专题07 简单事件的概率（4知识点+12大题型+1大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题07 简单事件的概率 （4知识点+12大题型+1大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练+1大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【即时训练】 1．（2025·浙江台州·二模）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体 B．篮球运动员投篮一次，投中篮框 C．过一点能作出一条直线与已知直线平行 D．将实心铁球放入水中，铁球下沉 2．（24-25九年级下·浙江·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 3．（24-25九年级上·浙江·期中）2024年7月26日—8月11日，第三十三届夏季奥运会在巴黎如期举行，比赛期间任意打开一台电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件是 事件． 知识点2：可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【即时训练】 4．（2025九年级上·全国·专题练习）从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（   ） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（   ） A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”） 知识点3：概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【即时训练】 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 9．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币两次，必有一次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币两次，一正一反的概率是 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每次出现正面朝上次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 知识点4：利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【即时训练】 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 12．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为 ．（精确到） 【题型1 事件的分类】 1．下列事件中，是不可能事件的是（    ） A．太阳每天从西方升起 B．射击运动员射击一次，命中9环 C．买一张电影票，座位号是奇数 D．3天内将下雨 2．用两个均匀的骰子进行掷骰子活动，下列事件不是随机事件的是（   ） A．两个骰子面朝上的点数和为奇数 B．两个骰子面朝上的点数差为6 C．两个骰子面朝上的点数积为偶数 D．两个骰子面朝上的点数商为1 3．杜甫在《春夜喜雨》诗中写道“随风潜入夜，润物细无声”，如果用数学的眼光看诗句中描述的事件是 （填“必然”或“随机”）事件． 4．下列说法中： ①在13人中至少有两个人的生日月份相同，这是必然事件； ②一次摸奖活动的中奖率是，那么摸100次必然会中一次奖； ③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件； ④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性． 正确的有 （填序号）． 5．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 【题型2 事件发生的可能性大小】 6．春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 7．书架上有社会科学类图书20本，教育类图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．取出的是社会科学类图书 B．取出的是教育类图书 C．取出的是自然科学类图书 D．取出的是文化艺术类图书 8．以下事件的可能性大小关系为 ．（由小到大写出序号） （1）销量很大某种彩票中了一等奖； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个； （4）自然状态下水往高处流． 9．如图，不透明的袋子装有除颜色外，其他完全相同的10个小球，其中有9个白球，1个红球．从袋子中拿出 （填“红”或“白”）球的可能性最大． 10．掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 【题型3 概率的意义理解】 11．下列说法正确的是（    ） A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一致的 B．天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中必定有一次是一点 D．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 12．甲种商品出现次品的可能性是，乙种商品出现次品的可能性是，则正确的说法是（   ） A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些 B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些 C．甲乙两种商品的次品一样多 D．甲乙两种商品的次品数不能确定 13．下列说法正确的是（   ） A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查的方式 D．了解某电视栏目的收视率，应采用普查的方式 14．判断下面的说法：如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就不可能发生． （填正确或错误） 15．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为 ． 【题型4 根据概率公式计算概率】 16．某学校开设了特色选修课程，小明从“足球”“篮球”“乒乓球”三门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则小明恰好选中“足球”的概率为（   ） A． B． C． D． 17．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为 ． 18．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，4张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为 ． 19．一个不透明袋中有5个红球和7个黄球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？ (2)从袋中拿出3个黄球，将剩余的球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 20．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球．其中红球3个，黄球5个，白球若干个，若从中任意摸出一个黄球的概率是． (1)任意摸出一个球，会出现______种等可能的结果． (2)求任意摸出一个球是白球的概率； (3)通过改变盒子中某一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，请写出一种调整方案：______． 【题型5 已知概率求数量】 21．一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 22．已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外其余完全相同，若小明摸到红球的概率为，则黑球的数量为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．一个仅装有球的不透明布袋里只有2个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 24．在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则 ． 25．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5． (1)袋中有黄球_____个、白球_____个； (2)向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为，求放入红球的个数． 【题型6 几何概率】 26．如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 27．如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 28．如图，在扇形中，，．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 29．如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为 ． 30．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 【题型7 列举法求概率】 31．“博物馆”是很多同学研学的喜爱目的地．某同学计划利用暑假时间去北京的“国家博物馆”、“自然博物馆”，“军事博物馆”参观，先后顺序抽签决定．他先将三个目的地分别写在卡片的正面，卡片除正面外完全相同，然后将卡片背面朝上洗匀，抽取的第一张作为第一个目的地，取的第二张和第三张分别作为第二和第三目的地．最终“国家博物馆”排在第二目的地的概率是（   ） A． B． C． D． 32．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 33．现有4条线段，长度依次是3，5，8，10，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 34．某班在课外活动时间从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，则篮球、花样跳绳都在其中的概率为 ． 35．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． (1)从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 【题型8 树状图法求概率】 36．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（     ） A． B． C． D． 37．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 38．我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是 ． 39．