2024--2025学年北师大版数学八年级下册期末综合卷（1）

北师大版数学八年级下册 综合卷（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（　　）条对角线． A．6 B．7 C．8 D．9 2．如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．不变 D．缩小到原来的 3．甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文经破译，对应的汉字分别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”．以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 6．DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用DeepSeek的R1和R2两个AI模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需1.5小时完成；单独处理这批数据，R2所需的时间比R1少2小时，设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知点P（1+m，3）在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1 8．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 9．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠ACD＝∠EFB B．AC∥DE C．AB＝DE D．BF⊥CE 10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④S四边形OECDS△AOD，其中成立的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 12．因式分解：3x2﹣6x+3＝　 　 ． 13．关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的解集中恰有四个非负整数，则k的范围为 　 　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，过点A作AE∥BD，连接DE，BE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝128°，则∠BCD﹣∠EAB的值为 　 　 °． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．计算： （1）因式分解：3ax2﹣6axy+3ay2； （2）解不等式组：； （3）解分式方程：． 17．在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，0），若将三角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是（3，a），点C的对应点C1的坐标是（b，﹣2）． （1）直接写出a，b的值及点B1的坐标； （2）画出平移后的三角形A1B1C1； （3）若点P在x轴上，且三角形ACP的面积等于三角形A1B1C1面积，请直接写出点P的坐标． 18．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使CD＝BC，延长CA到点E，使AE＝2CA；连接AD，BE．求证：AD＝BE． 19．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，若DE：EC＝3：1，AB＝16，求BC的长． 20．已知关于x的不等式组无解，求实数a的范围． 21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 22．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式：a2+6a+5． 解：原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）． ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4， 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣12x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）将x2﹣3x+66变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣3x+66的最小值； 【探究】若M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 23．如图，D是等边△ABC内一点，将△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，连接DE，CD，且DE⊥CE． （1）求∠ADB的度数； （2）若DB＝CE，求证：DB＝CE． 24．近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多0.45元． （1）两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为7.5元，B款车的总行驶费用为18.75元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； （2）设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075x元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 25．如图1，在四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形． （1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：BR＝RD； （2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？ 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C B A C B B 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x≠﹣1． 12．3（x﹣1）2． 13．2≤k＜3． 14．38． 15．2． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）3ax2﹣6axy+3ay2 ＝3a（x2﹣2xy+y2） ＝3a（x﹣y）2； （2）， 解不等式①，得x≥﹣1， 解不等式②，得x＜3， 所以不等式组的解集是﹣1≤x＜3； （3）， 方程可化为， 方程两边同乘3﹣x，得2（3﹣x）+x﹣2＝1， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，3﹣x＝0，所以x＝3不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 17．解：（1）由题意得：由三角形ABC得到三角形A1B1C1的平移方式为向右平移：3﹣（﹣1）＝4个单位长度；向下平移：0﹣（﹣2）＝2个单位长度， ∴B1（0，﹣3）； （2）如图所示，三角形A1B1C1即为所求； （3）， ， 由条件可知2|xP﹣1|＝11， 解得：或， 故点P的坐标为：或． 18．证明：如图，取AE的中点F，连接BF， ∵AE＝2AC， ∴AF＝EF＝AC， ∵∠BAC＝90°， ∴BA垂直平分CF， ∴BF＝BC＝CD， ∴∠BFA＝∠BCA， ∴∠BFE＝∠DCA， 在△BFE和△DCA中， ， ∴△BFE≌△DCA（SAS）， ∴AD＝BE． 19．解：在▱ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD＝16， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵∠BAD的角平分线交CD于E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴AD＝DE＝BC， ∵DE：EC＝3：1，CD＝DE+EC＝16， ∴DE＝12， ∴BC＝12． 20．解：， 解不等式①得：x＞﹣4a﹣3， 解不等式②得：xa， ∵不等式组无解， ∴﹣4a﹣3a， 解得：a． 21．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 22．解：【应用】（1）x2﹣12x+36＝（x﹣6）2， 故答案为：36，6． （2）x2﹣3x+66 ＝x2﹣3x ， 因为， 所以， 所以当时，x2﹣3x+66的最小值是． 【探究】 因为M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a， M﹣N ＝5a2+9a+6﹣（4a2+5a） ＝5a2+9a+6﹣4a2﹣5a ＝a2+4a+6 ＝a2+4a+4+2 ＝（a+2）2+2， 因为（a+2）2≥0， 有（a+2）2+2＞0， 所以M﹣N＞0， 所以M＞N． 23．（1）解：由旋转得，∠ADB＝∠BEC，BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠BED＝60°． ∵DE⊥CE， ∴∠DEC＝90°， ∴∠BEC＝∠BED+∠DEC＝150°， ∴∠ADB＝150°． （2）证明：由旋转得，BD＝BE， ∵DB＝CE， ∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB． ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ACE（SSS）， ∴∠BEA＝∠CEA． 设AE与BC交于点F， ∵∠EBF+∠BEF＝∠ECF+∠CEF， ∴∠BFE＝∠CFE． ∵∠BFE+∠CFE＝180°， ∴∠BFE＝∠CFE＝90°， ∴AE⊥BC． 24．解：（1）设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为（a+0.45）元， 根据题意得：， 解得：a＝0.3， 经检验，a＝0.3是所列方程的解，且符合题意， ∴a+0.45＝0.3+0.45＝0.75， 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元； （2）纯电动汽车的年使用费用为0.3x+6500+1230＝（0.3x+7730）（元），燃油车的年使用费用为0.75x+2900+0.075x＝（0.825x+2900）（元）， 当0.3x+7730＞0.825x+2900时，x＜9200， ∴当0＜x＜9200时，购买燃油车比较划算； 当0.3x+7730＝0.825x+2900时，x＝9200， ∴当x＝9200时，购买纯电动汽车和燃油车均可； 当0.3x+7730＜0.825x+2900时，x＞9200， ∴当x＞9200时，购买纯电动汽车比较划算． 答：当0＜x＜9200时，购买燃油车比较划算；当x＝9200时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当x＞9200时，购买纯电动汽车比较划算． 25．（1）证明：∵∠ABD＝90°，AB∥RC， ∴CR⊥BD． ∵BC＝CD， ∴∠BCR＝∠DCR． ∵四边形ABCR是平行四边形， ∴∠BCR＝∠BAR． ∴∠BAR＝∠DCR． 又∵AB＝CR，AR＝BC＝CD， ∴△ABR≌△CRD（SAS）． （2）解：由PS∥QR，PS∥RD（四边形PRDS为平行四边形）知，点R在QD上， 又∵PS∥BC，PS∥RD， 故BC∥AD． 又由AB＝CD知∠A＝∠CDA， 因为SR∥PQ∥BA， 所以∠SRD＝∠A＝∠CDA， ∵从而SR＝SD， 由PS∥BC， ∴△DCB∽△DSP， ∵BC＝CD， ∴SP＝SD． ∵SP＝DR， 所以SR＝SD＝RD， 故∠CDA＝60°． 因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA＝60°． （注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD＝60°或BC∥AD，∠BCD＝120°等亦可）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$