14.3 角的平分线-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（人教版2024）

14.3 角的平分线 知识点1 角平分线的性质 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 内心:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 知识点2 角平分线的判定 判定:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 例1 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于点E,CD=4,则DE 的 长为 . 解析:∵BD 平分∠ABC,∠ACB=90°,DE⊥AB 于点E,∴DE=CD=4.故答案:4. 例2 如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,BD 平分∠ABC,交AC 于点D,若AD=2,BC=6,则 △BCD 的面积为 . 解析:如图,过点D 作DE⊥BC 交于点E,∵DE⊥BC,∠A=90°,BD 平分∠ABC,∴DE= AD=2,∵BC=6,∴S△BCD= 1 2BC ·DE=12×6×2=6. 例3 如图,AB=AC,BD=CD,DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点N.求证:DM=DN. 97 解析:连接AD,在△ABD 和△ACD 中, DB=DC, BA=CA, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABD≌△ACD SSS ,∴∠BAD= ∠CAD,又∵DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN. 例4 如图,△ABC 中,D,E 分别是边AB,AC 延长线上的点,AP 平分∠BAC,BP 平分 ∠CBD,求证:CP 平分∠BCE. 证明:过点P 分别作PF⊥AD,PG⊥AE,PH⊥BC. ∵AP 平分∠BAC(已知), 且PF⊥AD,PG⊥AE, ∴ (角平分线上的点到角的两边的距离相等). ∵BP 平分∠CBD, 且 , ∴PF=PH, ∴ (等量代换). 又∵PG⊥AE,PH⊥BC, ∴CP 平分∠BCE( ). 解析:过点P 分别作PF⊥AD,PG⊥AE,PH⊥BC.∵AP 平分∠BAC(已知),且PF⊥AD, PG⊥AE,∴PG=PF(角平分线上的点到角的两边的距离相等).∵BP 平分∠CBD,且PH⊥ BC,∴PF=PH,∴PH=PG(等量代换).又∵PG⊥AE,PH⊥BC,∴CP 平分∠BCE(角的内 部到角的两边距离相等的点在角平分线上). 例5 如图,在四边形ABCD 中,AB=AC,CE⊥AD,垂足为点E.如果CE=12BC ,∠CAD= 18°,那么∠B= °. 解析:过点A 作AF⊥CB,∵AB=AC,∴CF=12BC ,∵CE=12BC ,∴CE= CF,∵CE⊥AD,∴AC 平 分∠EAF,∴∠EAC=∠FAC,∵AB=AC, ∴△ACB 为等腰三角形,∴AF 平分∠CAB,∵∠CAD=18°,∴∠FAB=18°, 08 ∴∠B=180°-90°-18°=72°.故答案:72. 例6 如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,∠BAD=120°,∠ABC 的平分线BE 交AC 于点E, 过点E 作EF⊥AB 交BA 的延长线于点F,且∠AEF=60°,连接DE.求证:DE 平分∠ADC. 解析:如图,过点E 作EG⊥AD 于点G,EH⊥BC 于点H. ∵EF⊥AB,∠AEF=60°,∴∠EAF=90°-60°=30°.∵∠BAD=120°,∴∠CAD=180°- 120°-30°=30°,∴∠EAF=∠CAD=30°,即AC 平分∠DAF.又∵EF⊥AF,EG⊥AD,∴EF =EG.∵BE 是角平分线,EF⊥AB,EH⊥BC,∴EF=EH,∴EG=EH,∴点E 在∠ADC 的 平分线上,∴DE 平分∠ADC. 例7 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB, AC 于点M 和N,再分别以点M 和N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P,作射 线AP 交BC 于点D,则下列结论:①AD 是△ABC 的角平分线;②点D 在线段AB 的垂直平分 线上;③∠ADC=60°;④S△ABC∶S△ADC=3∶1,其中正确结论的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析:①根据尺规作角平分线的知识可知AD 是∠BAC 的平分线,故①正确;②∵在△ABC 中, ∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠CAD=∠BAD= 1 2∠CAB=30°.∴∠BAD=∠B=30° ,∴AD=BD,∴点D 在AB 的垂直平分线上,故②正确; ③∵∠CAD=30°,∠C=90°.∴∠ADC=90°-∠CAD=60°,故③正确;④∵在Rt△ACD 中, ∠CAD=30°,∴CD=12AD ,∵AD=BD,BD+CD=BC,∴BC=32AD ,∵S△ABC= 1 2AC · BC=34AC ·AD,S△DAC= 1 2AC ·CD=14AC ·AD,∴S△ABC∶S△ADC=3∶1,故④正确.