近两年文旅盛行，众多游客来河南感受“嵩山少林寺”的佛教文化，“洛阳龙门石窟”的历史文化，沉浸式体验“清明上河园”的古人生活，观赏“焦作云台山”的自然风光！将这四个景点的名字分别写在4张空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则选到“清明上河园”和“嵩山少林寺”的概率是 ． 40．为增强居民消防安全意识，减少消防安全隐患，某社区计划开展以“消除事故隐患，筑牢安全防线”为主题的消防安全活动，并为此招募志愿工作者，甲、乙两人积极报名参加．现有A．“消防安全知识宣传”，B．“消防安全演练协助”，C．“消防安全隐患排查”，D．“消防安全隐患整治”四个小组，甲、乙两人被分到任意一个小组的可能性相同． (1)请用列表法或画树状图法，求两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数； (2)求两人被分到同一小组的概率． 【题型9 求某事件的频率】 41．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 42．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 43．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 44．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)上表中的______；______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 45．在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 【题型10 由频率估计概率】 46．某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 47．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（   ） A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2 B．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 C．从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心” D．掷一枚硬币，正面朝上 48．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 49．在一个不透明袋子里装有红球、黄球，其中红球16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是 ． 50．涟水县“安全出行，幸盔有你”的安全教育活动持续在开展．为了解我县居民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续一周同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 380 360 410 400 430 470 500 自觉佩戴头盔人数/人 364 342 393 388 412 451 480 自觉佩戴头盔的频率 0.96 0.95 0.96 0.97 0.96 0.96 a (1)表格中_______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为_______；（结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？ 【题型11 用频率估计概率的综合应用】 51．某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 52．大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 53．盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 54．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 55．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【题型12 概率的简单应用】 56．五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 57．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 58．小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 59．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为1，2，3的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 60．请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： (1)甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件            B．不可能事件        C．随机事件 (2)乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【拓展训练 简单事件的概率解答题专训】 61．为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的名男生和名女生中随机抽取名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 62．随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： A：星星充电 B：特来电 C：云快充 D：小桔充电 E：国家电网 (1)此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度． (2)某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率． 63．中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表： 九年级学生最常使用的“”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 12 豆包 腾讯元宝 6 其他软件 8% 九年级学生最常使用的“软件统计图” (1)请写出统计表中的值： ___________，___________； (2)已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？ (3)小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率． 64．某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图． 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中m的值是______ ． (2)已知平均每天完成作业时长在“”分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______ ． (3)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分的初中生约有多少人？ 65．在2024年巴黎奥运会上，我国体育健儿顽强拼搏、奋勇争先、不负使命，勇夺40枚金牌．为了致敬奥运健儿，弘扬体育精神，某校举办了一分钟跳绳比赛．学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）． 一分钟跳绳次数的频数表 等级 次数 频数 不合格 4 合格 10 良好 优秀 12 一分钟跳绳次数的频数直方图 请根据上述信息，解答下列问题： (1)求的值，并把一分钟跳绳次数的频数直方图补充完整． (2)若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为 (3)在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率． 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．太阳从东方升起 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数 C．明天是晴天 D．同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 3．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 5．（2025·辽宁盘锦·三模）随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江舟山·三模）某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为 ． 8．（24-25九年级上·江西九江·期中）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有 个． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ． 10．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）． 11．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为 g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有 袋． 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈，再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈．设游戏者从圈起跳，则一次游戏后能够回到的概率是 ． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）小明、小红与另外四名同学一起参加桌面游戏．六个人通过抽签决定座位A、B、C、D、E、F． (1)小明抽中A座位的概率为______； (2)若“面对面”座位上的两人为游戏中的盟友，请用“列表”或“画树状图”的方法，求出小明和小红成为盟友的概率． 14．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 15．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 16．（24-25九年级下·安徽池州·期中）综合与实践 【项目背景】 某校为了解学生的阅读喜好，成立了由学生组成的调查组．调查组的同学设计了如下的一个调查问卷： 调查问卷你最喜欢阅读的书籍类型是（只选一项）（   ） A．文学类    B．科技类    C．艺术类    D．其他类 【数据收集与整理】 调查组随机抽取了部分问卷，将问卷上的数据整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据所给信息，请完成下列所有任务． 任务1：被抽取的问卷数量是______，扇形统计图中m的值是______． 任务2：请将条形统计图补充完整． 【数据分析与应用】 任务3：若全校有1200名学生，请你估计全校最喜欢阅读A．“文学类”书籍的学生人数． 任务4：学校打算从“A．