13.2 与三角形有关的线段-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（人教版2024）

13.2 与三角形有关的线段 知识点1 三角形的三边关系 如果两条线段之和小于等于第三条线段,那么这三条线段不能组成一个三角形,我们基于此 给出如下公理: 公理:三角形任意两边的和大于第三边. 此公理也称为“三角不等式”,其确切意思是: 如果三角形的三条边长分别是a,b,c,那么它们 必定满足“三角不等式”,即a+b>c,b+c>a,c+a>b.利用不等式的性质,由上述公理可以推出: 推论:三角形任意两边的差小于第三边. 由这个公理,如果三条线段的长度不满足“三角不等式”,那么它们不能组成一个三角形;如 果三条线段的长度满足“三角不等式”,那么它们可以组成一个三角形. 要点: (1) 理论依据:两点之间线段最短. (2) 三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线 段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第 三边长的取值范围. (3) 证明线段之间的不等关系. 知识点2 三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 给定一个三角形,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线, 此顶点和垂足之间的线段叫 作三角形(此边上)的高. 三角形的高的数学语言: 如下图,AD 是△ABC 的高,或AD 是△ABC 的BC 边上的高,或AD⊥BC 于D,或∠ADB =∠ADC=∠90°. 注意:AD 是△ABC 的高⇔∠ADB=∠ADC=90°(或AD⊥BC 于D). 要点: (1) 三角形的高是线段. (2) 三角形有三条高,且相交于一点,这一点叫作三角形的垂心. (3) 三角形的三条高: 16 (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部,三条高的交点也在三角形内部; (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部,且三条高的交点在三角形的外部; (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2. 三角形的中线 连接一个顶点及其对边中点的线段叫作三角形(此边上)的中线. 三角形的中线的数学语言: 如下图,AD 是△ABC 的中线或AD 是△ABC 的BC 边上的中线或BD=CD=12BC. 要点: (1) 三角形的中线是线段. (2) 三角形三条中线全在三角形内部. (3) 三角形三条中线交于三角形内部一点,这一点叫三角形的重心. (4) 中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3. 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交, 这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角 形(此角)的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言: 如下图,AD 是△ABC 的角平分线,或∠BAD=∠CAD 且点D 在BC 上. 注意:AD 是△ABC 的角平分线⇔∠BAD=∠DAC=12∠BAC (或∠BAC=2∠BAD= 2∠DAC). 要点: (1) 三角形的角平分线是线段. (2) 一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的内部. (3) 可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 严格地说, 三角形的高、中线与角平分线均需明确所在的边或角,但在不会引起混淆时也可 以省略. 26 *知识点3 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫作三角形的稳 定性. 要点: (1) 三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变,大小固定指三条边长不改变. (2) 三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它就 坚固而稳定;在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大 桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理. 