专题13 等腰三角形 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

专题13 等腰三角形 期末专项训练 2024~2025学年北师大版数学七年级下册 一、选择题 1．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长是（　　） A． B． C．或 D．不确定 2．如图，已知，下列条件中不能使的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．我们知道等边三角形的每个内角都是．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，若，．则的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 6．如图，中，，其中点D为的中点，若，，则阴影部分的面积是（　　） A．56 B．28 C．14 D．无法确定 7．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 8．如图，已知是正三角形，是边上任意一点，过点作于点，交于点，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，将一个含30°的直角三角板如图放置，若AC∥DE，则∠ABD＝　 　． 10．如图，在等腰中，，点是边上的中点，，则　 　． 11．如图，△ABC的周长为26，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝5，则△ADB的周长是　 　． 12．某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是　 　 13．如图，，O是，垂直平分线的交点，则的度数是　 　． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，在AD上取一点E，连接CE，使得AE＝CE，若∠ECD＝20°，则∠B＝　 　． 15．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　． 16．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为　 　． 三、解答题 17．如图，在中，，点E、F在上，连接，且．已知，试证明． 18．如图，在中，，分别平分和，过点作，分别交边于点和点，如果的周长等于14，的周长等于9，求的长． 19．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，D． （1）若的周长为23，求的长； （2）若，求的度数． 20．如图，在中，垂直平分，分别交于点平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21．如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由． 22．如图，点P在内部，点P关于、对称的点分别为C、D，连接交于点R，连接交于点T，连接，交于点M，交于点N，连接、． （1）若，求的周长； （2）若，，求的度数． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：①是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5， 能组成三角形，周长， 是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5， 能组成三角形，周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是或． 故答案为：C． 【分析】由题意，分两种情况：①当3是腰长时，②当3cm是底边长时，结合三角形三边关系定理判断是否能构成三角形，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， A中，添加，可得，根据能判定，故A不符合题意； B中，添加，利用能判定，故B不符合题意； C中，添加，利用能判定，故C不符合题意； D中，添加，只有两个条件，不能判定，故D符合题意． 故选：D． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据两个三角形全等的常用方法：、、、、．同时注意：、不能判定两个三角形全等，由，得到，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形， ∴EF=FD=ED，CB=AC=BA，∠FED=∠EDF=∠EFD=60°，∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠FDA=∠EFC， ∴△EFC≌△FDA（AAS）， 同理可得△DEB≌△EFC≌△FDA， ∴DB=CE=AF=2， ∵的周长为15， ∴AC=CB=BA=5， ∴BE=3， 故答案为：B 【分析】先根据等边三角形的性质即可得到EF=FD=ED，CB=AC=BA，∠FED=∠EDF=∠EFD=60°，∠A=∠B=∠C=60°，进而得到∠FDA=∠EFC，再根据三角形全等的判定与性质证明△EFC≌△FDA（AAS），△DEB≌△EFC≌△FDA，进而即可得到DB=CE=AF=2，再根据题意得到AC=CB=BA=5，进而即可求解。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， 故当且仅当B、E、M共线并垂直底边AC时，此时BE+EF最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选B． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，当三点共线并垂直时，最小．即求BN得长，最后根据题意的三角形面积公式求出的长即可． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图： ∵等边三角形的每个内角都是60°， ∴， ∵，． ∴， 则 ∵ ∴ 故选：C. 【分析】本题考查了角的和差运算，由等边三角形的每个内角都是60°，得到和，求得，得到结合即可得到答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C． 【分析】根据三角形中线的定义和性质先求出，，从而得，进而得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，最后利用三角形面积公式进行求解. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线， ∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm）， ∵△ADC的周长为9cm， 即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）． ∴△ABC的周长为15cm 故答案选C． 【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，， ∴∠CFD=90°，∠EDC=90°， ∵是正三角形， ∴∠C=60°， 在△CDF中，∠CDF=180°-∠C-∠CFD=180°-60°-90°=30°， ∴∠EDF=∠EDC-∠CDF=90°-30°=60°， 故答案为：C. 【分析】先利用垂直的性质可得∠CFD=90°，∠EDC=90°，结合等边三角形的性质可得∠C=60°，再利用三角形的内角和及角的运算求出∠EDF=∠EDC-∠CDF=90°-30°=60°即可. 9．