文学类”“B．科技类”“C．艺术类”书籍中，选择两类书籍进行集中采购，丰富校图书馆的藏书，求恰好选中“A．文学类”和“B．科技类”这两类书籍的概率． 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 197 b 480 601 摸到红球的频率 0.61 a 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的a＝______，b＝______； (2)“摸到红球”的频率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 18．（2025·北京海淀·三模）为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为_____；若从乙的信息处理速度得分中删去k个数据后中位数仍为n，写出k的一个可能取值_____； (2)若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分． ①从这20名用户任取1人，该用户对甲软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为_____； ②甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升1分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案_____（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将_____（填“增大减小”或“不变”） 19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 20．（2025·四川遂宁·中考真题）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 简单事件的概率 （4知识点+12大题型+1大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练+1大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【即时训练】 1．（2025·浙江台州·二模）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体 B．篮球运动员投篮一次，投中篮框 C．过一点能作出一条直线与已知直线平行 D．将实心铁球放入水中，铁球下沉 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体是随机事件，故该选项不符合题意； ．篮球运动员投篮一次，投中篮框是随机事件，故该选项不符合题意； ．过一点能作出一条直线与已知直线平行是随机事件，故该选项不符合题意； ．将实心铁球放入水中，铁球下沉是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级下·浙江·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是事件的分类，解题关键是熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项，任意画一个四边形，其内角和是是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃是不可能事件，不符合题意，选项错误； 选项，掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，拨打一个电话号码，电话正被占线中是随机事件，符合题意，选项正确． 故选：． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）2024年7月26日—8月11日，第三十三届夏季奥运会在巴黎如期举行，比赛期间任意打开一台电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件是 事件． 【答案】不确定（或随机） 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】任意选择电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件可能发生，也可能不发生， 这个事件是随机事件． 故答案是：不确定（或随机）． 知识点2：可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【即时训练】 4．（2025九年级上·全国·专题练习）从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（   ） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，找到个数最少的球即可确定正确的选项，解题的关键是分别求得各个选项中事件发生的概率． 【详解】解：∵所有的球中黑球最少， ∴摸出黑球的可能性最小， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（   ） A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种颜色的球越多，摸出的可能性就越大；首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可． 【详解】解：袋子中共有个球，其中红球个数最多， 从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大， 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”） 【答案】黄 【分析】本题考查的知识点是可能性的大小，根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵遇到红灯的概率＝＝； 遇到绿灯的概率＝＝； 遇到黄灯的概率＝＝， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 知识点3：概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【即时训练】 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键．根据概率的意义和概率的计算公式计算即可． 【详解】解：由于硬币质地均匀， 所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是． 故选:C． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能性大小，理解概率的意义是关键；根据概率的意义去分析判断即可． 【详解】解：一等奖中奖概率为，说明中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，并不意味着一定中奖；故选项C正确，其它选项错误； 故选：C． 9．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币两次，必有一次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币两次，一正一反的概率是 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每次出现正面朝上次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生． 【详解】A.连续抛一枚均匀硬币两次，必有一次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误； B.连续抛一枚均匀硬币两次，一正一反的概率是，故此选项错误； C.大量反复抛一枚均匀硬币，平均次出现正面朝上次，不正确，有可能每次都朝上，故本选项错误； D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确． 故选：D ． 知识点4：利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【即时训练】 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键． 【详解】解：当重复实验够多时，正面朝上的概率为， ， 12012与12000最接近，该实验结果比较符合， 故选：B． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为； C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为； D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率． 故选：C． 12．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率．观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率． 【详解】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以估计该麦种的发芽概率为， 故答案为：． 【题型1 事件的分类】 1．下列事件中，是不可能事件的是（    ） A．太阳每天从西方升起 B．射击运动员射击一次，命中9环 C．买一张电影票，座位号是奇数 D．3天内将下雨 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A. 太阳每天从西方升起是不可能事件，符合题意；     B. 射击运动员射击一次，命中9环是随机事件，不符合题意； C. 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意；     D. 3天内将下雨是随机事件，不符合题意； 故选：A． 2．用两个均匀的骰子进行掷骰子活动，下列事件不是随机事件的是（   ） A．两个骰子面朝上的点数和为奇数 B．两个骰子面朝上的点数差为6 C．两个骰子面朝上的点数积为偶数 D．两个骰子面朝上的点数商为1 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性，解题的关键是会根据事件发生可能性的定义分析判断．事件根据发生的可能性分为不可能事件、随机事件、必然事件，不可能事件发生的可能性为0，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能性介于之间，根据这个定义判断即可． 【详解】解：A．两个骰子面朝上的点数和为奇数，是随机事件，故此选项不合题意； B．两个骰子面朝上的点数差为6，是不可能事件，故此选项符合题意； C．两个骰子面朝上的点数积为偶数，是随机事件，故此选项不合题意； D．两个骰子面朝上的点数商为1，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．杜甫在《春夜喜雨》诗中写道“随风潜入夜，润物细无声”，如果用数学的眼光看诗句中描述的事件是 （填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生，也有可能不发生的事件叫做随机事件，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，用数学的眼光看诗句中描述的事件是随机事件， 故答案为：随机． 4．