1.5 等腰三角形-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（苏科版2024）

1.5 等腰三角形 1. 等腰三角形 (1) 有两条边相等的三角形叫等腰三角形. (2) 相等的两条边叫腰,另一边叫底. (3) 两个相等的角叫底角.即底边与腰的夹角.两腰所夹的角叫顶角. 2. 等腰三角形的性质 (1) 性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). (2) 性质2:等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”). (3) 等腰三角形的性质的作用 性质1用来证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据. 性质2用来证明线段相等、角相等、垂直关系等. 3. 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 4. 等边三角形:三边都相等的三角形叫等边三角形. 5. 等边三角形的性质:等边三角形的各角都等于60°. 6. 等边三角形的判定 (1) 三个角都相等的三角形是等边三角形. (2) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. (3) 三边都相等的三角形是等边三角形. (3) 有两个角是60°的三角形是等边三角形. 7. 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半. 8. 直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例1 等腰三角形的周长是18 cm,其中一边长为4 cm,其他两边长分别为 ( ) A. 4 cm,10 cm B. 7 cm,7 cm C. 4 cm,10 cm或7 cm D. 无法确定 解析:∵等腰三角形的周长是18 cm,其中一边长为4 cm,∴①另一边的长为4 cm,∴第三边的长 为18-4-4=10,∵4+4<10,不能构成三角形,不符合题意,舍去;②等腰三角形另外两边的长 相等,且为(18-4)÷2=7,即边长分别为4 cm,7 cm,7 cm,∵7-4<7<7+4,能构成等腰三角 形,符合题意;综上所述,等腰三角形另外两边长分别为7 cm,7 cm.故选:B. 77 例2 已知△AEC≌△ADB,若∠A=50°,∠ABD=40°,则∠1的度数为 ( ) A. 40° B. 25° C. 15° D. 无法确定 解析:∵△AEC≌△ADB,∴AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠A=50°,∴∠ABC=∠ACB= 180°-∠A 2 =65° ,∵∠ABD=40°,∴∠1=∠ABC-∠ABD=65°-40°=25°.故选:B. 1. 已知等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角为 ( ) A. 50° B. 65° C. 80° D. 50°或80° 2. 已知实数x,y满足 x-2+ y-4=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ( ) A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,BD=4,则BC= ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 (第3题) (第5题) 4. 若一等腰三角形周长为16,则该等腰三角形的腰长x的取值范围是 ( ) A. 0<x<16 B. 0<x<8 C. 2<x<8 D. 4<x<8 5. 如图,一棵树在一次强台风中,从离地面6 m处折断,倒下的部分与地面成30°角,这棵树在折 断前的高度是 ( ) A. 10 m B. 15 m C. 18 m D. 20 m 6. △ABC 中,①若AB=BC=CA,则△ABC 是等边三角形;②一个底角为60°的等腰三角形是 等边三角形;③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形;④有两个角都是60°的三角形是等边 三角形. 上述结论中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 若一个等腰三角形两边长分别为6 cm和3 cm,则它的周长为 . 8. 若等腰三角形的一个角是100°,则它的一个底角是 . 9. 如图,△ABP 的顶点均在正方形网格的格点上,则∠PAB+∠PBA= . 87 (第9题) (第10题) (第11题) 10. 如图,点P 是等边△ABC 内一点,∠ACP=∠PBC,∠BPC= °. 11. 如图,在△ABC中,AC=BC,AD⊥BC于点D,若∠C=40°,则∠BAD 的度数为 °. 12. 如图,在△ABC 中,点D 在AC 上,且BD=BC=AD,∠DBC=24°,求∠A 的度数. 13. 如图,AD=BC,AC 与BD 相交于点E,且AC=BD,求证:△ABE 是等腰三角形. 14. 如图,△ABC 为等边三角形,点E,D 分别为AB,AC 上一点,且BE=AD,CE,BD 相交于 点O,求∠EOB 的度数. 97 11. (1)∵BE⊥AD,∴∠EBD=90°,∵△ACF≌ △DBE,∴∠FCA=∠EBD=90°,∴∠A=90° -∠F=28°. (2)∵△ACF≌△DBE,∴CA=BD,∴CA- CB=BD-BC,即AB=CD,∵AD=9 cm,BC =5 cm,∴AB+CD=9-5=4 cm,∴AB= 2 cm. 1.3 全等三角形的判定 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. OC=OD(答案不唯一) 10. ASA(或角边角) 11. 80 12. ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB= ED,在 △ABC 和 △EDF 中, AB=ED ∠A=∠E AC=EF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∴△ABC≌△EDF(SAS). 13. (1)∵DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E, ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C, ∴AD∥BC. (2)∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即 AF=CE,在△AFD 和△CEB 中, ∠A=∠C ∠D=∠B AF=CE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∴△AFD≌△CEB(AAS). 