专项训练(6)新题型-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（北师大版2024）

专项训练(六) 新题型 1. 符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下: ①f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…… ②f 1 2 =2,f 13 =3,f 14 =4,f 15 =5,…… 利用以上规律计算:f 1 2 026 -f(2 026). 2. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个 有趣的关系式,称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题: (1) 根据上面多面体模型,完成表格中的空格. 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 . (2) 一个多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,则这个多面体的面数是 . (3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而 成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表三角形的个数为x个,八边 形的个数为y个,求x+y的值. 26 3. 一条直线将平面分成两部分,两条直线将平面最多分成四部分,那么三条直线将平面最多分 成几部分? 五条直线将平面最多分成几部分?n条直线呢? 在下面画图,探索其中的规律. 4. 如图,△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线BD,CE 相交于点O,∠A=α,试探究∠BOC 与 α之间的关系. 5. 已知等边△ABC 和点P,设点P 到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC 的高为h.如图,若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论:h1+h2+h3=h.请解决下 列问题: 当点P 在△ABC 内(如图2),点P 在△ABC 外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成 立? 若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间又有怎样的关系? 请写出你的猜想, 不需证明. 36 6. 图1是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图2,再分别连接图2中间小三角形 三边的中点,得到图3,依次类推. (1) 当n=4时,S= . (2) 请按此规律写出用n表示S的公式. 7. 如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点(算第一层),第二层每边有两个点,第三 层每边有三个点,依次类推. (1) 试写出第n层所对应的点数. (2) 试写出n层六边形点阵的总点数. (3) 如果一个六边形点阵共有169个点,那么它一共有几层? 8. 有一列数,第一个数x1=1,第二个数x2=4,第三个数记为x3,以后依次记为x4,x5,…,xn, 从第二个数开始,每个数是它相邻两个数的和的一半 如x2=x1+x32 . (1) 求第三、四、五个数,并写出计算过程. (2) 探索这一列数的规律,猜想第k个数xk 等于什么(k是大于2的整数),并由此算出x2 025 等于多少? 46 专项训练(六) 新题型 1. 1 2. (1) 6 6 E=V+F-2 (2) 12 (3) V=24,E=(24×3)÷2=36, F=x+y,由E=V+F-2得36=24+x+y-2,所以x+y=14. 3. 7 16 2+2+3+4+…+(n-1)+n=n 2+n+2 2 4. ∠BOC=90°+12α 5. 当P 在△ABC 内时,h1+h2+h3=h.理由如下:S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC,∴ BC·AM 2 = AB·PD 2 +AC ·PE 2 + BC·PF 2 = BC·(PD+PE+PF) 2 ,∴ AM=PD+PE+PF,即h=h1+h2+h3.当P 在 △ABC 外时,h=h1+h2-h3. 6. (1) 13 (2) S=4n-3 7. (1) 第n层上的点数为6(n-1)(n≥2) (2) n层六边形点阵的总点数为3n(n-1)+1 (3) 令3n(n-1)+1=169,得n=8.所以它一共有8层. 8. (1) 因为x2= x1+x3 2 ,所以x3=2x2-x1=2×4-1=7.同理:x4=10,x5=13. (2) 猜想得:xk=3k-2.所以x2 025=3×2 025-2=6 073. 第三部分 探究先飞 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 1. B 2. A 3. C 4. B 5. D 6. (1) 15 (2) 24 7. 7 8 8. (1) 7 6 (2) 25 3 2 一定是直角三角形吗 1. B 2. C 3. B 4. C 5. 24 21