综上所 述,正确的结论:①②③④,共有4个.故选D. 例8 某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园,使其到三条公路的距 离相等,请问物流园所建位置应是 ( ) A. 三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点 18 C. 三角形三条中线的交点 D. 三角形三条高的交点 解析:∵角平分线上的点到角两边的距离相等,∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分 线的交点上.故选:A. 1. 如图,在△ABC 中,BP 平分∠ABC,AP⊥BP 于点P,连接PC,若△PAB 的面积为10, △PAC 的面积为4,则△PBC 的面积为 ( ) A. 9 B. 12 C. 14 D. 18 第1题 第2题 第3题 2. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,ED⊥AB 于D 且ED=EC,如果∠A=40°,那么∠EBD 的 度数是 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3. 如图,在△ABC 中,D,E 为边AC 上两点,连接BD,BE,DF⊥BE 于点F,若∠A=90°,AD =DF,∠DBF=25°,则∠BEC 的度数为 ( ) A. 115° B. 120° C. 125° D. 140° 4. 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O,过O 点作EF∥BC 交AB 于点 E,交AC 于点F,过点O 作OD⊥AC 于D,下列四个结论.①EF=BE+CF;②∠BOC=90° +12∠A ;③点O 到△ABC 各边的距离相等;④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF= 1 2mn , 正确的结论有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第4题 第5题 第6题 5. 某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场,如图,要使这个砂石场到三条 公路的距离相等,则可供选择的地址 ( ) A. 仅有一处 B. 有四处 C. 有七处 D. 有无数处 6. 如图,已知在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,且CD=7,则点D 到AB 边的距离 为 . 28 7. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,作∠CAB 的平分线AP 交BC 于点D.若AB=10,S△ABD=20,则 CD 的长为 . 第7题 第8题 第9题 第10题 8. 如图,在△ABC 中,∠CAB=50°,点D 在△ABC 的外部,且AD 平分∠BAC,过点D 作 DE⊥AC,交AC的延长线于点E,DF⊥BC,交BC 于点F,连接BD.若∠BCE=104°,DE= DF,则∠DBC的度数为 . 9. 如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点F,过点F 作DE∥BC,交 AB 于点D,交AC 于点E,下列结论: ①DE=BD+CE; ②∠BFC=90°+∠A; ③点F 一定在BC 的垂直平分线上; ④点F 到AB,AC,BC 三边的距离相等. 其中所有正确的结论是 .(填序号) 10. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG 和△AED 的面积 分别为50和38,则△EDF 的面积为 . 11. 如图,在Rt△ABC,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点E,点F 在AC 上,BD=DF. (1) 求证:BE=FC; (2) 若AB=15,AF=9,求FC 的长. 12. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AC,∠D=90°,BE⊥AC 于点F,交CD 于点E,连接EA, 若EA 平分∠DEF. (1) 求证:△ABF≌△ACD; (2) 若BF=7,DE=3,求CF 的长. 38 13. 如图,铁路OA 和铁路OB 交于O 处,河道AB 与铁路分别交于A 处和B 处,试在河岸上建 一座水厂M,要求M 到铁路OA,OB 的距离相等,则该水厂M 应建在图中什么位置? 请在 图中标出M 点的位置. 14. 如图,已知OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.求证: (1) PO 平分∠APB; (2) OP 是AB 的垂直平分线. 15. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE⊥AB 于点E,∠B+∠AFD=180°,点F 在AC 上, BD=DF. (1) 求证:AD 平分∠BAC; (2) 求证:AB=AF+2BE. 16. 