下列说法中： ①在13人中至少有两个人的生日月份相同，这是必然事件； ②一次摸奖活动的中奖率是，那么摸100次必然会中一次奖； ③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件； ④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性． 正确的有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了等可能事件，关键是要理解如果一个事件中，每一种结果出现的可能性都相同，那么这个事件就是等可能事件．根据概率的意义逐一判断即可． 【详解】解：①一年有12个月，所以13人中至少有两个人的生日月份相同，这是必然事件，则①正确； ②中奖率是的意思是摸100次可能会摸到1次，只是可能性，不是必然性，则②错误； ③一副扑克牌中，抽取任意一张牌的可能性都相等，所以随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，则③正确； ④摸到每一个球的可能性都相等，但红球的个数小于白球的个数，所以摸到红球的可能性小于摸到白球的可能性，则④错误； 故答案为：①③． 5．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 【答案】(1)不同意，理由见解析 (2)不同意，理由见解析 【分析】本题考查了事件的分类，解题的关键是： （1）根据随机事件、必然事件的定义判断即可； （2）根据随机事件、不可能事件的定义判断即可 【详解】（1）解：不同意， 理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝上”或“正面期下”， 所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件， 故不同意； （2）解：不同意， 理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现的结果的影响 故不同意， 所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件， 故不同意． 【题型2 事件发生的可能性大小】 6．春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 【答案】B 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．根据可能性的大小概念求解即可． 【详解】解：由图知，袋中白球个数明显多于黑球，且个数超过一半， 所以小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为非常有可能， 故选：B． 7．书架上有社会科学类图书20本，教育类图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．取出的是社会科学类图书 B．取出的是教育类图书 C．取出的是自然科学类图书 D．取出的是文化艺术类图书 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：. 根据等可能事件的概率公式，求出取出每种书的概率，然后比较即可 【详解】解：取出的是社会科学类图书的概率是：， 取出的是教育类图书的概率是：， 取出的是自然科学类图书的概率是：， 取出的是文化艺术类图书的概率是：， 故可能性最大的为：取出的是社会科学类图书， 故选：A 8．以下事件的可能性大小关系为 ．（由小到大写出序号） （1）销量很大某种彩票中了一等奖； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个； （4）自然状态下水往高处流． 【答案】（4）（1）（2）（3） 【分析】此题考查了事件可能性的大小，根据题意逐项判断比较即可． 【详解】解：（1）销量很大某种彩票中了一等奖，可能性非常小； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数，可能性为； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个，可能性为1； （4）自然状态下水往高处流，可能性为0． ∴可能性大小关系为（4）（1）（2）（3）． 故答案为：（4）（1）（2）（3）． 9．如图，不透明的袋子装有除颜色外，其他完全相同的10个小球，其中有9个白球，1个红球．从袋子中拿出 （填“红”或“白”）球的可能性最大． 【答案】白 【分析】本题考查了可能性的大小，要求可能性的大小，只别求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记出各自的数目． 分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大． 【详解】解：因为袋子中有9个白球， 1个红球，从中任意摸出一个球， 摸出白球的概率是： 摸出红球的概率是； 可见摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 10．掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：（1）面朝上的点数大于0，是必然事件，故； （2）面朝上的点数是7，是不可能事件，故； （3）面朝上的点数是3的倍数有3，6两种情况，故； 按发生的可能性从大到小的顺序排列为． 【题型3 概率的意义理解】 11．下列说法正确的是（    ） A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一致的 B．天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中必定有一次是一点 D．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率的概念，根据概率的意义逐项排查即可． 【详解】解：A. 做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果不一致的，原说法错误； B. 天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的，说法正确； C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中不一定有一点，原说法错误； D. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误； 故选：B． 12．甲种商品出现次品的可能性是，乙种商品出现次品的可能性是，则正确的说法是（   ） A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些 B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些 C．甲乙两种商品的次品一样多 D．甲乙两种商品的次品数不能确定 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，理解事件发生概率的意义是解题的关键．根据概率的意义即可解答． 【详解】解：甲、乙两种商品的总数目不确定，则次品数就不能确定． 故选：D． 13．下列说法正确的是（   ） A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查的方式 D．了解某电视栏目的收视率，应采用普查的方式 【答案】C 【分析】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法．根据调查方式的选择、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、明天的降水概率为，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上是随机的，故本选项错误； C、了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D、了解某电视栏目的收视率，应采用抽样调查方式，故本选项错误； 故选：C． 14．判断下面的说法：如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就不可能发生． （填正确或错误） 【答案】错误 【分析】本题考查了概率，根据概率的定义即可判断求解，理解概率的定义是解题的关键． 【详解】解：如果一件事发生的可能性只有百万分之一，发生的可能性很小但不是不可能发生， 故答案为：错误． 15．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为 ． 【答案】② 【分析】此题考查事件发生可能性大小，根据每项事件发生的可能性大小依次判断即可，正确理解各事件发生的可能性大小是解题的关键． 【详解】解：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张不一定中奖，故错误； ②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6，故正确； ③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率不一定为，故错误． 故答案为：②． 【题型4 根据概率公式计算概率】 16．某学校开设了特色选修课程，小明从“足球”“篮球”“乒乓球”三门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则小明恰好选中“足球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用概率公式求概率，根据概率公式可直接进行求解，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“足球”的概率为； 故选：． 17．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率；用“海”字卡片的张数除以卡片的总数即可． 【详解】解：共有14张卡片，其中抽中“海”字卡片的有2张卡片， 所以抽中“海”字卡片的概率为； 故答案为：． 18．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，4张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为． 故答案为：． 19．一个不透明袋中有5个红球和7个黄球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？ (2)从袋中拿出3个黄球，将剩余的球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用黄球的个数除以球的总数即可得到答案； （2）用红球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】（1）解：从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是； （2）解：从袋中拿出3个黄球，还剩余9个球，其中红球有5个， 所以从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是． 20．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球．其中红球3个，黄球5个，白球若干个，若从中任意摸出一个黄球的概率是． (1)任意摸出一个球，会出现______种等可能的结果． (2)求任意摸出一个球是白球的概率； (3)通过改变盒子中某一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，请写出一种调整方案：______． 