13.3 三角形的内角与外角-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（人教版2024）

BD=245 ,∴S△ABC= 1 2AC ·BD=12AC ·24 5= 24,解得AC=10. 13.3 三角形的内角与外角 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. B 8. B 9. 直角三角形 10. 75 11. 25° 12. 22 13. 60° 14. 1 2α 90°+ 1 2α 15. (1)∵∠AFE=∠ABE+∠BAD,∠BAD= ∠EBC,∴ ∠AFE = ∠ABE + ∠EBC = ∠ABC,即∠ABC=∠AFE; (2)∵∠BFD=∠AFE=∠ABC=35°,又∵ EG∥AD,∴∠BEG=∠BFD=35°,∵EH⊥ BE,∴∠BEH=90°,∴∠HEG=∠BEH - ∠BEG=55°. 16. ∵∠DFE=∠B+∠BEF,∠B=42°,∠DFE= 73°,∴∠BEF=73°-42°=31°,∵EF 平分 ∠DEB,∴∠DEB=2∠FEB=62°,∵DE∥ AC,∴∠C=∠DEB=62°,∵∠A+∠B+ ∠C=180°,∴∠A=180°-42°-62°=76°. 17. (1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+ ∠COD=180°,∠AOB = ∠COD,∴ ∠A + ∠B=∠C+∠D; (2)结论:∠B+∠C=2∠P,理由如下,∵AP,DP 分别是∠BAO,∠CDO 的平分线,∴∠BAP= ∠PAC = 12 ∠BAO ,∠BDP = ∠PDC = 1 2∠CDO ,由(1)可知,∠BAO+∠B=∠CDO+ ∠C,∠B+∠BAP=∠BDP+∠P,∠PDC+ ∠C=∠PAO+∠P,即∠B+ 12∠BAO= 1 2∠ODC+∠P ,∠C+12∠CDO= 1 2∠BAO+ ∠P,∴∠B+∠C=2∠P; (3)结 论:2∠P = ∠B + ∠C.理 由 如 下, ∵∠BAO 与∠CDO 的相邻补角平分线交于点 P,∴∠PAB=12 (180°-∠BAO),∠PDB= 1 2 (180°-∠BDC),∵∠P+∠PAB=∠B+ ∠PDB,∴∠P+12 (180°-∠BAO)=∠B+ 1 2 (180°-∠BDC),即2∠P-∠BAO=2∠B- ∠BDC①,又∵∠BAO+∠B=∠C+∠BDC②, ①+②得2∠P=∠B+∠C. 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 1. D 2. D 3. A 4. B 5. A 6. 3 7. 2 8. 3 9. 15 10. 当△OBM≌△AMN 时,∴AM=OB= 7, ∵OA=4,∴OM=OA-AM=4- 7,∴点M 表示的数为4- 7;当△OBM≌△ANM 时, ∴OM=AM,∵AO=4,∴OM=2,∴点M 表 示的数为2,∴点M 表示的数为4-7或2. 11. 设点P 的运动时间为t秒,如图1,当点Q 在BC 上时,此时AP=t cm,BQ=2t cm,∴PC= (7-t)cm,CQ=(8-2t)cm, 图1 ∵△PMC≌△CNQ,∴PC=CQ,∴7-t=8- 2t,∴t=1;即点P 的运动时间为1秒; 如图2,当点Q 在AC 上时,此时点P 与点Q 重 合,AP=t cm,BC+CQ=2t cm,∴PC=(7- t)cm,CQ=(2t-8)cm, 图2 ∵△PCM≌△QCN,∴PC=CQ,∴7-t=2t- 8,∴t=5;即点P 的运动时间为5秒,综上所 述,当△PMC 与△QNC 全等时,点P 的运动时 间为1秒或5秒. 14.2 三角形全等的判定 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. OC=OD(答案不唯一) 10. ASA或角边角 11. 80 12. 6 13. 1 2 14. ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB= ED,在 △ABC 和 △EDF 中, AB=ED, ∠A=∠E, AC=EF, ∴△ABC≌△EDF(SAS). 15. (1)∵DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E, ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C, ∴AD∥BC; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 13.3 三角形的内角与外角 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°,即:在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180°. 三角形的外角定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角. 性质: (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的外角和定理:三角形的外角和是360°. 例1 如图,已知l1∥l2,∠A=45°,∠2=100°,则∠1的度数为 ( ) A. 50° B. 55° C. 45° D. 60° 解析:∵∠2=100°,∴∠ACB=180°-100°=80°,∵∠A=45°,∴∠ABC=180°-45°-80°=55°, ∵l1∥l2,∴∠1=∠ABC=55°.故选:B. 