例1 以下列长度的各组线段为边,能够组成三角形的是 ( ) A. 3,5,8 B. 3,4,6 C. 10,9,1 D. 5,2,2 解析:A. 5+3=8,不能组成三角形,故A不符合题意;B. 4+3>6,能组成三角形,故B符合题 意;C. 9+1=10,不能组成三角形,故C不符合题意;D. 2+2<5,不能组成三角形,故D不符合 题意.故选:B. 例2 在三角形ABC 中,AB=5,AC=3,BC=x,则x的取值范围为 . 解析:∵在三角形ABC 中,AB=5,AC=3,BC=x, ∴5-3<x<5+3,即2<x<8.故答案:2<x<8. 例3 设△ABC 三边长分别为a,b,c,则a-b-c -b+a-c = . 解析:由题意得:a+b-c>0,a-b-c<0, ∴a-b-c -b+a-c =-a+b+c-a+b-c =-a+b+c-a-b+c=-2a+2c. 故答案:-2a+2c. 例4 作△ABC 的边AB 上的高,下列作法中正确的是 ( ) A B C D 解析:过C 作AB 的垂线,垂足为D,则线段CD 为△ABC 的边AB 上的高,故选项C符合题意, 选项A,B,D不符合题意.故选:C. 例5 在△ABC 中,如果D 是BC 的中点,那么AD 是△ABC 的 ,BD=CD= . 解析:∵点D 是BC 的中点,∴AD 是△ABC 的中线,BD=CD=12BC. 故答案:中线,1 2BC. 例6 如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是AD 的中点,阴影部分的面积为2,则△ABC 的 面积是 ( ) 36 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析:∵D,E 分别是BC,AD 的中点,∴S△ABC=2S△ABD=2S△ACD,S△ABD=2S△ABE=2S△BDE, S△ACD=2S△ACE=2S△CDE,S△BDE=S△CDE,∴S阴影=S△BDE+S△ACE=S△CDE+S△ACE=S△ACD= 1 2S△ABC ,∵S阴影=2,∴S△ABC=4.故选:B. 例7 如图,AD 是△ABC 的角平分线,则AD 平分 ,∠1=∠ =12 ,且点D 在边BC 上. 解析:AD 是△ABC 的角平分线,则AD 平分∠BAC,∠1=∠2=12∠BAC ,且点D 在边BC 上. 故答案:∠BAC,2,∠BAC. 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是 ( ) A. 1 cm,2 cm,3 cm B. 4 cm,5 cm,10 cm, C. 5 cm,12 cm,13 cm D. 7 cm,7 cm,14 cm 2. 已知△ABC 的两条高分别是10和20,若第三边上的高也是整数,那么这条高最短是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 如图,点D,E 分别在AB,AC 上,BE,CD 相交于点F,设S四边形EADF=S1,S△BDF=S2,S△BCF =S3,S△CEF=S4,则S1S3与S2S4的大小关系是 ( ) A. 不能确定 B. S1S3<S2S4 C. S1S3=S2S4 D. S1S3>S2S4 第3题 第4题 第5题 第6题 4. 如图,在△ABC 中,AD 是高,AE 是中线,若AD=3,S△ABC=6,则BE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 46 5. 如图,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为BC,AD,CE 的中点,且S△ABC=16 cm2,则阴影部 分面积为 ( ) A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 6. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CE 是△ABC 的角平分线,则∠ACE= ( ) A. 50° B. 45° C. 60° D. 65° 7. 四根小棒的长度分别为1 cm,2 cm,4 cm和5 cm,从中选出三根小棒围成一个三角形,这个三 角形的周长是 . 8. 已知△ABC 中的中线AD 将△ABC 的周长分为10和15两部分,且4AC=3BC,则AB = . 9. 已知三角形三边长分别为2,3,x,则写出所有符合条件的整数x的值 . 10. 三角形三边之长分别为3,10,2a,则a的取值范围为 . 11. 如图,在△ABC 中,AD 是中线,若BD=4,则BC 的长为 . 第11题 第16题 第17题 12. 已知一个三角形的两边长分别为2 cm和3 cm,它的第三边长是偶数,且其长度也是整数.则 这个三角形的周长是 cm. 13. 若a,b,c为三角形的三边长,且a,b满足- a-9+b-2 2=0,第三边长c为奇数,则c= . 14. 若a,b,c为△ABC 的三边,则a-b+c a-b-c 0(填“>”“<”或“=”). 15. 