【答案】(1) (2) (3)去掉5个白球（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】本题考查了利用概率公式求解，已知概率求数量，解题关键是正确利用概率公式求出概率． （1）设白球有个，列发分式方程求解； （2）直接利用概率公式求解； （3）设去掉个白球，列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设白球有个， 则，解得：， 经检查，是分式方程的根， 所以共有个球， 所以任意摸出一个球，会出现摸出的球是红球、黄球、白球，种等可能的结果． 故答案为：； （2）任意摸出一个球是白球的概率为； （3）答案不唯一，如设去掉个白球， 因为任意摸出一个球是红球的概率为， 所以，解得：， 经检验是分式方程的根， 所以可以去掉5个白球． 故答案为：5． 【题型5 已知概率求数量】 21．一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式的应用，理解求概率的公式是解题的关键． 根据概率公式列式计算即可． 【详解】解：袋子中写有“泉”字的卡片有：（张）． 故选： A． 22．已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外其余完全相同，若小明摸到红球的概率为，则黑球的数量为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查根据概率求数量，根据概率=所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：红球数量为个， ∴黑球的数量为个． 故选：B． 23．一个仅装有球的不透明布袋里只有2个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查已知概率求数量，解题的关键是掌握概率公式． 根据概率公式列方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：3． 24．在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，摸到白球的概率等于白球的数量除以球的总数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：6． 25．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5． (1)袋中有黄球_____个、白球_____个； (2)向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为，求放入红球的个数． 【答案】(1)5，2 (2)放入白球个数为4个 【分析】本题考查了概率，已知概率求数量，一元一次方程等知识，掌握概率公式是关键． （1）设黄球有m个，由概率关系列出方程即可求得黄球的个数，再根据题中关系求得白球个数； （2）求出原来袋中红球个数；设放入白球个数为x个，根据摸出一个球是红球的概率为0.5，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设黄球有m个，由题意得：， 解得：； 则白球个数为：（个）； 即黄球有5个，白球有2个； 故答案为：5个，2个； （2）解：原来袋中红球有（个） 设放入白球个数为x个，根据题意得： ，解得：， 答：放入白球个数为4个． 【题型6 几何概率】 26．如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=该事件所占有的面积与总面积之比． 把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用白色区域的面积除以大正方形的面积得到扎中白色区域的概率． 【详解】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是 故选：B． 27．如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 【详解】解：设阴影部分的面积是，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故选：B． 28．如图，在扇形中，，．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率和扇形的面积，分别表示出扇形和扇形的面积，再根据几何概率的概念求值即可． 【详解】解：扇形的面积：； 扇形的面积：． ∴点D落在阴影部分的概率是：， 故答案为：． 29．如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题关键，根据割补法可求出阴影部分面积，再求出正方形网格总面积，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将上边和左边的弓形阴影割补到下边和右边，则可得阴影部分面积为， 正方形网格总面积为， 针尖落在阴影部分的概率为器， 故答案为：． 30．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键． 根据几何概率的意义可知概率比即为面积比，由圆的面积即可求出区域一、三、五的面积和，再由圆的面积减去区域一、三、五的面积和即可． 【详解】解：最大圆的面积为：． ∵小球落在区域一、三、五内的概率分别是0.04，0.2，0.36， ∴区域一、三、五的面积占大圆面积的百分比分别是． ∴区域一、三、五的面积和为． 所以白色区域的总面积为． 【题型7 列举法求概率】 31．“博物馆”是很多同学研学的喜爱目的地．某同学计划利用暑假时间去北京的“国家博物馆”、“自然博物馆”，“军事博物馆”参观，先后顺序抽签决定．他先将三个目的地分别写在卡片的正面，卡片除正面外完全相同，然后将卡片背面朝上洗匀，抽取的第一张作为第一个目的地，取的第二张和第三张分别作为第二和第三目的地．最终“国家博物馆”排在第二目的地的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是用列举法求概率，不遗漏的列出所有可能的结果，熟练掌握求概率的公式是解题关键． 将3张卡片分别记为A、B、C，然后利用列举法得出所有可能结果，再得出满足条件的结果，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将3张卡片分别记为A、B、C， 抽取的结果共有：，6种， 其中 “国家博物馆”排在第二目的地的有2种， ∴“国家博物馆”排在第二目的地的概率是． 故选：B． 32．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解． 【详解】解：由题意得： 一次性摸出两个球的可能性有：（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）共3种可能，其中摸到两个球的颜色相同的只有1种可能，所以其概率为； 故选B． 33．现有4条线段，长度依次是3，5，8，10，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从长度分别为3，5，8，10，的四条线段中任选三条有如下4种情况：3、5、8；3、5、10；3、8、10；5、8、10； 能组成三角形的结果有2个（3、8、10，5、8、10，）， ∴能构成三角形的概率为 故答案为：． 34．某班在课外活动时间从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，则篮球、花样跳绳都在其中的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有等可能性的结果数，再找到篮球、花样跳绳都在其中的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，有以下选择： 选择篮球、足球、花样跳绳，选择篮球、足球、踢毽子，选择篮球、花样跳绳、踢毽子，选择足球、花样跳绳、踢毽子， 一共有4种选择，其中篮球、花样跳绳都在其中的有两种选择， ∴篮球、花样跳绳都在其中的概率为， 故答案：． 35．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． (1)从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求概率： （1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出所有可能出现的结果，可得满足两张牌数字相同的结果有3种，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是． 故答案为： （2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同． 所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种， 所以抽出的两张牌数字相同的概率为． 【题型8 树状图法求概率】 36．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率．画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片内容均为物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理学变化的有：B，D．画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种， ∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 37．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中两次都摸到黑球的结果数有1种， ∴两次都摸到黑球的概率是， 故选：A． 38．我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．根据题意画出树状图，即可得到答案． 【详解】解：该展览馆有A、B两个入口，C、D、E三个出口，且从每个入口进入和每个出口出去的可能性是一样的，列树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小颖从A入口进E出口的有1种结果， ∴小颖从A入口进E出口的概率是， 故答案为： 39．近两年文旅盛行，众多游客来河南感受“嵩山少林寺”的佛教文化，“洛阳龙门石窟”的历史文化，沉浸式体验“清明上河园”的古人生活，观赏“焦作云台山”的自然风光！将这四个景点的名字分别写在4张空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则选到“清明上河园”和“嵩山少林寺”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选到“清明上河园”和“嵩山少林寺”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把“嵩山少林寺”、“洛阳龙门石窟”、“清明上河园”、“焦作云台山”分别记作，，，，画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选到“清明上河园”和“嵩山少林寺”的结果数为2， 选到“清明上河园”和“嵩山少林寺”的概率为． 故答案为：． 40．为增强居民消防安全意识，减少消防安全隐患，某社区计划开展以“消除事故隐患，筑牢安全防线”为主题的消防安全活动，并为此招募志愿工作者，甲、乙两人积极报名参加．现有A．“消防安全知识宣传”，B．“消防安全演练协助”，C．“消防安全隐患排查”，D．