例2 如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,∠ACE=40°,BD 平分∠ABC,CE⊥AB 于点E,则 ∠ADB 的度数为 ( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 解析:∵ ∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,∠ABD=∠DBC=30°,∵ ∠ACE=40°,CE⊥AB, ∴∠A=90°-40°=50°,∠ADB=180°-∠A-∠ABD=100°.故选:B. 例3 在△ABC 中,如果∠A-∠B=90°,那么△ABC 是 ( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 斜三角形 解析:在△ABC 中,∵∠A-∠B=90°,∴∠A=90°+∠B>90°(∠B 肯定大于0°),那么△ABC 是钝角三角形.故选:B. 例4 如图,已知AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=55°,则∠ABE 的度数为 ( ) 66 A. 155° B. 125° C. 135° D. 145° 解析:∵∠CDE=55°,∴∠A+∠C=55°,∵∠C=∠E,∴∠CBE=∠A+∠E=55°,∴∠ABE =180°-∠CBE=125°.故选:B. 1. 在△ABC 中,若∠A=40°,∠B=35°,则△ABC 是 ( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 2. 直角三角形的一锐角是50°,那么另一锐角是 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 3. 如图,∠BCD 是△ABC 的一个外角,E 是边AB 上一点,连接CE,下列结论不一定正确的是 ( ) A. ∠BCD>∠A B. ∠BCD>∠1 C. ∠2>∠3 D. ∠BCD=∠A+∠B 第3题 第4题 第5题 4. 如图,已知AD 和AE 分别是△ABC 的高线和角平分线,若∠B=56°,∠EAD=10°,则∠C 的度数为 ( ) A. 80° B. 76° C. 74° D. 66° 5. 如图,△ABC 的外角∠ACE 和外角∠CAF 的平分线交于点P,已知∠P=70°,则∠B 的度数 为 ( ) A. 42° B. 40° C. 38° D. 35° 6. 将△ABC 纸片沿DE 按如图的方式折叠.若∠C=50°,∠1=85°,则∠2的度数等于 ( ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 第6题 第7题 7. 如图,E,F 是△ABC 的边AB,AC 上的点,D 是点A 上方的一点,若∠B+∠C=64°,∠D= 76 70°,则∠1+∠2的度数为 ( ) A. 44° B. 46° C. 48° D. 50° 8. 如图,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,已知∠DAC=α,∠DAB=90°-α2 ,CE 平分 ∠ACB 交AB 于点E,连接DE,则∠DEC 的度数为 ( ) A. α 3 B. α 2 C. 30°-α2 D. 45°-α 第8题 第10题 第11题 9. 在△ABC 中,已知∠A=∠B+∠C,那么△ABC 的形状 . 10. 一副三角板,按如图所示叠放在一起(其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边 摆放在一直线上),那么图中∠α= 度. 11. 如图,△ABC 中,∠B=40°,∠BAC=90°,CD 平分∠ACB,AD∥BC,则∠D 的度数为 . 12. 如图,在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线,F 在射线AD 上,FE⊥BC 于E,∠C=80°, ∠B=36°,则∠F= 度. 第12题 第13题 第14题 13. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,点P 是边AB 上一点,点D 是边AC 上一点,将 △ABC 沿PD 折叠,使点A 落在边BC 上的A'处,若A'P∥AC,则∠PDA'的度数为 . 14. 如图,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线BO,CO 交于点O,CE 为△ABC 的外角 ∠ACD 的平分线,BO 的延长线交CE 于点E,∠1=α,则∠2= ,∠BOC= . (用含α的式子表示) 15. 如图,在△ABC 中,∠BAD=∠EBC,AD 交BE 于点F,交BC 于点D. (1) 求证:∠ABC=∠AFE; (2) 若∠ABC=35°,EG∥AD 交BC 于点G,EH⊥BE 交BC 于点H,求∠HEG 的度数. 86 16. 如图,在△ABC 中,DE∥AC 交AB,BC 于点D,E,EF 平分∠DEB 交AB 于点F,且∠B= 42°,∠DFE=73°,求∠A 的度数. 17. 如图,△AOB 与△COD 中的∠AOB 与∠COD 是对顶角. (1) 如图1,证明:∠A+∠B=∠C+∠D; (2) 如图2,AP,DP 分别是∠BAO,∠CDO 的平分线,探索∠P,∠B 和∠C 之间的数量关 系并加以证明; (3) 如图3,∠BAO 与∠CDO 的相邻补角平分线交于点P,探索∠P,∠B 和∠C 之间的数 量关系并加以证明. 图1 图2 图3 96