14. ∵∠A=∠B=90°,∴△ADE 和△BEC 均为直 角三 角 形,在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中, ∵ DE=EC AE=BC ,∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 1.4 线段垂直平分线与角平分线 1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. 1 8. 7 9. 40° 10. ∵AC=12,∴AD+CD=12,∵DE 是AB 的垂 直平分线,∴AD=BD,∴BD+CD=12,∵BC =7,∴△BCD 的周长=BC+BD+CD=19. 11. ∵AD 垂直平分BC,∴BD=DC,AB=AC. 又 ∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE. 又∵DE =DC+CE,∴AC=CE. ∴点C 在线段AE 的 垂直平分线上. 12. (1)∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠BAC=180°- ∠B-∠C=180°-50°-70°=60°,∵AD 是 △ABC 的角平分线,∴∠BAD=12∠BAC= 1 2 ×60°=30°,∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°,∴ ∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA=180°-30° -90°=60°. (2)如图,过 D 作DF⊥AC 于F,∵AD 是 △ABC 的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE= 3,又∵AB=10,AC=8,∴S△ABC= 1 2×AB× DE+12×AC×DF= 1 2×10×3+ 1 2×8×3 =27. 1.5 等腰三角形 1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. 15 cm 8. 40° 9. 45° 10. 120° 11. 20 12. ∵BD=BC,∠DBC=24°,∴∠BDC=∠C= 180°-24° 2 =78° ,∵AD=BD,∴∠A=∠ABD, ∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠A=12∠BDC =39°. 13. 在 △ABC 和 △BAD 中, AB=BA AC=BD BC=AD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 ∴△ABC≌ △BAD (SSS), ∴ ∠CAB = ∠DBA, ∴AE=BE,即 △ABE 是等腰三 角形. 14. ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC,∠BAD = ∠CBA =60°,在 △ABD 和 △BCE 中, AB=BC ∠BAD=∠ABC AD=BE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴ ∠ABD = ∠BCE,∴ ∠BOE = ∠BCE + ∠CBD=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°. 第2章 实数的初步认识 2.1 平方根 1. A 2. B 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. C 9. ± 19 10. 5 11. 1 7 12. 0.5 13. -4 14. (1)略 (2)1 15. ∵y= x-2+3 2-x+8,x-2≥0,2-x ≥0,∴x=2,∴y= x-2+3 2-x+8=0+ 0+8=8,则xy=2×8=16,∴16的平方根是 ±4. 2.2 立方根 1. D 2. A 3. B 4. D 5. B 6. C 7. C 8. -0.5 9. -3 10. 7 11. 4 12. -1 13. 16 14. 4 15. -0.1542 16. (1)正数x的两个平方根分别为2-m 和3m+ 4,则2-m+3m+4=0,解得m=-3. (2)∵m=-3,∴2-m=5,则正数x 为25,89 -x=89-25=64,64的立方根为4. 17. ∵3是2a-1的一个平方根,∴2a-1=32=9, ∴a=5.∵3是3a+b+10的立方根,∴3a+b +10=33=27,∴b=2,∴a+b=7,∴a+b的平 方根是±7. 2.3 实数 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. A 7. B 8. C 9. 3 10. 2 11. 7 12. < 13. (-1,-2) 14. (1)9+3-27=3-3=0 (2)(3) 2 - 3 -43+1=3-(-4)+1=8 15. 有理数集合: 1 3 ,3.14,-24,0,(-5)2,38… ; 无理数集合: -3,-π,-1.010010001…,… ; 正实数集合:1 3 ,3.14,(-5)2,38,… ; 负实数集合: -3,-π,-24,-1.010010001…,… . 16. ∵2a-1的平方根为±3,3a-b-1的立方根为 2,∴2a-1=9,3a-b-1=8,解得:a=5,b=6, ∵9<13<16,∵3< 13<4,∴ 13的整数部分 为3,即c=3,∴2a+3b-c=10+18-3=25, 而25的平方根为± 25=±5,∴2a+3b-c的 平方根是±5. 2.4 近似值 1. C 2. D 3. C 4. C 5. B 6. C 7. D 8. A 9. C 10. B 11. 5 12. 万分 13. 百分 14. (1)3 (2)4- 11 15. 10.90 16. ①③ 17. (1)5.1499×106 m (2)3.7×102 cm (3)3.3×104 km3 18. 3.86×105km 19. (1)精确到百分位 (2)精确到万分位 (3)精确 到千位 (4)精确到万位 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41