第六章平行四边形（单元测试）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第六章平行四边形（单元测试）2024-2025学年八年级下册数学北师大版 一、单选题 1．将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，AE为折痕，已知AB＝6，BC＝10，则BF的长为（    ） A．6 B．8 C． D． 3．如图，在正方形ABCD中，等边的顶点E，F分别在边BC和CD上，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形纸片中，把沿直线折叠，使得点落在边上的点处．已知与的度数之比为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（    ） A．28 B．14 C．10 D．7 6．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，矩形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，矩形ABCD的周长为10，对角线AC为，则图中阴影部分的面积为(   ) A．6 B．5 C．3 D．10 8．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 9．如图，平行四边形中，E，F分别是边的中点，连接，，若四边形是矩形，则 的值为（     ） A．1 B． C．     D． 10．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30度内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为26cm2，四边形ABCD面积是19cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） A．96cm B．64cm C．48cm D．36cm 11．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折叠分别交，于，，连接，下列结论：①②③④四边形是菱形，正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 13．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 14．如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ． 15．如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 16．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在的点处，折痕交点，第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， ． 17．如图，在长方形ABCD中，点P为AD上一个动点，沿PB将△ABP折叠得到ΔEBP，点A的对称点为点E，射线BE交长方形ABCD的边于点F，若AB＝4，AD＝6，直线BE过AD的中点F时，AP的长为 ． 18．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则 ．    19．如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接． （1）四边形的形状是 ； （2）线段的最小值为 ． 20．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则PQE的周长的最小值是 ． 三、解答题 21．如图，在▱ABCD中，已知AB=4cm，BC=9cm，∠B=30°，求▱ABCD的面积． 22．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法如图1： 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开如图1． 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段如图2． （1）求的度数； （2）通过以上折纸操作，还得到了一些不同角度的角，请写出除以外的两个角及它们的度数； （3）请你继续折出15°大小的角，说出折纸步骤及得到的15°角． 23．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 24．如图，正方形和正方形有公共顶点D． (1)如图1，连接和，直接写出和的数量及位置关系 ； (2)如图2，连接，M为中点，连接、，探究、的数量及位置关系，并说明理由； 25．如图1，在▱ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE， （1）若AB=2，AE=4，求BE的长； （2）如图2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB=AM． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据折叠前后的两个图形能够完全重合，再结合平角等于180°求出∠AED的度数，然后求出∠AEC 的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：由题意可得△ ADE≌△AD E ， ∴∠AED = ∠AED， ∵∠CED =60°， ∴∠AED=(180°-60°)=60°， ∴∠AEC =∠AED+ ∠CED =60°+60°=120° ∵矩形 ABCD， ∴AB // CD， ∴∠EAB =180°- ∠AEC =180°-120°=60°． .故选： B ． 【点睛】本题考查了角度的计算，矩形的对边平行，以及折叠的性质，根据折叠前后的两个图形能够完全重合得到∠AED = ∠AED 是解决本题的关键． 2．B 【分析】根据折叠的性质，AF=AD=10，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求出BF． 【详解】解：根据题意，AF=AD=10， ∴， 故选 B 【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，解题的关键理解是折叠前后的对应的线段相等． 3．C 【分析】根据题意直接证明，进而得，可知，结合等边三角形的条件，即可求得． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在和中 ， （HL）， ， ， ， 又， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了HL证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键． 