“消防安全隐患整治”四个小组，甲、乙两人被分到任意一个小组的可能性相同． (1)请用列表法或画树状图法，求两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数； (2)求两人被分到同一小组的概率． 【答案】(1)结果总数为16种 (2) 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率、简单的概率计算公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法步骤是解答的关键． （1）根据题意，画出树状图，即可解答； （2）根据两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数为16种，而两人被分到同一小组的结果有4种，即可解答． 【详解】（1）解：画树状图如解图： 由树状图可知，两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数为16种． （2）由（1）可知，两人被分到同一小组的结果有4种， ∴． 【题型9 求某事件的频率】 41．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 【答案】D 【分析】根据频率的定义即可解答． 【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次， 则数字0和2的频率相同，均为， 数字3和4的频率相同，均为． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键． 42．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得＝0.4，解方程即可求解． 【详解】根据题意得： ＝0.4， 解得：n＝6， 经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键． 43．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 44．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)上表中的______；______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）解：“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：（个）， 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 45．在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了频率和概率，根据频率和概率的定义进行解答即可． （1）根据频数除以总数即可得到频率； （2）用白球的个数除以球的总个数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即这50次摸球中，摸到白球的频率为； （2）因为加入5个白球后，袋中共有白球：（个）， 袋中一共有球：（个）， 所以随机摸出一个球，摸到白球的概率为． 【题型10 由频率估计概率】 46．某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在0.90附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是0.90， 故选：B． 47．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（   ） A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2 B．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 C．从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心” D．掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右，计算各项的概率即可得到正确答案，掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右， ．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是的概率为，故该选项不符合题意； ．暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球的概率为，故该选项符合题意； ．从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心”的概率是，故该选项不符合题意； ．掷一枚硬币，正面朝上的概率为，故该选项不符合题意； 故选：B． 48．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键．先计算正方形的面积，再建立方程求解即可． 【详解】解：边长为正方形面积为， 设黑色部分的总面积为， ∴， ∴， ∴黑色部分的总面积为 故答案为：45． 49．在一个不透明袋子里装有红球、黄球，其中红球16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是 ． 【答案】5 【分析】设黄球有x个，根据题意，得解答即可． 本题考查了摸球概率计算，熟练掌握概率计算方法是关键． 【详解】解：设黄球有x个，根据题意，得 解得． 经检验，是原方程的根． 由球的个数为整数，故大约为5个， 故答案为：5． 50．涟水县“安全出行，幸盔有你”的安全教育活动持续在开展．为了解我县居民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续一周同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 380 360 410 400 430 470 500 自觉佩戴头盔人数/人 364 342 393 388 412 451 480 自觉佩戴头盔的频率 0.96 0.95 0.96 0.97 0.96 0.96 a (1)表格中_______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为_______；（结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？ 【答案】(1)0.96 (2)0.96 (3)1920人 【分析】本题考查求频率、利用频率估计概率，利用概率求数量，理解题意是解答的关键． （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率求解即可； （3）总数乘以概率求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.96； （2）解：由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.96， 故答案为：0.96； （3）解：（人） 答：估计其中佩戴了头盔的骑行者有1920人． 【题型11 用频率估计概率的综合应用】 51．某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 52．大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】(1)万件 (2)每件衬衣至少需要定价元 【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，然后根据概率求出抽检2万件衬衣中合格衬衣件数即可； （2）设每件衬衣需要定价x元，根据销售利润至少有220万列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有： （万件）； （2）解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 53．盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)6；14 【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率， （1）利用频率频数摸球次数计算数据即可； （2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可； （3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可； （4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：频率折线统计图，如图所示： （3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为； （4）解：估计盒子里有红球（个）， 白球有：（个）． 54．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【答案】(1)①0.71，0.701； ②0.7 (2)盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， 对于（1）①，利用概率公式求出，的值即可； ②根据表格中的数据即可得出结论； 对于（2），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； （2）解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 55．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【题型12 概率的简单应用】 56．五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 57．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 58．小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 求出概率比较，即可得出结论． 【详解】解：1、2、3、4、5、6这六个数字，偶数的有2，4，6；合数有4，6， 所以小胖获胜的概率为，小明获胜的概率为， 因为小胖和小明获胜的概率不同， 所以个游戏规则不公平， 故答案为：不公平． 59．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为1，2，3的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了列表法求概率，游戏公平性问题；先根据题意列出表格，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 共有9种情况，和为奇数有4种情况，和为偶数有5种情况， ∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是 所以这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 60．请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： (1)甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件            B．不可能事件        C．随机事件 (2)乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)C (2)这个游戏不公平．