14.2 三角形全等的判定-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（人教版2024）

BD=245 ,∴S△ABC= 1 2AC ·BD=12AC ·24 5= 24,解得AC=10. 13.3 三角形的内角与外角 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. B 8. B 9. 直角三角形 10. 75 11. 25° 12. 22 13. 60° 14. 1 2α 90°+ 1 2α 15. (1)∵∠AFE=∠ABE+∠BAD,∠BAD= ∠EBC,∴ ∠AFE = ∠ABE + ∠EBC = ∠ABC,即∠ABC=∠AFE; (2)∵∠BFD=∠AFE=∠ABC=35°,又∵ EG∥AD,∴∠BEG=∠BFD=35°,∵EH⊥ BE,∴∠BEH=90°,∴∠HEG=∠BEH - ∠BEG=55°. 16. ∵∠DFE=∠B+∠BEF,∠B=42°,∠DFE= 73°,∴∠BEF=73°-42°=31°,∵EF 平分 ∠DEB,∴∠DEB=2∠FEB=62°,∵DE∥ AC,∴∠C=∠DEB=62°,∵∠A+∠B+ ∠C=180°,∴∠A=180°-42°-62°=76°. 17. (1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+ ∠COD=180°,∠AOB = ∠COD,∴ ∠A + ∠B=∠C+∠D; (2)结论:∠B+∠C=2∠P,理由如下,∵AP,DP 分别是∠BAO,∠CDO 的平分线,∴∠BAP= ∠PAC = 12 ∠BAO ,∠BDP = ∠PDC = 1 2∠CDO ,由(1)可知,∠BAO+∠B=∠CDO+ ∠C,∠B+∠BAP=∠BDP+∠P,∠PDC+ ∠C=∠PAO+∠P,即∠B+ 12∠BAO= 1 2∠ODC+∠P ,∠C+12∠CDO= 1 2∠BAO+ ∠P,∴∠B+∠C=2∠P; (3)结 论:2∠P = ∠B + ∠C.理 由 如 下, ∵∠BAO 与∠CDO 的相邻补角平分线交于点 P,∴∠PAB=12 (180°-∠BAO),∠PDB= 1 2 (180°-∠BDC),∵∠P+∠PAB=∠B+ ∠PDB,∴∠P+12 (180°-∠BAO)=∠B+ 1 2 (180°-∠BDC),即2∠P-∠BAO=2∠B- ∠BDC①,又∵∠BAO+∠B=∠C+∠BDC②, ①+②得2∠P=∠B+∠C. 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 1. D 2. D 3. A 4. B 5. A 6. 3 7. 2 8. 3 9. 15 10. 当△OBM≌△AMN 时,∴AM=OB= 7, ∵OA=4,∴OM=OA-AM=4- 7,∴点M 表示的数为4- 7;当△OBM≌△ANM 时, ∴OM=AM,∵AO=4,∴OM=2,∴点M 表 示的数为2,∴点M 表示的数为4-7或2. 11. 设点P 的运动时间为t秒,如图1,当点Q 在BC 上时,此时AP=t cm,BQ=2t cm,∴PC= (7-t)cm,CQ=(8-2t)cm, 图1 ∵△PMC≌△CNQ,∴PC=CQ,∴7-t=8- 2t,∴t=1;即点P 的运动时间为1秒; 如图2,当点Q 在AC 上时,此时点P 与点Q 重 合,AP=t cm,BC+CQ=2t cm,∴PC=(7- t)cm,CQ=(2t-8)cm, 图2 ∵△PCM≌△QCN,∴PC=CQ,∴7-t=2t- 8,∴t=5;即点P 的运动时间为5秒,综上所 述,当△PMC 与△QNC 全等时,点P 的运动时 间为1秒或5秒. 14.2 三角形全等的判定 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. OC=OD(答案不唯一) 10. ASA或角边角 11. 80 12. 6 13. 1 2 14. ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB= ED,在 △ABC 和 △EDF 中, AB=ED, ∠A=∠E, AC=EF, ∴△ABC≌△EDF(SAS). 15. (1)∵DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E, ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C, ∴AD∥BC; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 (2)∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即 AF=CE,在△AFD 和△CEB 中, ∠A=∠C, ∠D=∠B, AF=CE, ∴△AFD≌△CEB(AAS). 16. ∵∠A=∠B=90°,∴△ADE 和△BEC 均为直 角三 角 形,在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中, ∵ DE=EC , AE=BC, ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 17. (1)在 △ABC 与 △DEF 中, BC=EF, AB=DE, AC=DF, ∴△ABC ≌ △DEF (SSS),∴ ∠BCA = ∠EFD,∴BC∥EF; (2)∵△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D,∵AC= DF,∴AC-CF=DF-CF,∴AF=DC, ∵AB=DE,∴ △ABF ≌ △DEC (SAS), ∴CE=BF. 14.3 角的平分线 1. C 2. A 3. D 4. D 5. A 6. 7 7. 4 8. 63° 9. ①④ 10. 6 11. (1)∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB, ∴DE=DC.