1.4 线段垂直平分线与角平分线-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（苏科版2024）

1.4 线段垂直平分线与角平分线 1. 线段垂直平分线性质 (1) 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. (2) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2. 角平分线的性质 (1) 角平分线上的点到角两端的距离相等. (2) 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. (3) 注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段 相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直角 平分线的性质语言. 例1 如图,△ABC 中,∠B=50°,∠C=20°,AB 的垂直平分线 分别交AB,BC 于点D,E,AC 的垂直平分线分别交AC,BC 于 点F,G,连接AE,则∠EAG= . 解析:∵DE 垂直平分AB,∴EA=EB,∴∠EAB=∠EBA= 50°,同理∠GAC=∠GCA=20°,∴∠GAC+∠EAB=20°+50°=70°,∵∠B=50°,∠C=20°,∴ ∠BAC=180°-50°-20°=110°,∴∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)=110°-70°=40°.故 答案为:40°. 例2 如图所示,△ABC 中,AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F.下面给出四个结论:①AD 平分∠EDF;②AE=AF; ③AD 上的点到B,C 两点的距离相等;④到AE,AF 距离相等的点,到DE, DF 的距离也相等. 其中正确的结论有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析:由AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC 可得DE=DF,由此易得△ADE≌△ADF,故 ∠ADE=∠ADF,即①AD 平分∠EDF 正确;②AE=AF 正确;∵AB=AC,AD 是∠BAC 的 平分线,∴AD⊥BC,BD=DC,∴AD 上的点到B,C 两点的距离相等,故③正确;∴④到AE, AF 距离相等的点,到DE,DF 的距离也相等,正确.故选:D. 例3 在△ABC 中,点O 是△ABC 内一点,且点O 到△ABC 三边的距离 相等. 若∠A=40°,则∠BOC 的度数为 ( ) A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 47 解析:因为O 到三角形三边的距离相等,所以O 是内心,即三条角平分线的交点,AO,BO,CO 都 是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=12∠ABC ,∠BCO=∠ACO=12∠ACB ,∠ABC+ ∠ACB=180°-40°=140°,∠OBC+∠OCB=70°,∠BOC=180°-70°=110°.故选:A. 1. 如图,直线CD 是线段AB 的垂直平分线,P 为直线CD 上的一点,已知线段PA=6,则线段 PB 的长度为 ( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 (第1题) (第3题) (第4题) 2. 如图所示图形中,若PE=PF,能判断点P 在∠EOF 的平分线上的是 ( ) A. B. C. D. 3. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,若AC=9,DC=13AC ,BD 平分∠ABC,则点D 到AB 的距离 等于 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠CBA=56°,按以下步骤作图:①以B 为圆心,任意长为 半径作弧,分别交BA,BC 于M,N 两点;②分别以M,N 为圆心,以大于12MN 的长为半径 作弧,两弧相交于点P;③作射线BP,交边AC 于点D. ∠BDC 的度数是 ( ) A. 34° B. 56° C. 62° D. 124° 5. 如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的垂直平分线交BC 于点E,交BD 于点F,连接CF. 若∠A=50°,∠ABD=26°,则∠ACF 的度数为 ( ) A. 66° B. 52° C. 46° D. 42° (第5题) (第6题) 57 6. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D,若AB=8,△ABD 的面积 为16,则CD 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高线,∠ABC 的平分线交CD 于E,当BC=4,△BCE 的面积为2时,DE 的长为 . (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图,在△ABC 中,分别以点A 和点B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧相交于点 M,N,作直线MN,交BC 于点D,交AB 于点E,连接AD . 若AC 的长为3 cm,△ACD 的 周长是10 cm,则BC 的长为 cm. 9. 如图,在△ABC 中,AB,AC 的垂直平分线分别交BC 于D,E 两点,并且相交于点F,且 ∠DFE=70°,则∠DAE 的度数是 . 10. 如图,若AC=12,BC=7,AB 的垂直平分线交AB 于E,交AC 于D,求△BCD 的周长. 11. 在△ABC 中,AD 垂直平分BC,点E 在BC 的延长线上,且满足AB+BD=DE.求证:点C 在线段AE 垂直平分线上. 12. △ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点E. (1) ∠B=50°,∠C=70°,求∠EDA 的度数. (2) AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC. 67 11. (1)∵BE⊥AD,∴∠EBD=90°,∵△ACF≌ △DBE,∴∠FCA=∠EBD=90°,∴∠A=90° -∠F=28°. (2)∵△ACF≌△DBE,∴CA=BD,∴CA- CB=BD-BC,即AB=CD,∵AD=9 cm,BC =5 cm,∴AB+CD=9-5=4 cm,∴AB= 2 cm. 1.3 全等三角形的判定 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. OC=OD(答案不唯一) 10. ASA(或角边角) 11. 80 12. ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB= ED,在 △ABC 和 △EDF 中, AB=ED ∠A=∠E AC=EF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∴△ABC≌△EDF(SAS). 13. (1)∵DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E, ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C, ∴AD∥BC. (2)∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即 AF=CE,在△AFD 和△CEB 中, ∠A=∠C ∠D=∠B AF=CE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∴△AFD≌△CEB(AAS). 14. ∵∠A=∠B=90°,∴△ADE 和△BEC 均为直 角三 角 形,在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中, ∵ DE=EC AE=BC ,∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 1.4 线段垂直平分线与角平分线 1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. 1 8. 7 9. 40° 10. ∵AC=12,∴AD+CD=12,∵DE 是AB 的垂 直平分线,∴AD=BD,∴BD+CD=12,∵BC =7,∴△BCD 的周长=BC+BD+CD=19. 11. ∵AD 垂直平分BC,∴BD=DC,AB=AC. 又 ∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE. 又∵DE =DC+CE,∴AC=CE. ∴点C 在线段AE 的 垂直平分线上. 12. (1)∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠BAC=180°- ∠B-∠C=180°-50°-70°=60°,∵AD 是 △ABC 的角平分线,∴∠BAD=12∠BAC= 1 2 ×60°=30°,∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°,∴ ∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA=180°-30° -90°=60°. (2)如图,过 D 作DF⊥AC 于F,∵AD 是 △ABC 的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE= 3,又∵AB=10,AC=8,∴S△ABC= 1 2×AB× DE+12×AC×DF= 1 2×10×3+ 1 2×8×3 =27. 1.5 等腰三角形 1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. 15 cm 8. 40° 9. 45° 10. 120° 11. 20 12. ∵BD=BC,∠DBC=24°,∴∠BDC=∠C= 180°-24° 2 =78° ,∵AD=BD,∴∠A=∠ABD, ∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠A=12∠BDC =39°. 13. 在 △ABC 和 △BAD 中, AB=BA AC=BD BC=AD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31