理由见解析 【分析】本题主要考查了事件的分类，游戏的公平性，熟知相关知识是解题的关键． （1）在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可； （2）分别计算出小颖和小琪赢的概率，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，摸到白球的事件属于随机事件， 故选：C； （2）解：这个游戏不公平．理由如下： （小颖赢），（小琪赢）， （小颖赢）（小琪赢）， 小颖赢的可能性大，这个游戏不公平 【拓展训练 简单事件的概率解答题专训】 61．为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的名男生和名女生中随机抽取名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 【答案】(1)补全条形统计图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，从统计图中获取所需信息是解题关键． （1）由扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为，求出抽样调查的总人数，再求出“良好”的人数，再补全条形统计图，再利用百分比计算“合格”部分所对应圆心角的度数即可； （2）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为， ∴被调查总人数为（人）， ∴“良好”的人数为（人）， 补全条形统计图如图： 扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为； （2）解：画出树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为． 所以抽取的两人恰好都是女生的概率为． 62．随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： A：星星充电 B：特来电 C：云快充 D：小桔充电 E：国家电网 (1)此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度． (2)某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率． 【答案】(1)120，54 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解题关键． （1）用品牌的数量除以对应占比，可得总数；用总数减去其它品牌数量充电桩的数量，可得品牌充电桩的数量，再除以总数可得对应占比，然后乘以即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取到男、女业主各1名的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比． 总量为（万台）． 品牌数量为（万台）． 品牌占比为， 扇形的圆心角为 ． 故答案为：120，54； （2）解：画出树状图如下： 总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种， 所以概率 ． 63．中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表： 九年级学生最常使用的“”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 12 豆包 腾讯元宝 6 其他软件 8% 九年级学生最常使用的“软件统计图” (1)请写出统计表中的值： ___________，___________； (2)已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？ (3)小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率． 【答案】(1) (2)144人 (3) 【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计整体、列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答； （2）用学生数乘以所占的比例即可解答； （3）先画树状图得所有等可能结果数以及恰好是""和""的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次调查学生数为：， 所以使用“”的同学的所占百分比为，即； “豆包”使用的学生数为：位，即． 故答案为：． （2）解：（人）． 答：最常使用“”的同学有144位． （3）解：根据题意画树状图如下： 根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2． ． 64．某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图． 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中m的值是______ ． (2)已知平均每天完成作业时长在“”分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______ ． (3)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分的初中生约有多少人？ 【答案】(1)300；30 (2) (3)3000人 【分析】（1）读图可得，A组有45人，占，即可求得总人数；用B组的人数除以总人数再乘即可得出答案； （2）根据概率公式计算即可； （3）由样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的比例乘以10000人即可； 【详解】（1）教育局抽取的初中生人数为：（人） B组人数为： ∴B组所占的百分比为： ∴； （2）∵9名初中生中有5名男生和4名女生， ∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是； （3）样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比 ∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，求概率，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． 65．在2024年巴黎奥运会上，我国体育健儿顽强拼搏、奋勇争先、不负使命，勇夺40枚金牌．为了致敬奥运健儿，弘扬体育精神，某校举办了一分钟跳绳比赛．学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）． 一分钟跳绳次数的频数表 等级 次数 频数 不合格 4 合格 10 良好 优秀 12 一分钟跳绳次数的频数直方图 请根据上述信息，解答下列问题： (1)求的值，并把一分钟跳绳次数的频数直方图补充完整． (2)若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为 (3)在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率． 【答案】(1)14，作图见解析 (2)720人 (3) 【分析】本题考查频数分布表和频数直方图、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，理解题意，找准有效信息是解答的关系． （1）用总人数减去其他等级人数即可求解a值，然后补充统计图即可； （2）用全校总人数乘以样本中一分钟跳绳次数达到合格所占的比例求解即可； （3）列表求得所有等可能的结果，找出满足条件的可能结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 补充图如下： （2）解：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约（人）． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中选出的2位同学恰好性别不同的结果有84种， ∴选出的2位同学恰好性别相同的概率为． 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．太阳从东方升起 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数 C．明天是晴天 D．同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，进行判断即可． 【详解】A. 太阳从东方升起，是必然事件，故该选项不符合题意； B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意； C. 明天是晴天，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示，掌握概率的计算是关键． 根据图示信息，根据频率估算概率，概率的计算进行判定即可． 【详解】解：根据题意，大量试验中，频数稳定在之间， A、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》的概率为，不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是，不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数的概率是，符合题意； D、一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球，不符合题意； 故选：C ． 3．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 【答案】D 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，分式方程的应用，先利用频率估计概率，再根据概率公式计算．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：设口袋中红球有个， 通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近， 可以估计摸到红球的概率是， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：口袋中红球可能有12个， 故选：D． 5．（2025·辽宁盘锦·三模）随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画树状图求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，画出树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率为， 故选：． 6．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 7．（2025·浙江舟山·三模）某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程分别记为A、B、C， 画树状图如图： 共有9个等可能的结果，小王、小李两人恰好选中同一门课程的结果有3个， ∴小王、小李两人恰好选中同一门课程的概率为 ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江西九江·期中）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有 个． 