∵∠DCF=∠DEB=90°,BD= FD,DC=DE,∴Rt△DBE≌Rt△DFC HL . ∴BE=FC; (2)∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB, ∴DE=DC,∵∠ACD=∠AED=90°,AD= AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED HL , ∴AC=AE,∴AB-BE=AF+FC,∵BE= FC,∴AB-FC=AF+FC.∵AB=15,AF= 9,∴FC=AB-AF2 =3. 12. (1)∵EA 平分∠DEF,∠D=90°,BE⊥AC, ∴AF=AD,∵AB =AC,∴Rt△ABF ≌ Rt△ACD HL ; (2)由(1)可知:△ABF≌△ACD,AF=AD, ∴BF=CD=7,∵DE=3,∴CE=4,∵AE= AE,AF=AD,∴Rt△AEF≌Rt△AED HL , ∴EF=DE=3,∴CF= CE2-EF2=7. 13. 如图所示,作∠AOB 的平分线交AB 于点M,点 M 即为水厂的位置. 14. (1)∵OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB, ∴PA=PB,在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中, PA=PB, OP=OP, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP HL , ∴∠APO=∠BPO,即PO 平分∠APB; (2)∵Rt△AOP≌Rt△BOP,∴OA=OB,又∵ PA=PB,∴OP 是AB 的垂直平分线. 15. (1)∵DE⊥AB,∴∠BED=∠AED=90°, ∵∠CFD+∠AFD=180°,∠B+∠AFD= 180°,∴∠CFD=∠EBD,∵∠C=90°,∴∠C= ∠BED =90°,∴ 在 △CDF 和 △EDB 中, ∠C=∠BED=90°, ∠CFD=∠EBD, DF=DB, ∴ △CDF ≌ △EDB AAS ,∴DC=DE,∵DE⊥AB,DC⊥AC, ∴点D 在 ∠BAC 的 平 分 线 上,∴AD 平 分∠BAC; (2)∵AD 平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB, 在△CDA 和△EDA 中, ∠C=∠AED=90°, ∠DAC=∠DAB, AD=AD, ∴△CDA≌△EDA AAS , ∴AC=AE,∴AC=AE=AF+FC,由(1)得 △CDF≌△EDB,∴CF=BE,∴AE=AF+ FC=AF+BE,∴AB=AE+EB=AF+2BE, ∴AB=AF+2BE. 16. (1)过点E 作EG⊥AD 于G,EH⊥BC 于H,如 图: ∵EF⊥AB,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°- 50°=40°,∵∠DAC=40°,∴∠FAE=∠DAC, ∴CA 平分∠DAF,又∵EF⊥AB,EG⊥AD, ∴EF=EG,∵BE 是∠ABC 的平分线,EH⊥ BC,EF⊥AB,∴EF=EH,∴EG=EH,∴点 E 在∠ADC 的平分线上,∴DE 平分∠ADC; (2)设EG=x,由(1)得:EF=EH=EG=x, ∵S△ACD=15,AD=4,CD=8,∴ 1 2AD ·EG+ 1 2CD ·EH=15,即:4x+8x=30,解得:x= 2.5,∴EF=x=2.5,∴S△ABE= 1 2AB ·EF= 1 2×7×2.5= 35 4. 第四部分 新知测效 暑期学情测评(一) 1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. A 8. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 14.2 三角形全等的判定 1. SSS:三边分别相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”. 2. ASA:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”. 3. AAS:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”. 4. SAS:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”. 5. HL:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”. 6. 证三角形全等时,常见的隐含等角有: (1) 公共角; (2) 对顶角相等; (3) 等角加(或减)等角仍得等角; (4) 角平分线得两等角; (5) 同角(或等角)的余角或补角相等; (6) 平行线得同位角、内错角相等; (7) 垂直定义得两角相等; (8) 一些自然规律:“太阳光线可以看作是平行线”“光的反射角等于入射角”等也是常见的隐 含条件. 例1 如图,AC,BD 相交于点E,DE=EC,∠D=∠C.求证△ABD≌△BAC. 解析:∵AC,BD 相交于点E,∴∠AED=∠BEC, 在△AED 和△BEC 中, ∠AED=∠BEC, DE=CE, ∠D=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED ≌ △BEC (ASA),∴AE =BE,∴ ∠CAB = ∠DBA, AC=BD, 在△ABD 和△BAC 中, AB=BA, ∠DBA=∠CAB, BD=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 47 ∴△ABD≌△BAC(SAS). 例2 如图,点D,E 分别在线段AB,AC 上,AB=AC,BE,CD 相交于点O,要使△ABE≌ △ACD,需添加一个条件是 .(只要写一个条件) 解析:添加条件:∠B=∠C,在△ABE 和△ACD 中, ∠A=∠A, AB=AC, ∠B=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABE≌△ACD(ASA). 故答案:∠B=∠C(答案不唯一). 