4．C 【分析】根据矩形的性质得到，由折叠得，设，则，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形与折叠，熟记矩形的性质是解题的关键． 5．B 【分析】首先根据D，E，F分别是，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：D，E，F分别是，，的中点， 、分别是的中位线， ，且，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 7．C 【分析】过点B作BG⊥AC于点G，证明四边形AEBG和四边形BGCF为矩形，得出图中阴影部分的面积为Rt△ABC的面积，求出Rt△ABC的面积即可． 【详解】解：过点B作BG⊥AC于点G，如图， ∴ ∵四边形AEFC是矩形， ∴ ∴四边形AEBG和四边形BGCF为矩形， ∴ ∴ ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∴① 又 ∴②， 由①②得或 ∴ ∴图中阴影部分的面积为3 故选：C 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正确作出辅助线构造矩形是解答本题的关键． 8．A 【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解． 【详解】∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，连接，由矩形的性质和直角三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则． 【详解】解析：连接， ∵ 四边形是矩形， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：B． 10．B 【分析】先根据平行四边形对角线平分面积，并结合已知条件，求出平行四边形⑤的面积，然后求出菱形EFGH的面积，再利用30度内角，作出高线，设出菱形边长，表示出面积，列出方程，从而找到菱形边长，再结合平行四边形对边相等的性质即可求出结果． 【详解】解：作GM⊥EF于点M，如图所示： 由题意得：=6cm2， ∴=26+6=32cm2， 又∵∠F=30°， 设菱形的边长为x，则菱形的高为：GM=GF=x， 根据菱形的面积公式得：， 解得：x =8， ∴菱形的边长为8cm， 而①②③④四个平行四边形周长的总和为 2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE） =2（EF+FG+GH+HE） =64cm． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质平行四边形的性质、平行四边形面积以及周长的计算；此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用． 11．C 【分析】先说明四边形OCDE是矩形，然后运用菱形的性质逐项排除即可完成解答. 【详解】解：∵菱形 ∴AB=BC=CE=AE,AC⊥BE,OE=BE 又∵， ∴四边形OCDE是矩形 ∴OD=CE,OE=CD ∴OD=AB=AE,OB=CD 故A、B选项正确； 又∵ ∴四边形OBCD是平行四边形 ∴OD∥BC 所以D正确； 又OD=CE与BE没有直接关系，所以C错误； 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，灵活掌握菱形、矩形的性质和判定是解答本题的关键. 12．C 【分析】由四边形是正方形和折叠性质得出，，再由三角形的内角和求出．故①正确；由四边形是正方形和折叠性质，判断出四边形是平行四边形，再由，得出四边形是菱形．利用的直角三角形，由勾股定理得出，，得出，故②④正确；由四边形是正方形和折叠性质，得到，所以，故③错误． 【详解】解：由四边形是正方形和折叠性质得出，， ， 故①正确； 由四边形是正方形和折叠性质得出，，，， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 在中，，在中，， ， 故②④正确． 由四边形是正方形和折叠性质知，，，， 在和中， ， ， 故③错误． 综上可知，①②④正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握图形折叠前后对应边相等、对应角相等． 13．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 14． 【分析】本题考查了菱形的性质，两点的中点坐标，根据菱形的性质可得A、C关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：菱形的对角线交于坐标原点，点， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 16．7 【分析】先把图补全，由折叠得：，，，证明是的中位线，得，即可得到答案． 【详解】解：把图补全如图所示： 由折叠得：，，， ， ， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键． 17． 【分析】根据已知条件得到，根据勾股定理可得到，由翻折可知，设，则，，根据勾股定理即可得解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 翻折可知， 设，则，， 在中，， 即， ∴，即的长为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，准确计算是解题的关键． 18．/ 【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握“一线三等角”模型的应用是解题的关键． 19． 矩形/长方形 【分析】（1）先证，再由即可解答； （2）如图：连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接， ∵，， ∴， 由（1）知：， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：矩形，． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键． 20． 