18.5.2 分式方程的应用 学案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第12讲 分式方程的应用 目标导航 ①了解分式方程的概念和检验根的意义 ②会解可转化为一元一次方程的分式方程 掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想 ③会列出分式方程解简单的应用题 知识精讲 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：仔细读题，重点关注数字及其意义，找出题中的等量关系 设：合理设出未知数，问什么设什么、设小不设大、设中间量等 列：根据等量关系列出方程 解：解方程 验：①检验所求的解是否是所列分式方程的解 ②检验所求的解是否符合实际意义 “经检验，x=3是原分式方程的解” 答：根据题目所问具体作答 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型1】工程问题 【例题1】某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？ 【练习1】随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 【练习2】某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程 (1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？ 【练习3】某工厂引进甲、乙两台机器对同样一种零件进行精加工，已知乙种机器每小时精加工的数量比甲种机器每小时加工的数量少40%，两台机器各加工1200个零件，乙机器比甲机器多用10小时． (1)甲，乙两台机器每小时各能加工多少个零件？ (2)若甲、乙两台机器的加工报废率分别为3%和1%，现用甲、乙两台机器一起加工10000个零件，要求报废率不高于1.8%，则最多安排甲机器加工多少小时？ 【题型2】利润问题 【例题2】飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍． (1)求一个海绵飞盘的进价是多少元； (2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？ 【练习4】“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【练习5】随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办，已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍． (1)求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？ (2)某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元，若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？ 【题型3】行程问题 【例题3】某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟． (1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ (2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【练习6】小明家距离科技馆米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用分钟，且骑车的速度是步行速度的倍，小明进家取票时间共用分钟． （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 【题型4】方案问题 【例题4】某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元． (1) 今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2) 为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？ 【练习7】某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元． （1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【题型5】航行问题 【例题5】一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时． 【练习8】已知两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时． (1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 课后作业 1.甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ (2)甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 2.为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《昆虫记》和《经典常谈》两种书籍，分别花费了1400元和700元，已知《昆虫记》的订购单价是《经典常谈》订购单价的倍，并且订购的《昆虫记》的数量比《经典常谈》的数量多30本． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《昆虫记》最多购买多少本． 3.时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 4.某超市准备购买A、B两种伴手礼送给当天进店购物的顾客．购买1个A种礼品比购买1个B种礼品多花10元，并且花费300元购买A种礼品和花费100元购买B种礼品的数量相等． (1)购买一个A 种礼品和一个B种礼品各需要多少元？ (2)该超市准备购买A、B两种礼品共90个，若A种礼品的数量不少于 B种礼品数量的3倍，并且购买A、B两种礼品的总费用不高于1140元，则该超市有哪几种购买方案？ 5.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍． (1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； (2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 6.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%． (1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？ (2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 分式方程的应用 目标导航 ①了解分式方程的概念和检验根的意义 ②会解可转化为一元一次方程的分式方程 掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想 ③会列出分式方程解简单的应用题 知识精讲 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：仔细读题，重点关注数字及其意义，找出题中的等量关系 设：合理设出未知数，问什么设什么、设小不设大、设中间量等 列：根据等量关系列出方程 解：解方程 验：①检验所求的解是否是所列分式方程的解 ②检验所求的解是否符合实际意义 “经检验，x=3是原分式方程的解” 答：根据题目所问具体作答 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型1】工程问题 【例题1】某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？ 【答案】应该先安排2名工人工作． 【分析】设安排x人先做2h，然后根据先后两个时段完成这项工作的，可列方程求解． 【详解】解：设应该先安排x名工人工作， 由题意得： 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， 答：应该先安排2名工人工作． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于准确理解题意列出方程求解． 【练习1】随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 【答案】(1)B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天 (2)组至少增加17人 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用． （1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据两组合作完成，需12天可完成此项任务，列出分式方程求解即可，注意检验； （2）设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（天） 答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天； （2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得： ， 即， 解得：， 是正整数， m最小可取17， 答：组至少增加17人． 【练习2】某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程 (1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？ 【答案】(1) (2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天 【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）直接列算式求解即可． 【详解】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天． （2）根据题意得：（天）， 答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天． 【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意正确的列出分式方程是解题的关键．注意验根. 【练习3】某工厂引进甲、乙两台机器对同样一种零件进行精加工，已知乙种机器每小时精加工的数量比甲种机器每小时加工的数量少40%，两台机器各加工1200个零件，乙机器比甲机器多用10小时． (1)甲，乙两台机器每小时各能加工多少个零件？ (2)若甲、乙两台机器的加工报废率分别为3%和1%，现用甲、乙两台机器一起加工10000个零件，要求报废率不高于1.8%，则最多安排甲机器加工多少小时？ 【答案】(1)甲机器每小时能加工80个零件，乙机器每小时能加工个零件 (2)最多安排甲机器加工50个小时 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设甲机器每小时加工x个零件，则乙机器每小时加工，根据两台机器各加工1200个零件，乙机器比甲机器多用10小时，列出方程，解方程即可； （2）设安排甲机器加工m小时，则甲机器加工零件数为个，乙机器需要加工零件数为：个，根据报废率不高于，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲机器每小时加工x个零件，则乙机器每小时加工，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， （个）， 答：甲机器每小时能加工80个零件，乙机器每小时能加工个零件； （2）解：设安排甲机器加工m小时，则甲机器加工零件数为个，乙机器需要加工零件数为：个，根据题意得： ， 解得：， 答：最多安排甲机器加工50个小时． 【题型2】利润问题 【例题2】飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍． (1)求一个海绵飞盘的进价是多少元； (2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？ 【答案】(1)50元，； (2)11. 【分析】（1）设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意：购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买个海绵飞盘，由题意：海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． （1） 解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元， 由题意得：， 解得：x=50， 经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意， 答：一个海绵飞盘的进价为50元； （2） 设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买个海绵飞盘， 由题意得： 解得： ∵a是整数， ∴a最大值为11， 答：此次最多可购买11个橡胶飞盘． 【点睛】此题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系与不等关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． 【练习4】“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【答案】(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个 (2)最多可购进A型玩具25个 【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解； （2）根据题意列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）设型玩具的单价为元/件． 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解 B型玩具的单价为元/个 ∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个． （2）设购进A型玩具个． 解得： ∴最多可购进A型玩具25个． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式． 【练习5】随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办，已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍． (1)求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？ (2)某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元，若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？ 【答案】(1)30元，25元 (2)30个 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每个“哪吒”的售价是x元，则每个“敖丙”的售价是元，根据600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍列出方程求解即可； （2）设该班级本次购进“哪吒”手办是y个，则购进“敖丙”手办是个，根据利润等于单件利润乘以销售求出“哪吒”手办和“敖丙”手办的利润之和，再根据总利润不少于1000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解；设每个“哪吒”的售价是x元，则每个“敖丙”的售价是元，由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程得解，且符合实际意义． ∴，， 答：每个“哪吒”的售价是30元，每个“敖丙”的售价是25元． （2）解：设该班级本次购进“哪吒”手办是y个， 由题意得：， 解得， 答：该班级本次购进“哪吒”手办至少是30个． 【题型3】行程问题 【例题3】某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟． (1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ (2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【答案】(1)280米/分钟 (2)2100米 【分析】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返时间共用50分钟，列方程，解得，检验后求出，回答问题； （2）设这段坡路的下坡路程是y米，根据小伟上坡的平均速度是，下坡的平均速度是，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用时9分钟，列方程，解得，推出这段坡路的总路程是． 【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟, 根据题意得，， 解得，， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟； （2）设这段坡路的下坡路程是y米， ∵上坡的平均速度是，，下坡的平均速度是， ∴根据题意得，， 解得，， ∴， 答：这段坡路的总路程是2100米． 【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程和速度与时间的关系，列代数式列方程解答，解分式方程注意检验，应用题注意设未知数和回答问题． 【练习6】小明家距离科技馆米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用分钟，且骑车的速度是步行速度的倍，小明进家取票时间共用分钟． （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 【答案】（1）小明步行的速度为米分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解． 【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论． 【详解】解：设小明步行的速度为米分钟，则小明骑车的速度为米分钟．根据题意，得， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：小明步行的速度为米分钟． （2）， 所以小明能在表演开始前赶到科技馆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【题型4】方案问题 【例题4】某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元． (1) 今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2) 为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？ 【答案】(1)今年三月份甲种电脑每台售价4000元 (2)一共有5种进货方案 (3)的值为200 【分析】 （1） 设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可； （2） （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案； （3）设甲种电脑台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可． 【解析】 (1)设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元． 依题意，得：， 解得． 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元． (2)设购甲种电脑台，则乙种电脑台． 依题意，得：，解得：． ∵为正整数，∴，9，10，11，12∴共有5种进货方案． 答：一共有5种进货方案； (3)设甲种电脑台，总获利为元．则： ． ∵要使（2）中所有方案获利相同，∴的结果与无关，∴，∴． ∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利答：的值为200． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可． 【练习7】某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元． （1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析． 【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20， 由等量关系列出方程求解． （2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用， 比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可． 