第2章 7 二次根式-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（北师大版2024）

7 二次根式 1. 二次根式的定义:一般地,我们把形如 a(a≥0)的式子叫二次根式. 2. 判断二次根式有意义的条件:二次根式中的被开方数是非负数. 3. 化简二次根式的步骤:利用积的算术平方根的性质,把被开方数中能开得尽方的因数(或因 式)都开出来;化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指 数2. 4. 最简二次根式:被开方数不含分母;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 5. 二次根式的乘除法 (1) 积的算术平方根性质:a·b= a·b(a≥0,b≥0) (2) 二次根式的乘法法则:a·b= a·b(a≥0,b≥0) (3) 商的算术平方根的性质:a b= a b (a≥0,b>0) (4) 二次根式的除法法则:a b = ab (a≥0,b>0) 6. 同类二次根式的定义:一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相 同,就把这几个二次根式叫同类二次根式. 合并同类二次根式的方法:只合并根式外的因式,即系数相加减,被开方数和根指数不变. 7. 二次根式的加减法法则:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方 数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变. 例1 下列式子属于二次根式的是 ( ) A. 37 B. 1 2 C. 3 D. -7 解析:A. 37的根指数是3,不是2,不是二次根式,故本选项不符合题意;B. 1 2 不是二次根式,故 本选项不符合题意;C. 3是二次根式,故本选项符合题意;D. -7中被开方数-7<0,不是二 次根式,故本选项不符合题意.故选:C. 例2 要使二次根式 x-8有意义,则x的取值范围为 ( ) A. x≠8 B. x>-8 C. x≥8 D. x≤8 解析:根据题意得:x-8≥0,即x≥8.故选:C. 68 例3 当1<a<2时,代数式 (1-a)2+|a-2|的值是 ( ) A. -1 B. 1 C. 2a-3 D. 3-2a 解析:(1-a)2+|a-2|=|1-a|+|a-2|=a-1+2-a=1.故选:B. 例4 能使等式 xx-3= x x-3 成立的条件是 ( ) A. x>0 B. x≥3 C. x≥0 D. x>3 解析:由题意 x≥0 ① x-3>0 ② ,由①得x≥0,由②得x>3,∴不等式组的解集为x>3.故选:D. 例5 计算:26×3 12÷3. 解析:原式=26×322 × 3 3=6×2×3=6. 例6 化简:2-2 2 = . 解析:原式= 2 (2-2) 2·2 =22-22 =2-1. 故答案为:2-1. 例7 若最简二次根式 a+2与最简二次根式 3a是同类二次根式,则a的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. -1 D. 1 解析:由题意,得:a+2=3a,解得a=1.故选:D. 例8 计算:32-3 12+ 1 23+ 27. 解析:原式=42-3× 22+ 3 2+33= 52 2 + 73 2 . 例9 计算:(5+3)(5-3)-(3-1)2. 解析:原式=5-9-(3-23+1)=5-9-3+23-1=-8+23. 例10 先化简,再求值:(x-5)(x+5)+x(x-5),其中x=3. 解析:原式=x2-5+x2-5x=2x2-5x-5;当x=3时,原式=2(3)2-53-5=1-53. 例11 定义:若两个二次根式a,b满足ab=c,且c是有理数,则称a与b是关于c的因子二次根 式. (1) 若a与2是关于4的因子二次根式,则a= . (2) 若3-1与m-3是关于-2的因子二次根式,求m 的值. 解析:(1) 根据题意得,a× 2=4,解得a=22.故答案为:22.(2) 根据题意得,(3-1)× (m-3)=-2,所以m-3=- 2 3-1 =-(3+1),解得m=-1,即m 的值为-1. 78 1. 下列运算正确的是 ( ) A. 4=±2 B. (-4)2=-4 C. 3-8=-2 D. |1-2|=1-2 2. 若 x+3· x-3= x2-9,则x的取值范围是 ( ) A. x≥-3 B. x≥3 C. -3≤x≤3 D. x≥3或x≤-3 3. 下列各式是二次根式的是 ( ) A. -6 B. 312 C. x2-y2 D. x2+9 4. 设实数x=23,则x的整数部分为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若 18与最简二次根式 m+1能合并,则m 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在根式8,x2+y2,0.5,3x2 中,最简二次根式的个数有 ( ) A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 7. 下列计算:①3×5= 15;② 3100= 3 10 ;③32 27 = 23 ;④ 16=4.其中错误的是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则化简 (a-1)2- (a-b)2+b的结果是 ( ) A. 1 B. 2b-1 C. 2a D. 1-2a 9. 比较大小:42 27.(填“>”“<”或“=”) 10. 如果y= 15-x+ x-15+2,那么xy 的值是 . 11. 若最简二次根式2m 3n,3 m+2n-5是同类二次根式,则m-n= . 12. 若m= 2 025 2 026-1 ,则m2-2m-1= . 13. 若最简二次根式a+b3b与 2a+b可以合并,则a= ,b= . 14. 计算: (1) 20×5 (2) 8× 18 (3) 48× 12 88 15. 计算: (1) (3.14-π)2 (2) 52+ (-5)2 (3) (-3)2-(- (-3)2) 16. 计算: (1) 16 x4-2x 1 x ÷3 x (2) (1-2)0+|2-5|+(-1)2 025-13× 45 17. 求 a+4- 9-2a- 1-3a+ -a2的值. 18. 已知二次根式 a+2. (1) 如果该二次根式 a+2=3,求a的值. (2) 已知 a+2为最简二次根式,且与 52 能够合并,求a 的值,并求出这两个二次根式 的积. 98 10. -3 11. 1-5 12. (1) 2-2 (2) 2 (3) ±4 7 二次根式 1. C 2. B 3. D 4. B 5. B 6. A 7. C 8. B 9. > 10. 225 11. 5 12. 2 024 13. 1 1 14. (1) 10 (2) 12 (3) 24 15. (1) π-3.14 (2) 10 (3) 6 16. (1) 2 (2) -2 17. -2 18. (1) a=7 (2) a=8,两个二次根式的积为5. 第四部分 新知测效 暑期学情测评(一) 一、 1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. C 二、 7. 130 8. 24 9. ±6 10. 16或17 11. 3 12. 43 13. 答案不唯一,如∠B=∠C 或AE=AD 14. -2,-4, 0 15. 12 三、 16. 原式=a2-a+3a-3-a2+2a=4a-3 17. 原式=102-1+[4×(-0.25)]2 025×4=100-1+(-1)2 025×4=100-1+(-1)×4=100-1-4=95. 18. 原式=(x2-2xy+y2-x2+y2)÷(-2y)-y=(-2xy+2y2)÷(-2y)-y=(x-y)-y=x-2y.y取 不为零的数即可,如:x=4,y=1时,原式=4-2=2. 19. 答案有多种(如下四种): 20. (1) CF 与AB 位置关系为AB∥CF. 理由如下:∵CF 平分∠DCE,∴∠1=∠2=12∠DCE , ∵∠DCE= 90°,∴∠1=45°,∵∠3=45°,∴∠1=∠3,∴AB∥CF. (2) ∵∠D=30°,∠1=45°,∴∠DFC=180°-30°-45°=105°. 21. (1) 8.4 11.8 15.2 (2) y=5n-2×(n-1)×0.8,即y=3.4n+1.6. (3) 由题意得,3.4n+1.6= 41