25.2 二次函数的图像和性质（第1课时 二次函数y=ax²的图像和性质）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级下册

【新教材】华东师大版·九年级下册 第25章 二次函数 25.2 二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数的图像和性质 章节导读 25.1认识二次函数 25.2二次函数的图像和性质 的图像和性质 的图像和性质 二次函数与方程(不等式)的关系 认识二次函数 的图像和性质 25.3实践与探索 的图像和性质 的图像和性质 图形面积的最大值 用二次函数解决问题 利用函数的图象求方程（组）和不等式的解 2 学 习 目 标 1 2 3 理解抛物线的有关概念. 会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点. 掌握形如的二次函数图象的性质，并会应用. 复习回顾 一次函数的图像是什么？画一次函数图像的方法和步骤是什么？ 一次函数的图像是一条直线。 用描点法画一次函数图像：列表——描点——连线。 二次函数的图像是怎样的呢？可以用类似的方法，画二次函数的图像吗？ 画出最简单的二次函数的图像. 新知探究 二次函数的图像 试一试 1.列表：在 中，自变量 可以是任意实数，列表表示出几组对应值： x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 新知探究 二次函数的图像 2.描点：根据表中 的数值在平面直角坐标系中描出对应的点. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 3 6 9 y O -3 3 x 3.连线：用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象. 观察函数及所画出的的图象，你能发现什么？ 新知探究 二次函数的图像 3 6 9 y O -3 3 x 这条抛物线是轴对称图形， 关于轴对称, 轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 这样的曲线通常叫做抛物线. 任意二次项系数的二次函数的图像都是如此吗？ （1）在同一个平面直角坐标系中，画出函数 与的图象。 新知探究 二次函数的图像的性质 做一做 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 0 1 2 3 … -1 -2 -3 … 0 1 4 9 … 1 4 9 … 列表 0 -1 -4 -9 … -1 -4 -9 … 新知探究 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 -10 -8 -6 -4 描点 连线 观察并比较这两个函数的图象。它们有什么共同点？又有什么区别？ 二次函数的图像的性质 新知探究 1.是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 1.是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 共同点:顶点坐标（0,0），对称轴是 y 轴 区别：开口向上，开口向下 二次函数的图像的性质 （2）在同一个平面直角坐标系中，画出函数 与的图象。 新知探究 做一做 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 20 16 12 8 4 -4 -20 -16 -12 -8 观察并比较这两个函数的图象。你能发现什么？ 二次函数的图像的性质 新知探究 二次函数的图像的性质 1.是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 1.是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 共同点:顶点坐标（0,0） 对称轴是 轴 区别：开口向上， 开口向下 （3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？ 新知探究 做一做 二次函数的图像的性质 1.函数 的图象是一条抛物线，它关于 y 轴对称，顶点坐标是（0,0）. 2.时，抛物线的开口_____，顶点是抛物线的最低点，越大，抛物线的开口_____.在对称轴的左边()，曲线自左向右 ；在对称轴的右边()，曲线自左向右 . 向上 越小 3.时，抛物线 的开口_____，顶点是抛物线的最高点，越大，抛物线的开口_____.在对称轴的左边() ，曲线自左向右 ；在对称轴的右边() ，曲线自左向右 . 向下 越大 下降 上升 下降 上升 图象 归纳总结 二次函数的图像的性质 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当 时，y最小值 = 0 当 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 随堂练习 1.画出下列函数的图像： （1）; （2）. 基础过关(P7) 解：列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 2 0.5 0 0.5 2 … y＝－ x2 … －2 －0.5 0 －0.5 －2 … 12 3 0 3 12 － － 0 － － x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 随堂练习 1.画出下列函数的图像： （1）; （2）. 基础过关(P7) 描点、连线： x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 随堂练习 2.根据上提所画的函数图像填空： （1）抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时，抛物线上的点都在轴的上方； （2）抛物线的开口向 ，除顶点外，抛物线上的点都在轴的 方，它的顶点是抛物线上的最 点. 基础过关(P7) 轴 随堂练习 3.不画图像，说出抛物线与的开口方向、对称轴和顶点坐标。 基础过关(P7) 解： 的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标为（0,0）； 的开口向上，对称轴是，顶点坐标为（0,0）； 随堂练习 4.设圆的半径为，面积为， （1）试写出与之间的函数关系式； （2）画出这个函数的图像。 基础过关(P7) 解： （1），其中； x y O -2 2 2π 4π 6π 4 -4 8π 取不到的点应标为空心，函数图像应符合实际问题取值。 随堂练习 5.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是(　　) A．　 B．　 C．　 D． 能力提升 解：因为当时，随的增大而增大， 所以 解得 B 随堂练习 6.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) 能力提升 解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点(－1，0)，排除A； 当时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过第一、二、三象限，排除B； 当时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象经过第二、三、四象限，排除C. 故选D D 随堂练习 7.已知点A（－3，）和点 B（－1，）.若这两点都在抛物线上，则与的大小关系是 ⁠ .（用“>”、 “＜”、“=”连接） 能力提升 解法1（直接代入）： 当时，； 当时，，∴. 解法2（函数的增减性）： ∵抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大. ∵，∴. 解法3（距对称轴的远近）： ∵抛物线的对称轴为y轴，开口向下， ∴抛物线上的点距轴越远，值越小. ∵∴. 随堂练习 8.已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)当为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当为何值时，该函数有最小值？ 能力提升 解：（1）根据题意， 得，解得 ∴或. （2）∵函数图象的开口向下， ∴. ∴. ∴. ∴当时，该函数图象的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴. ∴. ∴. ∴当时，该函数有最小值． 课堂小结 二次函数的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级下册 $