第1章 3 勾股定理的应用-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（北师大版2024）

3 勾股定理的应用 1. 勾股定理逆定理 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考 的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 2. 平面展开图—最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下: 圆柱 阶梯问题 甲 乙 丙 长方体 基本思路:将立体图形展开成平面图形,利用两点之间线段最短确定最短路线,构造直角三角 形,利用勾股定理求解. 例1 如图,一架长2.5 m的梯子AB 斜靠在墙AC 上,∠C=90°,此时梯子 的底端B 离墙底C 的距离BC 为0.7 m. (1) 求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC. (2) 如果梯子的顶端A 下滑了0.9 m,那么梯子的底端B 在水平方向上向 右滑动了多远? 解析:(1) ∵∠C=90°,AB=2.5,BC=0.7,∴AC2=AB2-BC2=2.52-0.72=5.76,AC=2.4, 所以此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米.(2) ∵梯子的顶端A 下滑了0.9米至点A', ∴A'C=AC-A'A=2.4-0.9=1.5,在Rt△A'CB'中,由勾股定理得:A'C2+B'C2=A'B'2,即 1.52+B'C2=2.52,∴B'C=2,∴BB'=CB'-BC=2-0.7=1.3,所以梯子的底端B 在水平方 向向右滑动了1.3 m. 例2 如图,有一艘货船和一艘客船同时从港口A 出发,客船每小时比货船多走5海里,客船与 货船速度的比为4∶3,货船沿东偏南10°方向航行,2小时后货船到达B 处,客船到达C 处,若此 17 时两船相距50海里. (1) 求两船的速度分别是多少. (2) 求客船航行的方向. 解析:(1) 设两船的速度分别是4x海里/时和3x海里/时,依题意得,4x-3x= 5.解得x=5,∴4x=20,3x=15,∴两船的速度分别是20海里/时和15海里/ 时.(2) 由题意可得,AB=15×2=30,AC=20×2=40,BC=50,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°,又∵货船沿东偏南10°方向航行,∴客船航行的方向为北偏东10° 方向. 1. 如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵树高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另 一棵树的树梢,小鸟至少飞行 ( ) A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 (第1题) (第2题) 2. 如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少要 ( ) A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 3. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 1.5米,则小巷的宽度为 ( ) A. 2.7米 B. 2.5米 C. 2米 D. 1.8米 (第3题) (第4题) 4. 如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16 cm,在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿4 cm的点A 处,若蚂 蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20 cm,则该圆柱底面周长为 ( ) A. 12 cm B. 14 cm C. 20 cm D. 24 cm 27 6. 2 s或258 s 7. (1) 略 (2) 240 8. 36 cm2 9. 这个零件符合要求 3 勾股定理的应用 1. B 2. D 3. A 4. D 第二章 实数 1 认识无理数 1. C 2. A 3. B 4. 是 5. -47π 6. 1 7. 1 8. (1) -1 2 (2) 15 2 平方根 1. D 2. C 3. C 4. 3 5. -1 6. 0和1 7. -35 8. 1.01 9. (1) x1= 7 5 x2=- 7 5 (2) x1=4 x2=-6 10. (1) -2 3 (2) x=-1 m=16 11. (1) 49 (2) ±2 12. (1) m=-2 n=4 (2) ±4 3 立方根 1. C 2. C 3. D 4. C 5. C 6. -1 7. 2 ±3 -3 8. -32 9. -2 026 -2 026 10. x=-1 11. 2 12. 20 3 13. (1) x=1 y=12 (2) ±6 14. (1) 6 cm (2) 440 cm2 4 估算 5 用计算器开方 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A 6. A 7. B 8. 4 9. 6- 10 10. < 11. ±3 16. (1) -11 (2) ±6 6 实数 1. A 2. A 3. A 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C 9. C 31