已知△ABC 的三边长a,b,c都是正整数,且满足2a2+3b2-4a-18b+29=0,则△ABC 的 周长为 . 16. 如图,△ABC 中,∠ACB>90°,AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为D,E,F,则线段 是△ABC 中AC 边上的高. 17. 用尺规完成作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法).如图,作出△ABC 的BC 边上的高. 18. 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AC 边上的高BD=245 ,则AC 的长为多 少? 56 得 x+y=22 , 5x+6y=120. 解这个方程组,得 x=12,y=10. 所 以圆珠笔买了12支,钢笔买了10支; (2)设购买圆珠笔x 支,购买钢笔(22-x)支.依 题意得5×0.9x+6×0.8(22-x)≤100.解这个 不等式,得x≥563. 因为x 为整数,所以x=19, 20,21,22.所以一种方案是购买圆珠笔19支,购 买钢笔3支.(答案不唯一) 4. EG⊥EF,理由略. 5. AD∥BC,理由略. 6. 正确,理由略. 7. 两点确定一条直线. 8. OE⊥ OD,理由略. 9. E,O,F 在一条直线上,理由略. 10. ∠A=∠C,∠B=∠D,理由:∵AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°,又∵AB∥CD,∴∠B+ ∠C=180°,∴∠A=∠C.同理∠B=∠D. 11. AE∥CF,理由:∵∠B=∠D=90°,∠DAB+ ∠B+ ∠BCD + ∠D =360°,∴ ∠DAB + ∠BCD=180°,∵AE 平分∠DAB,CF 平分 ∠DCB,∴∠DAE+∠DCF=90°,又∵∠DAE+ ∠DEA=90°,∴∠DEA=∠DCF,∴AE∥CF. 专项训练五 实践与应用 1. (1)b=0.8×(220-14)=164.8(次) (2)没有危险 2. (100a+60b)元 3. 略 4. 五边形:3个 4个 5个 图略 n边形:(n- 2)个 (n-1)个 n个 5. (1)363+7=19 (分钟),19分钟>15分钟,∴王老 师应选择绕道而行去学校; (2)设维持秩序时间为t分钟,则t+36-3t9 = 36 3- 6,解之得t=3,∴维持秩序的时间为3分钟. 6. (1)设甲种笔记本的单价是x 元,乙种笔记本的 单价是y 元.根据题意可得 20x+10y=110, 30x+10=20y, 解 得 x=3 , y=5; (2)设本次购买乙种笔记本m 本,则甲种笔记本 (2m - 10) 本, 根 据 题 意 可 得 2m-10+m≥80, 3(2m-10)+5m≤320, 解得30≤m≤31911,因 为m 为正整数,所以m=30或m=31,当m=30 时,2m-10=50;当m=31时,2m-10=52. 7. (1)设改造一所A 类学校的校舍需资金x 万元, 改造一所B 类学校的校舍需资金y万元, 则 x+3y=480 , 3x+y=400, 解之得 x=90,y=130; (2)设A 类学校有a 所,则B 类学校有(8-a) 所,则: 20a+30(8-a)≥210, (90-20)a+(130-30)(8-a)≤770, 解得a≤3 , a≥1, ∴1≤a≤3,即a=1,2,3.即有3种改 造方案:方案一:A 类学校1所,B 类学校7所; 方案二:A 类学校2所,B 类学校6所;方案三:A 类学校3所,B 类学校5所. 专项训练六 新题型 1. A 2. C 3. D 4. 将一个三角板的一条直角边紧贴材料的下底边, 平移至另一直角边经过已知点A,沿已知点A 所 在直角边画直线即可. 5. 90° 6. 略 7. 28个, (n+2)(n+1) 2 个 8. 720度 第三部分 探究先飞 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 1. A 2. C 3. B 4. C 5. (1)8 (2)AB ∠CAD 6. (1)6 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE, △ADC,△AEC (2)△ABE,△ADE,△AEC 7. (1)图中有7个三角形,分别是△ABD,△ABE, △ABC,△ADE,△ADC,△AEC,△AFG; (2)△ABD 的边是AB,BD,AD;顶点是点A, B,D;三个内角是∠B,∠BDA,∠BAD; (3)以 ∠C 为 内 角 的 三 角 形 有 △AEC, △ADC,△ABC; (4)以 AB 为 边 的 三 角 形 有 △ABD, △ABE,△ABC. 13.2 与三角形有关的线段 1. C 2. B 3. D 4. B 5. B 6. B 7. 11 cm 8. 11或4 9. 2,3,4 10. 