【答案】 【分析】本题考查了概率的应用，根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共个，摸到白色球的概率是， ∴口袋中白色球可能有个． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，先理解游戏内容，得B，C这两个方格必有1个地雷，再结合概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格） ∴B，C这两个方格必有1个地雷， ∴B方格中有地雷的概率为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 11．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为 g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有 袋． 【答案】 49 90 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈，再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈．设游戏者从圈起跳，则一次游戏后能够回到的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，列表得到36种等可能的结果，再找出两数的和为6的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】列表如下， 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 所有等可能的结果共有36种，当两次掷得的数字和为6的倍数， 即6，12时，才可落回A圈，共6种， ∴． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）小明、小红与另外四名同学一起参加桌面游戏．六个人通过抽签决定座位A、B、C、D、E、F． (1)小明抽中A座位的概率为______； (2)若“面对面”座位上的两人为游戏中的盟友，请用“列表”或“画树状图”的方法，求出小明和小红成为盟友的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可。 【详解】（1）解：由题意，小明抽中A座位的概率为； 故答案为：； （2）由题意，列表如下： 小红 小明 正确列表 共有30种等可能的结果，其中小明和小红成为盟友的结果有：共6种． ． 答：小明和小红成为盟友的概率． 14．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【答案】(1)475， (2) 【分析】本题考查了总数，频数，频率之间的数量关系，以及用频率估计概率，解题的关键在于掌握利用频率估计概率的方法． （1）根据总数，频数，频率之间的数量关系计算，即可解题； （2）根据频率估计概率的方法求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 故答案为475，． （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为． 15．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了随机事件的定义、概率公式的应用，熟练掌握随机事件的概念和概率公式（，其中是总情况数，是事件发生的情况数 ）是解题的关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，判断“从20盒中任意取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这一事件的类型，看其是否确定会发生或不发生． （2）先求出有黄色乒乓球的盒数，再根据概率公式“概率 所求情况数总情况数”计算抽取到有黄色乒乓球的概率． （3）利用“盒中有1个黄色乒乓球的概率为”，结合概率公式列出关于的方程，求出后，再根据总盒数为20，算出的值 ． 【详解】（1）解：因为20盒白色乒乓球中，有的盒有黄色乒乓球，有的盒没有，所以“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这件事可能发生，也可能不发生，根据随机事件的定义，该事件是随机事件． 故答案为：随机． （2）解：“盒中有黄色乒乓球”的盒数为（盒）， 所以所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为． （3）解：因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，所以， 即，所以． 16．（24-25九年级下·安徽池州·期中）综合与实践 【项目背景】 某校为了解学生的阅读喜好，成立了由学生组成的调查组．调查组的同学设计了如下的一个调查问卷： 调查问卷你最喜欢阅读的书籍类型是（只选一项）（   ） A．文学类    B．科技类    C．艺术类    D．其他类 【数据收集与整理】 调查组随机抽取了部分问卷，将问卷上的数据整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据所给信息，请完成下列所有任务． 任务1：被抽取的问卷数量是______，扇形统计图中m的值是______． 任务2：请将条形统计图补充完整． 【数据分析与应用】 任务3：若全校有1200名学生，请你估计全校最喜欢阅读A．“文学类”书籍的学生人数． 任务4：学校打算从“A．文学类”“B．科技类”“C．艺术类”书籍中，选择两类书籍进行集中采购，丰富校图书馆的藏书，求恰好选中“A．文学类”和“B．科技类”这两类书籍的概率． 【答案】任务1：200；40；任务2：见解析；任务3：360人；任务4： 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 任务1：根据其他类的人数和所占的百分比即可求出被抽取的问卷数量，用科技类的人数除以总人数即可求出扇形统计图中的值； 任务2：用总人数减去文学类、科技类和其他类的人数求出艺术类的人数即可将条形统计图补充完整； 任务3：用1200乘样本中喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数所占的百分比即可； 任务4：画树状图可得共有6种等可能的结果，其中恰好选中“．文学类”和“．科技类”有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：任务1：被抽取的问卷数量为， ， ； 故答案为：200，40； 任务2：艺术类的人数为（人， 将条形统计图补充完整如下： 任务（人， 答：估计全校最喜欢阅读．“文学类”书籍的学生人数为360人； 任务4：画树状图如下： 由图可得，共有6种等可能的结果，其中恰好选中“．文学类”和“．科技类”这两类书籍的有2种等可能的结果， 恰好选中“．文学类”和“．科技类”这两类书籍的． 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 197 b 480 601 摸到红球的频率 0.61 a 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的a＝______，b＝______； (2)“摸到红球”的频率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)0.62；301 (2)0.6 (3)袋中还有12个其它颜色的球 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到红球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.62；301； （2）由表格的数据可得， 解：“摸到红球”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）解： (个)， 答：除红球外，还有大约12个其它颜色的小球． 18．（2025·北京海淀·三模）为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为_____；若从乙的信息处理速度得分中删去k个数据后中位数仍为n，写出k的一个可能取值_____； (2)若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分． ①从这20名用户任取1人，该用户对甲软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为_____； ②甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升1分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案_____（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将_____（填“增大减小”或“不变”） 【答案】(1)9，2（答案不唯一，小于18的偶数即可） (2)①；②二，减小 【分析】本题主要考查众数，中位数，平均数，方差，概率，统计图的知识； （1）根据信息处理速度得分统计图中可以得到9分人数最多，求出众数，在结合中位数求出k的一个可能取值即可； （2）①分别求出同时满足信息处理速度高分、信息识别准确度高分的最多人数和总人数，根据概率公式计算即可； ②根据平均数和方差的计算方法和定义分析即可． 【详解】（1）解：根据信息处理速度得分统计图中可以得到9分人数最多， ∴甲的众数为：9， ∴的值为：9， 中位数：， ∴为， 若从乙的信息处理速度得分中删去k个数据后中位数仍为n，则k的一个可能取值为：2（答案不唯一，小于18的偶数即可）． 故答案为：9，2（答案不唯一，小于18的偶数即可）． （2）解：①根据题意得： 同时满足信息处理速度高分、信息识别准确度高分的人数最多为：8人； 总人数为：20人， ∴， ∴该用户对甲软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为：， 故答案为：． ②为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案二， ∵低分组每位用户的评分将提升，高分组不变将会提升平均数； 采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， ∵分数波动变小， ∴方差将减小． 故答案为：二，减小． 19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）总共有四张特色明信片，“．西汉鎏金马”是其中一张， ∴抽到“．西汉鎏金马”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中含有．四神纹玉铺首的结果有6种， ∴(抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首)． 20．（2025·四川遂宁·中考真题）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（），，；（）补图见解析；（）人；（） 【分析】（）由组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （）根据（）所得组学生人数补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； （）补全频数分布直方图如下： （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$