11.3 乘法公式-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版2024）

11.3 乘法公式 1. 平方差公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 注:在这里,a、b既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式. 2. 完全平方公式 完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 注:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或 减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形: a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2=(a-b)2+4ab 3. 添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到 括号里的各项都改变符号. 4. 补充公式 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq;(a±b)(a2∓ab+b2)=a3±b3; (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 例1 设a=x-2021,b=x-2023,c=x-2022,若a2+b2=56,则c2= ( ) A. 27 B. 24 C. 22 D. 20 解析:∵a=x-2021,b=x-2023,c=x-2022,∴a=c+1,b=c-1, ∵a2+b2=56,∴(c+1)2+(c-1)2=56,解得:c2=27;故选:A. 例2 如图,大正方形和小正方形面积之差是16,则阴影部分的面积是 . 解析:设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b, S阴影=12AE ·BC+12AE ·BD=12AE (BC+BD)=12 (AB-BE)(BC+BD)=12 (a-b)(a+ 77 b)=12 (a2-b2)=12×16=8 ,故答案为:8. 例3 已知(a+b)2=3,(a-b)2=23,则代数式a2+b2-3ab的值为 . 解析:∵(a+b)2=3,(a-b)2=23,(a-b)2=(a+b)2-4ab, ∴ab=14 [(a+b)2-(a-b)2]=-5,∴a2+b2-3ab=(a-b)2-ab=23-(-5)=28;故答 案为:28. 一、 选择题 1. 若x2+(m-2)x+16是完全平方式,则m 的值是 ( ) A. 6或-6 B. 10或-10 C. -6或10 D. -10或6 2. 已知(m-n)2=32,(m+n)2=4000,则m2+n2的值为 ( ) A. 2018 B. 2017 C. 2016 D. 4032 3. 若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)…(21024+1)+1,则A 的个位数字为 ( ) A. 2 B. 1 C. 6 D. 8 4. 如图,由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案,该图案的面积为64,小正方 形的面积为9,若分别用x、y(x>y)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中不正确的是 ( ) A. x+y=8 B. x-y=3 C. x2+y2=25 D. 4xy+9=64 5. 如图,边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后,剩余部分可剪拼成 一个长方形,若拼成的长方形一边长为m,则拼成长方形的面积是 ( ) A. 4m2+12m+9 B. 3m+6 C. 3m2+6m D. 2m2+6m+9 二、 填空题 6. 若a+b=-4,ab=1,则a2+b2= . 87 7. 若关于x的二次三项式x2+ax+25是完全平方式,则a的值为 . 8. 2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是 . 9. 如图,若大正方形与小正方形的面积之差为24,则图中阴影部分的面积是 . 第9题 第10题 10. 如图,有A 类卡片3张、B 类卡片4张和C 类卡片5张,从其中取出若干张,每种卡片至少取 一张,把取出的这些卡片拼成一个正方形(所拼的图中既不能有缝隙,也不能有重合部分), 所拼成的正方形的边为 . 三、 计算题 11. 计算: (1)[a+(b-c)]·[a-(b-c)]. (2)(a-2b+3c)(a+2b-3c). 12. 先化简,再求值:3(a+1)(a-1)-a(3a-1),其中a=-3. 13. 对于任意四个有理数a、b、c、d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d),我们规定:(a,b)※ (c,d)=a2+d2-bc.例如:(1,2)※(3,4)=12+42-2×3=11. (1)若(x,kx)※(y,-y)是一个完全平方式,求常数k的值; (2)若2x+y=10,且(3x+y,2x2+3y2)※(3,x-3y)=84,求xy的值. 97 14. 综合探究:某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形: (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ; (2)【应用】利用(1)中的结论计算:20242-2026×2022; (3)【拓展】利用(1)中的结论计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1). 