【第五章 一元一次方程 01讲 方程】暑假小升初衔接训练2025-2026学年七年级上册数学（新版人教版专用）

第五章 一元一次方程 01讲 方程 目录 【知识点1. 方程及方程的解】…………………………………………………… 1 【知识点2. 根据实际问题列方程步骤】………………………………………… 2 【知识点3. 一元一次方程】……………………………………………………… 3 【知识点4. 等式的基本事实】…………………………………………………… 4 【知识点5. 等式的性质】………………………………………………………… 4 【题型1. 方程的概念】…………………………………………………………… 5 【题型2. 方程的解概念】………………………………………………………… 6 【题型3. 列方程】………………………………………………………………… 6 【题型4. 一元一次方程的概念】………………………………………………… 7 【题型5. 方程求参问题】………………………………………………………… 8 【题型6. 等式的性质】…………………………………………………………… 8 【题型7. 等式性质的实际应用】………………………………………………… 9 【课后作业】………………………………………………………………………… 9 知识清单 1、方程及方程的解 1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 注：在这一概念中要抓住方程定义的两个要点 ①等式；②含有未知数． 2）方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值 求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程，叫作解方程． 规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 巩固基础 1．下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是方程，不符合题意； B、，不含未知数，不符合题意； C、，不是方程，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选D． 2．在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①，没有未知数，不是方程，此选项不符合题意； ②，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ③，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ④，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ⑤，有未知数，不是等式，不是方程，此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】此题考查方程的概念，解题关键在于掌握含有未知数的等式叫做方程． 由方程的概念可知，是方程则需满足以下条件：①方程中必须含有未知数；②是等式． 依据方程的概念对所给式子逐一进行判断，从而得出正确答案的． 【详解】解：①不含未知数，故①不是方程； ③④不是等式，故③④不是方程； ②⑤⑥⑦中含有未知数且是等式，符合方程的概念，故②⑤⑥⑦是方程． 综上所述，所给式子中是方程的有②⑤⑥⑦，共4个． 故选：C． 4．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解的定义，把分别代入各方程，若方程左右两边相等，即可为方程的解． 【详解】解：A、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解； D、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解． 故选：C 5．下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键． 把代入方程，判断方程的两边是否相等即可判断． 【详解】解：、把代入，左边右边， ∴符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 故选：． 6．下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值即为一元一次方程的解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； B、当时，则，因为，则是的解，故该选项符合题意； C、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； D、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； 故选：B． 7． 方程 的解．（填“是”或“不是”） 【分析】本题考查方程的解，关键是掌握：方程的解是指使方程两边相等的未知数的值． 把分别代入方程的左右两边计算，再比较两边值是否相等即可判断． 【详解】解：把，，代入方程， ∵方程左边，右边， ∴方程左边≠右边， ∴不是方程的解．故答案为：不是． 知识清单 2、根据实际问题列方程步骤 1）分析实际问题中的数量关系； 2）设合适的未知数； 3）用含有未知数的等式表示数量关系； 4）列出方程. 巩固基础 1．根据下面所给条件，能列出方程的是（    ） A．一个数的是6 B．x与1的差的 C．甲数的2倍与乙数的 D．a与b的和的60% 【分析】根据题意列出方程或代数式，即可求解． 【详解】A. 一个数的是6，设这个数为x，则有 ，是方程，故符合题意； B. x与1的差的，根据题意列式为： ，不是方程，故不符合题意； C. 甲数的2倍与乙数的，设甲数为x，乙数为y，根据题意可得：2x，y，不是方程，故不符合题意； D. a与b的和的60％，根据题意列式为： ，不是方程，故不符合题意， 故选A. 2．在“垃圾分类”活动中，实践组有人，宣传组有人．问应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍，设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据关键语句：“实践组的人数是宣传组的两倍”列出方程即可． 【详解】解：设从宣传组调x人到实践组， 由题意得： 故选：D 3．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 知识清单 3、一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元），且未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程． 一元一次方程的通常形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 巩固基础 1．下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，即该选项不符合题意， B、未知数的次数不是1，不符合一元一次方程的定义，即该选项不符合题意， D、属于一元一次方程，符合一元一次方程的定义，即该选项符合题意， C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，即该选项不符合题意， 故选：C． 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程中的次数是2，则此项不是一元一次方程，不符合题意； B、方程含有两个未知数，则此项不是一元一次方程，不符合题意； C、方程是一元一次方程，则此项符合题意； D、方程中不是整式，则此项不是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 3．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的识别，只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是方程，不符合题意； B、不含未知数，不是方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； 故选C． 4．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据只有一个未知数且未知数的次数为的整式方程，即为一元一次方程，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是代数式，不是一元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 5．下列等式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程是一元一次方程成为解题的关键． 根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．