【分析】分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN，根据对称性质得到PM=PE，QN=QE，则PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN，根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时PQE的周长最小，最小值为MN的长，连接EM交AB延长线于H，过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质等知识分别求解GN、GM，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN， 由对称性质得：PM=PE，QN=QE， 则PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN， 根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时，PQE的周长最小，最小值为MN的长， 连接EM交AB延长线于H，则ME⊥AB于H， 过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，连接BD、NE，则NE⊥AD， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=12， ∴AB=BC=CD=12，AD∥BC，AB∥CD，∠C=∠BAD=60°， ∴△BCD是等边三角形，∠EBH=∠DAB=60°， ∵点E为BC在中点， ∴CE=BE=BC=6，DE⊥BC， ∵AD∥BC， ∴DE⊥AD，又 NE⊥AD， ∴点D在线段NE上， 在Rt△CDE中，∠C=60°， ∴，∠CDE=90°－∠C=30°， ∴NE=2DE= ， ∵AB∥CD，NG⊥ME，ME⊥AB， ∴NG∥AB∥CD， ∴∠GNE=∠CDE=30°， ∴在Rt△NGE中，GE=NE=， ∴， 在Rt△BHE中，∠BEH=90°－∠EBH=90°－60°=30°，BE=6， ∴BH=BE=3， ∴， ∴EM=2EH=， ∴GM=GE+EM=， ∴在Rt△MGN中，， 即PQE的周长的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查最短路径问题，涉及两点之间线段最短、对称性质、菱形的性质、等边三角形的判断与性质、勾股定理、平行线的判断与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，作为一道填空题，难度偏大，解答的关键是认真分析，灵活运用相关知识解决问题． 21． 【分析】过点作AE⊥BC于点E，直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，可求AE的长，再利用平行四边形的面积公式得出即可． 【详解】解：过点作AE⊥BC于点E， ∵∠B=30°，AB=4cm， ∴AE=AB=2cm， ∴▱ABCD的面积为：AE×BC=2×9=18（cm2）． 【点睛】本题主要考查了平行四边的性质以及含30度的直角三角形的性质，正确得出AE的长是解题关键． 22．（1）30°；（2）还得到了∠BMN＝60°，∠AMN＝120°；（3）见详解 【分析】（1）连接AN，易证△ABN为等边三角形，由等边三角形的性质以及矩形的性质即可求出∠NBC的度数； （2）利用互余得到∠BMN＝60°，根据折叠性质易得∠AMN＝120°； （3）把30度的角对折即可折出15°大小的角． 【详解】（1）解：由折叠性质可得，AB＝NB，EF垂直平分AB，如图1， 连接AN，则NA＝NB， ∴AB＝NB＝NA， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠NBC＝∠ABC−∠ABN＝30°； （2）通过以上折纸操作，还得到了∠BMN＝60°，∠AMN＝120°等； （3）如图所示： 再一次折叠纸片，使点A落在BM上，并使折痕经过点B，得到折痕BH，则∠ABH＝15°． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和等边三角形的判定及其性质． 23．（1）见详解；（2）5 【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4， ∴BC＝5， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 24．(1)，； (2)且，理由 【分析】（1）如图，延长交于，交于Q，证明，可得到和的关系； （2）延长至H，使，延长交于，再证明，最后由中位线得到结论； 【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交于，交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴且． （2）且，理由如下： 延长至点H，使得，连接，延长交于，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∵点M，D分别是，的中点， ∴，， ∴，且． 【点睛】本题主要考查了正方形、三角形全等、三角形的中位线，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质，对于想象能力不太好的同学，可以先画出对应的图形，然后根据图形特点逐步解题． 25．（1）2-2；（2） 【分析】（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论； （2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，根据平行线的性质函数三角形的内角和得到∠CAN=∠PAC，求得∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，根据全等三角形的性质得到AP=AN，于是得到结论． 【详解】解：（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H， 在▱ABCD中，∠D=∠B=45°，AB=2， ∴AH=BH=2， ∵AE=4， ∴EH==2， ∴BE=BH-EH=2-2； （2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP， ∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∠B+∠FAC+∠BAF+∠CAN=180°， ∴∠AFC=∠B+∠CAN=45°+∠CAN， ∵∠FAC=∠FAP+∠PAC=45°+∠PAC，∴∠FAC=∠AFC， ∴∠CAN=∠PAC， ∵∠APC=∠FPC==135°=∠ANC， ∴△APC≌△ANC（AAS）， ∴AP=AN， ∵AM=AN+MN， ∴AM=AN+MN=AF+CD=AF+AB， 即AF+AB=AM． 【点睛】考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$