15. 如图①是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个相同的小长方形, 然后按图②的方式拼成一个正方形. 图① 图② 图③ (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ; (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法一: 方法二: (3)请你观察图②,利用图形的面积写出(m-n)2,(m+n)2,mn这三个代数式之间的等量关 系: ; (4)根据(3)中的结论,若x+y=-8,xy=3.75,则x-y= . 08 11.3 乘法公式 一、 1. C 2. C 3. C 4. C 5. C 二、 6. 14 7. ±10 8. 0 9. 12 10. a+b或a+ 2b 三、 11. (1)解:原式=a2-(b-c)2=a2-(b2- 2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2. (2)解:原式=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]= a2-(2b-3c)2=a2-4b2+12bc-9c2. 12. 解:原式=3(a2-1)-(3a2-a)=3a2-3- 3a2+a=-3+a, 当a=-3时,原式=-3+(-3)=-6. 13. (1)解:由题意得(x,kx)※(y,-y)=x2+ (-y)2-kx·y=x2-kxy+y2, ∵(x,kx)※(y,-y)是一个完全平方式, ∴-kxy=±2xy,解得k=±2; (2)由题意得(3x+y,2x2+3y2)※(3,x-3y) =(3x+y)2+(x-3y)2-3(2x2+3y2)= (9x2+6xy+y2)+(x2-6xy+9y2)-(6x2+ 9y2)=4x2+y2=84, ∵2x+y=10,∴(2x+y)2=4x2+4xy+y2= 100,∴4xy=100-84=16,∴xy=4. 14. (1)解:图中阴影部分的面积可以看作两个正方 形的面积差,即a2-b2,也可以拼成a+b,高为 a-b的平行四边形,因此面积为(a+b)(a- b),所以有a2-b2=(a+b)(a-b), 故答案为:a2-b2=(a+b)(a-b); (2)原式=20242-(2024+2)(2024-2)=20242- (20242-4)=20242-20242+4=4; (3)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+ 1)…(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+ 1)…(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)… (232+1)=(28-1)(28+1)…(232+1)=(216- 1)(216+1)(232+1)=(232-1)(232+1)=264-1. 15. 解:(1)由拼图可知,阴影部分是边长为(m-n) 的正方形,故答案为:m-n; (2)方法一:直接利用正方形的面积公式得正方 形的面积为(m-n)2; 方法二:从边长为(m+n)的大正方形减去四个 长为m,宽为n的矩形面积即为阴影部分的面 积,即(m+n)2-4mn. (3)(m-n)2=(m+n)2-4mn; (4)(x-y)2=(x+y)2-4xy,∵x+y=-8, xy=3.75,∴(x-y)2=64-15=49,∴x-y= ±7,故答案为:±7. 11.4 整式的除法 一、 1. D 2. A 3. B 4. C 二、 5. 2a 6. 2b2-4 7. 8 8. 2x3+x2-4x-2 9. -2 三、 10. 解:(-36x4y3-24x3y2+6xy)÷6xy= -36x4y3÷6xy-24x3y2÷6xy+6xy÷6xy= -6x3y2-4x2y+1. 11. (1)解:原式=4a4b4·(6ab)÷(-3b2)= -8a5b3; (2)解:原式=5-2+1+2-1=3+2. 11.5 因式分解 一、 1. D 2. A 3. C 4. D 二、 5. (2a+1)(2a-1) 6. -12 7. 3x(x-y)2 8. (a-b)(a-2)(a+2) 9. 5 10. 3 三、 11. 解:(1)原式=[5(m+n)]2-(3n)2=(5m+ 5n+3n)(5m+5n-3n)=(5m+8n)(5m+2n). (2)原式=(5x)2+2·5x·2y+(2y)2=(5x+ 2y)2. (3)原式=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x-2)2(x+ 2)2. (4)原式=-(x2-8xy+16y2)=-[x2-2· x·4y+(4y)2]=-(x-4y)2. 第四部分 新知测效 暑期学情测评(一) 一、 1. D 2. A 3. C 4. D 5. C 6. C 7. C 8. D 9. C 解析:设每个小长方形的长为x cm、宽为 y cm,由题意得 2x+2y=24, 3x+2y=33, 解得 x=9 , y=3, 则每 个小长方形的面积为9×3=27(cm2). 10. A 二、 11. a<1 12. 5 13. 1 14. 6x+3=8x-5 15. 79° 16. 48 5 三、 17. 解:去分母,得2(x-3)-3(4x+1)=6, 去括号,得2x-6-12x-3=6, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31