中不含未知数，不是一元一次方程，不符合题意， B．是一元一次方程，符合题意， C．含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意， D．未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意. 故选：B． 6．下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②有2个未知数，不是一元一次方程， ③是等式，不是一元一次方程， ④是代数式，不是一元一次方程， ⑤是一元一次方程， 所以一元一次方程有2个， 故选：B． 7．下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次数是1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意； ②符合一元一次方程定义，符合题意； ③中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； ④符合一元一次方程定义，符合题意； ⑤中未知数最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意， 因此是一元一次方程的是②，④，一共2个． 故选：B． 8．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，解答即可． 本题考查了方程，一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是方程的是②；④；⑤； 故答案为：②④⑤． 是一元一次方程的是④；⑤； 故答案为：④⑤． 知识清单 4、等式的基本事实 1）等式两边可以交换。如果a=b，那么b=a。 2）相等关系可以传递。如果a=b，b=c，那么a=c。 5、等式的性质 1）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c 2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a=b，那么ac=bc ； 如果a=b，c≠0，那么 . 巩固基础 1．运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意；故选：B． 2．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，等式两边同时加，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时乘，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时除以，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，当时，不一定等于，该选项变形不正确，符合题意； 故选：． 3．若，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ，，成立， 故选项A，B，D不符合题意； 当时，不成立， 故选项C符合题意； 故选：C． 4．已知，且，下列各式：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④错误； 故选B． 5．利用等式的性质解方程，在等式的两边都 ，得 ． 【分析】本题考查了等式的性质 2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．根据等式的性质可以解答题目中的问题． 【详解】解：利用等式的性质解方程，在等式的两边都乘以，得， 故答案为：乘以，． 6．解方程：，得到的解为．解方程可分两步，按下列步骤填空． 第一步：根据等式的基本性质 （填具体文字内容），方程两边都 ，得到 ． 第二步：根据等式的基本性质 （填具体文字内容），方程两边都 ，得到 ． 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程． 根据等式的性质即可解答． 【详解】解：解方程：， 第一步：根据等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式，方程两边都加上5，得到． 第二步：根据等式的基本性质：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式，方程两边都除以2，得到． 故答案为：等式两边同时加上（或减去）同一个或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式；加上5；；等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式；除以2；． 直击考点 题型1：方程的概念 例1．下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程，熟练掌握方程的概念是解题的关键．方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答． 【详解】解：A、 是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．不是等式，所以不是方程； C．是代数式，所以不是方程； D．含有未知数，是等式，所以是方程； 故选：D． 变式1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查方程的判断，含有未知数的等式，叫做方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，是方程，故①正确； ，不是等式，不是方程，故②错误； ，是方程，故③正确； ，是方程，故④正确； ，不是等式，不是方程，故⑤错误； ，是方程，故⑥正确； ，是方程，故⑦正确； ，是方程，故⑧正确； 故选D． 变式2．下列各式是方程的有（   ） （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）； （7）； （8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 【分析】本题主要考查方程的定义，掌握方程的定义是解题的关键．根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），符合方程的定义，故本小题符合题意； （2），不含有未知数，不是方程，故本小题符合题意； （3），不是等式，故本小题不符合题意； （4），符合方程的定义，故本小题符合题意； （5），符合方程的定义，故本小题符合题意； （6），不是等式，故本小题不符合题意； （7），符合方程的定义，故本小题符合题意； （8），符合方程的定义，故本小题符合题意． 是方程的有（1）（4）（5）（7）（8）， 故选：C． 题型2：方程的解概念 例1．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把分别代入A，B，C，D四个选项． A中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； B中，左边，右边，左边=右边，正确，符合题意； C中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； D中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意． 答案：B． 变式1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把分别代入四个方程中，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，左边，右边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、把代入方程中，左边，右边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、把代入方程中，左边，右边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 变式2．已知方程，则在，，中， 是方程的解． 【分析】本题考查了方程的解，将，，分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，即可求解． 【详解】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解． 将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解． 将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解．故答案为：，，． 题型3：列方程 例1．