ∴点Q在射线上运动， ∵ ∴， 过Q作于M，于N，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， 由得， 解得，则， ∴， 在中，由得， 整理，得，即， ∴，又， ∴， ∴． 故答案为：． 14.（2023-2024江津八下期末）如图，四边形中，对角线，，、、分别是、、的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理和勾股定理，由分别是的中点，得，， ，，然后证明，再根据勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵分别是的中点， ∴，， ，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15.（2023-2024江津八下期末）. 如图，在菱形中，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，，且为的中点，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和勾股定理，先根据勾股定理计算出，从而得到菱形的边长，即可求出周长． 【详解】解：在直角三角形中， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：26． 16.（2023-2024重庆一中八下期末）如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过B作交延长线于H，，根据正方形的性质、勾股定理可得，再证明可得，进而得到，再说明是等腰直角三角形，即，可求出的值，由此可得的值，再根据，正方形的性质可得，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图：过B作交延长线于H，， ∵正方形中，， ∴，, ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 17. （2023-2024八中八下期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上（点不与点，点重合），连接，，且，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则________（用含的代数式表示），的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据矩形性质和折叠性质得到，，；进而推导出，，过D作于H，利用角平分线的性质得到，证明得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，，， ∵将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，则， 过D作于H，则， ∴，又， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由得， 整理，得， 解得，， 即，， 当时，此时，则点E与A重合， 故不合题意，应舍去； 所以．　 故答案为：5或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$