第1章 1 探索勾股定理-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（北师大版2024）

1 探索勾股定理 1. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,如图. 直角三角形ABC 的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 2. 勾股定理证明 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. S正方形ABCD=(a+b)2=c2+4× 1 2ab ,所以a2+b2=c2. 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. S正方形ABCD=c2=(b-a)2+4× 1 2ab ,所以c2=a2=b2. 方法三:如图所示,将两个直角三角形拼成直角梯形. S梯形ABCD= (a+b)(a+b) 2 =2× 1 2ab+ 1 2c 2,所以a2+b2=c2. 56 例1 直角三角形两条直角边分别为4和3,则斜边长为 ( ) A. 4 B. 5 C. 7 D. 4或5 解析:∵两条直角边的长分别为4和3,42+32=25=52,∴斜边=5.故选:B. 例2 如图,在Rt△ABC 中,AB=8,AC=6,∠CAB=90°,AD⊥BC,那么AD 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.8 解析:在Rt△ABC 中,AB=8,AC=6,∠CAB=90°,∴BC2=AC2+AB2=100,∴BC=10, 又∵S△ABC= 1 2AC ·AB=12BC ·AD,∴6×8=10AD,∴AD=4.8.故选:D. 1. 一直角三角形两直角边长分别为12和5,则斜边长为 ( ) A. 12 B. 13 C. 13或17 D. 17 2. 已知Rt△ABC 中,∠C=90°,若a+b=14 cm,c=10 cm,则Rt△ABC 的面积是 ( ) A. 24 cm2 B. 36 cm2 C. 48 cm2 D. 60 cm2 3. 如图,△ABC 的顶点A,B,C 在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC 于点D,则BD 的 长为 ( ) A. 5 B. 3 5 C. 12 5 D. 4 5 (第3题) (第4题) 4. 如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=9,S3=8,S4= 10,则S= ( ) A. 25 B. 31 C. 32 D. 40 66 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是 ( ) A B C D 6. 对于任意一个直角三角形,都有两条直角边的平方和等于斜边的平方. (如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则有a2+b2=c2.) (1) 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12,求其斜边长. (2) 如果一个直角三角形的一条直角边长为7,斜边长为25,求另一条直角边长. 7. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,交 BC 于点E,求CE 的长. 8. 如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,CD⊥AB,且CD=4,BD=3. (1) 求AD 的长. (2) 求△ABC 的面积. 76 专项训练(六) 新题型 1. 1 2. (1) 6 6 E=V+F-2 (2) 12 (3) V=24,E=(24×3)÷2=36, F=x+y,由E=V+F-2得36=24+x+y-2,所以x+y=14. 3. 7 16 2+2+3+4+…+(n-1)+n=n 2+n+2 2 4. ∠BOC=90°+12α 5. 当P 在△ABC 内时,h1+h2+h3=h.理由如下:S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC,∴ BC·AM 2 = AB·PD 2 +AC ·PE 2 + BC·PF 2 = BC·(PD+PE+PF) 2 ,∴ AM=PD+PE+PF,即h=h1+h2+h3.当P 在 △ABC 外时,h=h1+h2-h3. 6. (1) 13 (2) S=4n-3 7. (1) 第n层上的点数为6(n-1)(n≥2) (2) n层六边形点阵的总点数为3n(n-1)+1 (3) 令3n(n-1)+1=169,得n=8.所以它一共有8层. 8. (1) 因为x2= x1+x3 2 ,所以x3=2x2-x1=2×4-1=7.同理:x4=10,x5=13. (2) 猜想得:xk=3k-2.所以x2 025=3×2 025-2=6 073. 第三部分 探究先飞 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 1. B 2. A 3. C 4. B 5. D 6. (1) 15 (2) 24 7. 7 8 8. (1) 7 6 (2) 25 3 2 一定是直角三角形吗 1. B 2. C 3. B 4. C 5. 24 21