今年10月孝义市遭受洪灾，汛情发生后，我市及时启动防汛应急抢险预案，加固河道堤防，某河段需要18台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土或运土，为了使挖上和运土工作同时开始，同时结束，安排了x台机械被挖土，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【分析】根据安排了x台挖土机械，则有（18﹣x）台运土机械，根据“挖土和运土工作同时开始，同时结束”得出方程． 【详解】解：安排了x台挖土机械，则有（18﹣x）台运土机械， 根据题意，得120x＝60（18﹣x）． 故选：C． 例2．一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 例3．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， 变式1．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 变式2．某企业的年产值从2006年的2亿元增长到2009年的7亿元，如果这三年的年平均增长率相同，均为x，那么可以列出方程为 ． 【分析】设这三年的年平均增长率为，根据题意列出一元三次方程即可求解． 【详解】解：设这三年的年平均增长率为，根据题意可得， ． 故答案为：． 变式3．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可； （2）直接列出等式即可； （3）利用代入法进行检验即可． 【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多， 得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为棵． （2）． （3）把分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边， 右边． 因为左边右边， 所以是方程的解， 即乙班植树的棵数是25棵． 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵 题型4：一元一次方程的概念 例1．下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义解题的关键． 根据“只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程”逐项进行判断作答即可． 【详解】解：A．，中有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．，是一元一次方程，故此选项符合题意； C．，不是等式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．，未知数的次数是2．不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 变式1．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 变式2．下列方程是关于x的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，即可求解，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是a（，是常数且） 【详解】解：A. ，次数不为1，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；     B. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C. ，不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；     D. ，是一元一次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 题型5：方程求参问题 例1．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故选：． 例2．关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 变式1．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 变式2．若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟记一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 变式3．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 题型6：等式的性质 例1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查了等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等式的性质的知识，逐选项进行作答，即可求解； 【详解】解：A、∵， ∴，选项A不符合题意； B、∵， ∴，选项B不符合题意； C、∵， ∴，选项C不符合题意； D、∵， ∴不成立，可能为0；选项D符合题意； 故选：D； 变式1．方程的变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，可化为 D．方程，可化为 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质和去括号法则进行运算即可判断求解，掌握等式的性质和去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、方程，移项得，该选项错误，不合题意； 、方程，去括号得，该选项错误，不合题意； 、方程，可化为，该选项正确，符合题意； 、方程，可化为，该选项错误，不合题意； 故选：． 变式2．将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型7：等式的性质的实际应用 例1．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故选A ． 变式1．嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（     ） A．25 B．21 C．20 D．19 【分析】 根据题意可知3个比2个加1个20砝码轻，易得1个比20砝码轻，即可获得答案． 【详解】 解：根据题意，可知3个比1个加1个50砝码轻，1个加1个50砝码比2个加1个20砝码轻， 所以，3个比2个加1个20砝码轻， 即1个比20砝码轻， 所以的质量可能为19． 故选：D． 变式2．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，再根据大长方形的长不变可得，再求出的值，即为长与宽的差． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，即， 整理得：， 则小长方形的长与宽的差是，故选：D． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案． 【详解】解：A、是代数式，不符合题意； B、有2个未知数，不符合题意； C、未知数的最高次为2，不符合题意； D、是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知是方程的解，则k的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值． 【详解】是方程的解， ， 解得， 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质，整式的加减，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，两边同时加上，即可求解； 【详解】解： ，等式两边分别加上， 可得：； 故选：A 5．（24-25七年级上·福建厦门·期中）下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键．根据方程的定义即可得到答案． 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程， 故不含未知数，不是方程，故选项A不符合题意； 不是等式，不是方程，故选项B不符合题意； 是含有未知数的等式，是方程，故选项C符合题意； 不是等式，不是方程，故选项D不符合题意； 故选C． 6．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知关于x的方程与方程的解相同，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【分析】首先解第二个方程求得x的值，然后代入第一个方程得到一个关于a的方程，求得a的值． 【详解】解：解方程， 得，， 把代入， 得，， 解得：． 故选：C． 7．