例3 如图,在 Rt△ABC 与 Rt△DCB 中,已知∠A=∠D=90°,添加一个条件,不能使 Rt△ABC≌Rt△DCB 的是 ( ) A. AB=DC B. AC=DB C. ∠ABC=∠DCB D. ∠ABD=∠DCA 解析:AB. 由HL判定Rt△ABC≌Rt△DCB,故A,B不符合题意;C. 由AAS判定Rt△ABC≌ Rt△DCB,故C不符合题意;D. ∠ABD 和∠DCA 不是Rt△ABC 和Rt△DCB 的角,∠ABD= ∠DCA 不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB,故D符合题意.故选:D. 例4 如图,∠A=∠D=90°,AB=DF,BE=CF.求证: (1) △ABC≌△DFE; (2) 若DE=33,BC=6,BC=2AB,求点D 到直线BF 的距离. 解析:(1)∵∠A=∠D=90°,AB=DF,BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即BC=FE, 在Rt△ABC 和Rt△DFE 中, BC=FE, AB=DF, ∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL); (2) ∵DE=33,BC=6,BC=2AB,∴AB=3,∵△ABC≌△DFE,∴EF=BC=6,DF= AB=3,设点D 到直线BF 的距离为h,∵∠D=90°,∴S△DEF= 1 2DE ·DF=12EF ·h, 57 ∴12×3×33= 1 2×6h ,∴h=332 ,∴点D 到直线BF 的距离为332 . 例5 如图,小明与小敏玩跷跷板游戏,支点O 是跷跷板的中点,两人分别坐在跷跷板两端(即 OF=OG),如果点O 至地面的距离是50 cm,当小敏从水平位置CD 下降40 cm,这时小明离地 面的高度是 . 解析:由题意可知,OF=OG,∠FOC=∠DOG,∠FCO=∠GDO=90°, ∴△FCO≌△GDO(AAS),∴FC=GD, ∵小敏从水平位置CD 下降40 cm,即DG=40 cm,∴CF=40 cm, 又∵点O 至地面的距离是50 cm,∴这时小明离地面的高度是50+40=90(cm),故答案: 90 cm. 1. 根据下列条件,能作出唯一的△ABC 的是 ( ) A. AB=3,AC=4,∠B=30° B. AB=3,BC=4,AC=8 C. ∠A=50°,∠B=60°,AB=4 D. ∠C=90°,AB=5 2. 如图,已知AM=CN,∠MAB=∠NCD,下列条件不能判定是△ABM≌ △CDN 的是 ( ) A. ∠M=∠N B. BM∥DN C. AB=CD D. MB=ND 第2题 第3题 第4题 第5题 3. 如图,要测量河两岸相对的两点A,B 的距离,先在河岸BF 上取两点C,D;使CD=BC,再作 DE⊥BF,垂足为D,使A,C,E 三点在一条直线上,测得ED=20米,因此AB 的长是 ( ) A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 4. 如图,在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F.若AC=BD,AB= ED,BC=BE,则∠ACB 等于 ( ) A. ∠EDB B. ∠BED C. 1 2∠AFB D. 2∠ABF 5. 如图,△ABC的面积为S,AD平分∠BAC,AD⊥BD于D,连接CD,则△ACD的面积为 ( ) A. 2S 3 B. S 3 C. S 2 D. S 67 6. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= ( ) A. 90° B. 100° C. 120° D. 135° 第6题 第7题 第8题 7. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,CE⊥AB 于点E,AD 和CE 交于点F,已知EF=EB= 6,AE=8,则CF= ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图,AD 为△ABC 的中线,AB=10,AC=4,则AD 的长度可能为 ( ) A. 2.9 B. 5.4 C. 7.3 D. 8.8 9. 如图,已知AD 与BC 交于O 点,OA=OB,要使△AOC≌△BOD,添加一个你认为合适的条 件为 . 第9题 第10题 第11题 10. 如图,要测量河岸相对两点A,B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C,D,使CD=BC, 再作出BF 的垂线DE,使A,C,E 在同一直线上,可以证明△EDC≌△ABC 得ED=AB, 因此测得DE 的长就是AB 的长,判断△EDC≌△ABC 的理由是 . 11. 如图,AD=DE,AB=BE,∠CED=100°,则∠A= °. 12. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5,AD 平分∠CAB 交BC 于D, DE⊥AB 于E,则△BDE 的周长等于 . 第12题 第13题 13. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,∠A 的平分线AD 与BC 相交于点D,过点B 作 BE⊥AD 交AD 的延长线于点E.分别延长BE,AC 相交于点F.判断BE,AD 的数量关 系,BE= AD. 77 14. 已知:如图,点A,D,B,E 在同一直线上,AC=EF,AD=BE,∠A=∠E.求证:△ABC ≌△EDF. 15. 如图,已知∠D=∠B,DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E. (1) 求证:AD∥BC; (2) 若AE=CF,求证:△AFD≌△CEB. 16. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,E 是AB 上的一点,且AE=BC,连接DE,EC, DE=EC.求证:Rt△ADE≌Rt△BEC. 17. 如图,已知:A,F,C,D 在同一条直线上,BC=EF,AB=DE,AC=FD.求证: (1) BC∥EF; (2) CE=BF. 87