【答案】15° 【解析】【解答】解：根据题意得：∠E=30°，∠DBE=60°， ∵AC∥DE， ∴∠ACB=∠E=30°， ∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC=75°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=15°， 故答案为：15° 【分析】 根据平行线的性质即可由AC∥DE，可得∠ACB=∠E=30°，再由等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=75°，利用角度的和差运算，即可求解． 10．【答案】65 【解析】【解答】解：∵，点是边上的中点， ∴，平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：65． 【分析】 本题考查三线合一，即等腰三角形的底边中线、高线及顶角平分线三线合一，根据三线合一，得到，平分，进行求解即可． 11．【答案】16 【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为26， ∴AB+BC+AC＝26， ∵DE是线段AC的垂直平分线，AE＝5， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝10， ∴AB+BC＝16， ∴△ADB的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16， 故答案为：16． 【分析】先利用垂直平分线的性质可得DA＝DC，AC＝2AE＝10，再结合AB+BC＝16，利用三角形的周长公式及等量代换求解即可. 12．【答案】37 【解析】【解答】解：∵边上的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为：37． 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=AE，然后根据三角形的周长公式、等量代换及线段的和差可举哀那个△ACE的周长转化为AC+BC，从而代值即可求解． 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接． ， ． O是，垂直平分线的交点， ，， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【分析】先利用根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，求得，再求出，然后利用三角形内角和定理进行求的度数． 14．【答案】55 【解析】【解答】解：设∠EAC=x， ∴∠ACD=x+20°， ∵AE=CE， ∴∠EAC=∠ECD=x， ∵AB=AC， AD是BC边上的中线， ∴∠BAC=2∠EAC=2x，∠B=∠ACD=x+20°， ∴∠BAC+∠B+∠ACD=x+20°+x+20°+2x=180°， 解得x=35°， ∴∠B=x+20°=55°. 故答案为：55. 【分析】设∠EAC=x，根据等边对等角得出∠EAC=∠ECD=x，再根据等腰三角形的性质分别用含x的代数式表示出∠BAC、∠B和∠ACD，然后根据三角形内角和定理建立方程求解，即可解答. 15．【答案】10° 【解析】【解答】∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点， ∴AD=BD，AE=CE， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE， ∵∠B=40°，∠C=45°， ∴∠B+∠C=85°， ∴∠BAD+∠CAE=85°， ∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=180°-85°-85°=10°， 故答案为10° 【分析】根据线段的垂直平分线得出AD=BD，AE=CE，推出∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案． 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】如图，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【分析】过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小，根据面积法求得AH的值，再根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合垂线段最短可求解． 17．【答案】证明：如图所示，取中点G，连接， ∵， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在在中，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】【分析】根据条件构造出直角三角形，利用HL的判定方法，得出对应角，利用三角形内角和定理和外角定理求出. 18．【答案】解：分别平分和， ， ， ， ， ， 的周长等于9， ， 的周长等于14，， ， ， 的长为4． 【解析】【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ABO=∠OBC=∠DOB，∠ECO=∠OCB=∠EOC，利用等角对等边可得， 由△ADE的周长等于9，可得AB+AC=9，根据△ABC的周长=AB+BC+AC=14且AB=AC即可求解. 19．【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴， ∵的周长为23， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线定理得出AD=BD，根据BC +CD＋BD = 23cm，求出AC +BC =23cm，把AC的长代入求出即可； （2）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ABC=∠ACB=69°，再由等边对等角可求出∠ABD=∠A=42°，易求∠DBC. 20．【答案】（1）解：垂直平分， ， ， 又平分， ， （2）解：由（1）得，， 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知AE=BE，推出∠BAE=∠B，再根据角平分线推出∠CAE=∠BAE，再根据三角形内角和为180°，即可求出∠C的度数. （2）根据角平分线的性质得到DE=EC. 21．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：BD=EF，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）先利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到∠ABC的度数，接着由角平分线的定义得到∠CBD的度数，然后通过平行线的性质求得∠E的度数； （2）先利用平行线的性质和角平分线的定义证得∠ABD=∠CBD=∠AEF，由等角对等边得AB=AE，再由等边对等角得∠ADF=∠AFD，进而通过等角的补角相等得∠ADB=∠AFE，然后通过AAS判定△ABD≌△AEF，得到BD=EF. 22．【答案】（1）解：∵点P关于，的对称点分别为C、D， ∴，． ∴△PMN的周长 （2）解：∵，， ∴． ∵，，，， ∴，， ∴ 【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质可得，，故的周长等于CD的长度. (2)先通过三角形的内角和定理得到的度数，再利用等腰三角形的性质求得的度数 学科网（北京）股份有限公司 $$