（24-25七年级上·河南信阳·期末）下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，则A不符合题意； B、若，则，则B不符合题意； C、若，则，则C不符合题意； D、若，则，则D符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级上·吉林四平·期末）已知，则下列各式中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、当时，无意义， ∴不一定成立，该选项符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 故选：． 9．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 10．（22-23七年级下·河南开封·期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 11．（2021·安徽蚌埠·二模）药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 【详解】解：设“”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：， 把代入， 得到：， 整理得：． 故选：C． 二、填空题 13．（24-25七年级上·天津·阶段练习）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 14．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·陕西延安·期末）关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，求出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得且，据此解答即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 17．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如果是方程的解，那么的值是 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．（21-22八年级下·广西贺州·期末）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，熟练掌握整体思想的运用是解题的关键． 先利用一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，得到，再把变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴即， ∴ ， 故答案为：2023． 19．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 20．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【分析】本题考查了数字规律，解方程的运用，根据题目中方程的变化规律，即可求解，理解数量关系，找出规律是解题的关键． 【详解】解：第1个方程是，解为， 第2个方程是，解为， 第3个方程是，解为， ， 根据规律，第个方程为，解为， ∴第10个方程是，解为， 故答案为：． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，如表格所示，这是一个三阶幻方，则的值为 ． 0 a 4 c b 【分析】本题考查列代数式，等式的基本性质．根据“幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”可得，再根据等式的基本性质变形即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴． 故答案为：7 24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：商品利润率，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率为，甲、乙两种商品进价的比值是 ． 【分析】本题考查了整式的运算，根据甲种商品利润乙种商品利润两种商品的总进价总利润率列出等式，对等式进行化简即可求解，正确假设出未知数是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙商品进价分别为，售出甲种商品件，则每件甲种商品的利润为，每件乙种商品的利润为，售出乙种商品件， 根据题意得，， 化简得，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 25．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是； （1）x的2倍与与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． 26．（21-22七年级下·海南儋州·阶段练习）只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得． 【详解】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质进行计算，即可解答； （2）根据等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：正确， 理由：∵， ∴， ∴； （2）不正确， 理由：∵， ∴， ∴， ． ∴不正确． 28．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【分析】本题考查了列方程，列代数式； （1）长方体盒子底面的宽为，则长为；容积=长×宽×高； （2）令(1)代数式表示出的容积=15即可． 【详解】（1）长方体盒子底面的宽为，则长为． 容积为； （2）根据题意，得 29．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 30．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 31．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 01讲 方程 目录 【知识点1. 方程及方程的解】…………………………………………………… 1 【知识点2. 根据实际问题列方程步骤】………………………………………… 2 【知识点3. 一元一次方程】……………………………………………………… 3 【知识点4. 等式的基本事实】…………………………………………………… 4 【知识点5. 等式的性质】………………………………………………………… 4 【题型1. 方程的概念】…………………………………………………………… 5 【题型2. 方程的解概念】………………………………………………………… 6 【题型3. 列方程】………………………………………………………………… 6 【题型4. 一元一次方程的概念】………………………………………………… 7 【题型5. 方程求参问题】………………………………………………………… 8 【题型6. 等式的性质】…………………………………………………………… 8 【题型7. 等式性质的实际应用】………………………………………………… 9 【课后作业】………………………………………………………………………… 9 知识清单 1、方程及方程的解 1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 注：在这一概念中要抓住方程定义的两个要点 ①等式；②含有未知数． 2）方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值 求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程，叫作解方程． 规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 巩固基础 1．下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 5．下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 6．下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 7． 方程 的解．（填“是”或“不是”） 知识清单 2、根据实际问题列方程步骤 1）分析实际问题中的数量关系； 2）设合适的未知数； 3）用含有未知数的等式表示数量关系； 4）列出方程. 巩固基础 1．根据下面所给条件，能列出方程的是（    ） A．一个数的是6 B．x与1的差的 C．甲数的2倍与乙数的 D．a与b的和的60% 2．在“垃圾分类”活动中，实践组有人，宣传组有人．