【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x件新品， 则： 解得：x＝16 经检验，x＝16 是原分式方程的解 ∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品 （2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天 需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元 方案二：乙工厂单独完成此项任务，则 需要的时间为：960÷24＝40 天 需要的总费用为：40×（120+15）＝5400元 方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则 16a+24a＝960 ∴a＝24 ∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5160元 综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案． 【题型5】航行问题 【例题5】一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时． 【答案】16千米/时 【分析】设江水的流速为千米/时，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】设江水的流速为千米/时，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：江水的流速为16千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【练习8】已知两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时． (1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)轮船在静水中的航行速度为25千米/时 (2)，理由见解析 【分析】（1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，故可知顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程，求解即可． （2）设船在静水中的航行速度为千米/时，由题意可知，，比较与0的大小． （1） 解：设轮船在静水中的航行速度为， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时； 故有 解得 经检验得是原方程的解 ∴该轮船在静水中的航行速度为千米/时． （2） 解：设船在静水中的航行速度为千米/时 由题意知 ． 【点睛】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小． 课后作业 1.甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ (2)甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 【答案】(1)甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米 (2)甲队至少筑路天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系列方程解题即可． （1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，根据“甲筑路队筑路1800米所用时间与乙筑路队筑路1500米所用时间相等”列分式方程求解； （2）设甲甲筑路a天，由乙队筑路不超过天，列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，由题意可得： 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米； （2）解：设甲筑路a天， 由题意可得：， 解得：， 答：甲队至少筑路天． 2.为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《昆虫记》和《经典常谈》两种书籍，分别花费了1400元和700元，已知《昆虫记》的订购单价是《经典常谈》订购单价的倍，并且订购的《昆虫记》的数量比《经典常谈》的数量多30本． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《昆虫记》最多购买多少本． 【答案】(1)该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元 (2)《昆虫记》最多购买50本 【分析】（1）设该校八年级订购的《经典常谈》的单价是x元，则《昆虫记》的单价是元，根据订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多30本．列出分式方程，解方程即可； （2）设《朝花夕拾》购买本，则《经典常谈》购买本，根据两种书总花费不超过1200元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设该校八年级订购《经典常谈》的单价是元，则《昆虫记》的单价是元， 由题意得：， 解得：， 检验，将代入，所以是原方程的解，且符合题意． ∴， 答：该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元； （2）设《昆虫记》购买本，则《经典常谈》购买本， 由题意得：， 解得：，答：《昆虫记》最多购买50本． 3.时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元；任务2：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，确定当m的最大值，再求解即可． 【详解】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元． 根据题意，，解得， 经检验，是原方程的根， ． 答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元． （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， ， 解得． 又型机器人模型要尽可能的多， 取最大值15，此时． 答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台． 4.某超市准备购买A、B两种伴手礼送给当天进店购物的顾客．购买1个A种礼品比购买1个B种礼品多花10元，并且花费300元购买A种礼品和花费100元购买B种礼品的数量相等． (1)购买一个A 种礼品和一个B种礼品各需要多少元？ (2)该超市准备购买A、B两种礼品共90个，若A种礼品的数量不少于 B种礼品数量的3倍，并且购买A、B两种礼品的总费用不高于1140元，则该超市有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购买一个A种礼品需要15元，购买一个B种礼品需要5元 (2)共有2种购买方案：方案①A礼品购买68个，B礼品购买22个；方案②A礼品购买69个，B礼品购买21个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购买一个A种礼品需要x元，则购买一个B种礼品需要元，根据花费300元购买A种礼品和花费100元购买B种礼品的数量相等列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）设购买A种礼品m个，则购买B种礼品个，根据题意列出不等式组，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种礼品需要x元，则购买一个B种礼品需要元， 根据题意： 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴， 答：购买一个A种礼品需要15元，购买一个B种礼品需要5元； （2）解：设购买A种礼品m个，则购买B种礼品个， ，   解得：， ∵m为整数， ∴或69， 答：共有2种购买方案：方案①A礼品购买68个，B礼品购买22个；方案②A礼品购买69个，B礼品购买21个． 5.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍． (1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； (2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 【答案】(1) (2)千米/时 【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可； （2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲骑行的速度为千米/时； （2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时， 由题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 则， 答：甲骑行的速度为千米/时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 6.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%． (1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？ (2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？ 【答案】(1)甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻 (2)最多安排甲收割4小时 【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数； （2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻， 依题意得：0.4， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， ∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6． 答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻． （2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时， 依题意得：3%×10y＋2%×6×≤2.4%×100， 解得：y≤4． 答：最多安排甲收割4小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$