如图,△ABC 中,点D 在BC 边上,∠DAC=40°,∠ABC 的平分线交AC 于点E,过点E 作 EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE. (1) 求证:DE 平分∠ADC; (2) 若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE 的面积. 48 (2)∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即 AF=CE,在△AFD 和△CEB 中, ∠A=∠C, ∠D=∠B, AF=CE, ∴△AFD≌△CEB(AAS). 16. ∵∠A=∠B=90°,∴△ADE 和△BEC 均为直 角三 角 形,在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中, ∵ DE=EC , AE=BC, ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 17. (1)在 △ABC 与 △DEF 中, BC=EF, AB=DE, AC=DF, ∴△ABC ≌ △DEF (SSS),∴ ∠BCA = ∠EFD,∴BC∥EF; (2)∵△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D,∵AC= DF,∴AC-CF=DF-CF,∴AF=DC, ∵AB=DE,∴ △ABF ≌ △DEC (SAS), ∴CE=BF. 14.3 角的平分线 1. C 2. A 3. D 4. D 5. A 6. 7 7. 4 8. 63° 9. ①④ 10. 6 11. (1)∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB, ∴DE=DC.∵∠DCF=∠DEB=90°,BD= FD,DC=DE,∴Rt△DBE≌Rt△DFC HL . ∴BE=FC; (2)∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB, ∴DE=DC,∵∠ACD=∠AED=90°,AD= AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED HL , ∴AC=AE,∴AB-BE=AF+FC,∵BE= FC,∴AB-FC=AF+FC.∵AB=15,AF= 9,∴FC=AB-AF2 =3. 12. (1)∵EA 平分∠DEF,∠D=90°,BE⊥AC, ∴AF=AD,∵AB =AC,∴Rt△ABF ≌ Rt△ACD HL ; (2)由(1)可知:△ABF≌△ACD,AF=AD, ∴BF=CD=7,∵DE=3,∴CE=4,∵AE= AE,AF=AD,∴Rt△AEF≌Rt△AED HL , ∴EF=DE=3,∴CF= CE2-EF2=7. 13. 如图所示,作∠AOB 的平分线交AB 于点M,点 M 即为水厂的位置. 14. (1)∵OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB, ∴PA=PB,在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中, PA=PB, OP=OP, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP HL , ∴∠APO=∠BPO,即PO 平分∠APB; (2)∵Rt△AOP≌Rt△BOP,∴OA=OB,又∵ PA=PB,∴OP 是AB 的垂直平分线. 15. (1)∵DE⊥AB,∴∠BED=∠AED=90°, ∵∠CFD+∠AFD=180°,∠B+∠AFD= 180°,∴∠CFD=∠EBD,∵∠C=90°,∴∠C= ∠BED =90°,∴ 在 △CDF 和 △EDB 中, ∠C=∠BED=90°, ∠CFD=∠EBD, DF=DB, ∴ △CDF ≌ △EDB AAS ,∴DC=DE,∵DE⊥AB,DC⊥AC, ∴点D 在 ∠BAC 的 平 分 线 上,∴AD 平 分∠BAC; (2)∵AD 平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB, 在△CDA 和△EDA 中, ∠C=∠AED=90°, ∠DAC=∠DAB, AD=AD, ∴△CDA≌△EDA AAS , ∴AC=AE,∴AC=AE=AF+FC,由(1)得 △CDF≌△EDB,∴CF=BE,∴AE=AF+ FC=AF+BE,∴AB=AE+EB=AF+2BE, ∴AB=AF+2BE. 16. (1)过点E 作EG⊥AD 于G,EH⊥BC 于H,如 图: ∵EF⊥AB,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°- 50°=40°,∵∠DAC=40°,∴∠FAE=∠DAC, ∴CA 平分∠DAF,又∵EF⊥AB,EG⊥AD, ∴EF=EG,∵BE 是∠ABC 的平分线,EH⊥ BC,EF⊥AB,∴EF=EH,∴EG=EH,∴点 E 在∠ADC 的平分线上,∴DE 平分∠ADC; (2)设EG=x,由(1)得:EF=EH=EG=x, ∵S△ACD=15,AD=4,CD=8,∴ 1 2AD ·EG+ 1 2CD ·EH=15,即:4x+8x=30,解得:x= 2.5,∴EF=x=2.5,∴S△ABE= 1 2AB ·EF= 1 2×7×2.5= 35 4. 第四部分 新知测效 暑期学情测评(一) 1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. A 8. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31