问应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍，设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识清单 3、一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元），且未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程． 一元一次方程的通常形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 巩固基础 1．下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．下列等式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 知识清单 4、等式的基本事实 1）等式两边可以交换。如果a=b，那么b=a。 2）相等关系可以传递。如果a=b，b=c，那么a=c。 5、等式的性质 1）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c 2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a=b，那么ac=bc ； 如果a=b，c≠0，那么 . 巩固基础 1．运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，下列各式：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．利用等式的性质解方程，在等式的两边都 ，得 ． 6．解方程：，得到的解为．解方程可分两步，按下列步骤填空． 第一步：根据等式的基本性质 （填具体文字内容），方程两边都 ，得到 ． 第二步：根据等式的基本性质 （填具体文字内容），方程两边都 ，得到 ． 直击考点 题型1：方程的概念 例1．下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式2．下列各式是方程的有（   ） （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）； （7）； （8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 题型2：方程的解概念 例1．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 变式1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 变式2．已知方程，则在，，中， 是方程的解． 题型3：列方程 例1．今年10月孝义市遭受洪灾，汛情发生后，我市及时启动防汛应急抢险预案，加固河道堤防，某河段需要18台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土或运土，为了使挖上和运土工作同时开始，同时结束，安排了x台机械被挖土，则可列方程（    ） A． B． C． D． 例2．一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 例3．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 变式1．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．某企业的年产值从2006年的2亿元增长到2009年的7亿元，如果这三年的年平均增长率相同，均为x，那么可以列出方程为 ． 变式3．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 题型4：一元一次方程的概念 例1．下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2．下列方程是关于x的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型5：方程求参问题 例1．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 变式1．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 变式2．若关于的方程是一元一次方程，则 ． 变式3．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 题型6：等式的性质 例1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．方程的变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，可化为 D．方程，可化为 变式2．将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 题型7：等式的性质的实际应用 例1．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 变式1．嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（     ） A．25 B．21 C．20 D．19 变式2．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知是方程的解，则k的值是（   ） A． B．1 C． D．3 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 4．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期中）下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知关于x的方程与方程的解相同，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 7．（24-25七年级上·河南信阳·期末）下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25七年级上·吉林四平·期末）已知，则下列各式中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23七年级下·河南开封·期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 11．（2021·安徽蚌埠·二模）药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（24-25七年级上·天津·阶段练习）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 14．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 15．（24-25七年级上·陕西延安·期末）关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 17．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如果是方程的解，那么的值是 ． 18．（21-22八年级下·广西贺州·期末）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 19．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 20．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 21．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，如表格所示，这是一个三阶幻方，则的值为 ． 0 a 4 c b 24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：商品利润率，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率为，甲、乙两种商品进价的比值是 ． 三、解答题 25．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 26．（21-22七年级下·海南儋州·阶段练习）只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 28．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 29．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 30．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 31．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$