3.5<a<6.5 11. 8 12. 7或9 13. 9 14. < 15. 7 16. BE 17. 如图,AD 为所作. 18. ∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∴S△ABC= 1 2AB ·BC=12×6×8=24.∵AC 边上的高 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 BD=245 ,∴S△ABC= 1 2AC ·BD=12AC ·24 5= 24,解得AC=10. 13.3 三角形的内角与外角 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. B 8. B 9. 直角三角形 10. 75 11. 25° 12. 22 13. 60° 14. 1 2α 90°+ 1 2α 15. (1)∵∠AFE=∠ABE+∠BAD,∠BAD= ∠EBC,∴ ∠AFE = ∠ABE + ∠EBC = ∠ABC,即∠ABC=∠AFE; (2)∵∠BFD=∠AFE=∠ABC=35°,又∵ EG∥AD,∴∠BEG=∠BFD=35°,∵EH⊥ BE,∴∠BEH=90°,∴∠HEG=∠BEH - ∠BEG=55°. 16. ∵∠DFE=∠B+∠BEF,∠B=42°,∠DFE= 73°,∴∠BEF=73°-42°=31°,∵EF 平分 ∠DEB,∴∠DEB=2∠FEB=62°,∵DE∥ AC,∴∠C=∠DEB=62°,∵∠A+∠B+ ∠C=180°,∴∠A=180°-42°-62°=76°. 17. (1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+ ∠COD=180°,∠AOB = ∠COD,∴ ∠A + ∠B=∠C+∠D; (2)结论:∠B+∠C=2∠P,理由如下,∵AP,DP 分别是∠BAO,∠CDO 的平分线,∴∠BAP= ∠PAC = 12 ∠BAO ,∠BDP = ∠PDC = 1 2∠CDO ,由(1)可知,∠BAO+∠B=∠CDO+ ∠C,∠B+∠BAP=∠BDP+∠P,∠PDC+ ∠C=∠PAO+∠P,即∠B+ 12∠BAO= 1 2∠ODC+∠P ,∠C+12∠CDO= 1 2∠BAO+ ∠P,∴∠B+∠C=2∠P; (3)结 论:2∠P = ∠B + ∠C.理 由 如 下, ∵∠BAO 与∠CDO 的相邻补角平分线交于点 P,∴∠PAB=12 (180°-∠BAO),∠PDB= 1 2 (180°-∠BDC),∵∠P+∠PAB=∠B+ ∠PDB,∴∠P+12 (180°-∠BAO)=∠B+ 1 2 (180°-∠BDC),即2∠P-∠BAO=2∠B- ∠BDC①,又∵∠BAO+∠B=∠C+∠BDC②, ①+②得2∠P=∠B+∠C. 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 1. D 2. D 3. A 4. B 5. A 6. 3 7. 2 8. 3 9. 15 10. 当△OBM≌△AMN 时,∴AM=OB= 7, ∵OA=4,∴OM=OA-AM=4- 7,∴点M 表示的数为4- 7;当△OBM≌△ANM 时, ∴OM=AM,∵AO=4,∴OM=2,∴点M 表 示的数为2,∴点M 表示的数为4-7或2. 11. 设点P 的运动时间为t秒,如图1,当点Q 在BC 上时,此时AP=t cm,BQ=2t cm,∴PC= (7-t)cm,CQ=(8-2t)cm, 图1 ∵△PMC≌△CNQ,∴PC=CQ,∴7-t=8- 2t,∴t=1;即点P 的运动时间为1秒; 如图2,当点Q 在AC 上时,此时点P 与点Q 重 合,AP=t cm,BC+CQ=2t cm,∴PC=(7- t)cm,CQ=(2t-8)cm, 图2 ∵△PCM≌△QCN,∴PC=CQ,∴7-t=2t- 8,∴t=5;即点P 的运动时间为5秒,综上所 述,当△PMC 与△QNC 全等时,点P 的运动时 间为1秒或5秒. 14.2 三角形全等的判定 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. OC=OD(答案不唯一) 10. ASA或角边角 11. 80 12. 6 13. 1 2 14. ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB= ED,在 △ABC 和 △EDF 中, AB=ED, ∠A=∠E, AC=EF, ∴△ABC≌△EDF(SAS). 15. (1)∵DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E, ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C, ∴AD∥BC; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21