精品解析：广东省惠州市东江高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

惠州市东江高级中学2024级高一5月份月考 数学试卷 2025.5 全卷满分150分，时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3．“非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模长公式及除法运算法则结合几何意义计算即可. 【详解】易知，所以， 则在复平面内对应的点为，显然位于第一象限. 故选：A 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为 A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高. 【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为，则，所以， 所以圆锥的高为，选C 【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该扇形的圆心角的弧度数为 . 4. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（ ） A. 92，85 B. 92，88 C. 95，88 D. 96，85 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，计算，取第三个数即可得解． 【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是92； 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得： ， 计算，取第三个数，第25百分位数是88． 故选：B． 5. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则四边形是平行四边形，可得，就是直线和BN所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接，相交于点，连接，则， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以就是直线和BN所成的角， 设正方体的棱长为2， 则， 由余弦定理得. 故选：C. 6. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点A和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高OT为（ ） A. 15m B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，， ，即，解得. 在中，， 即. 故选：D 7. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A. ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确， 故选：A. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】   以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分． 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. 向量、的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示可求出的值，可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为向量，，则， 因为，则，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 因为，故，即向量、的夹角为，B对； 对于C选项，，故，C对； 对于D选项，在上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 周长的最小值为 D. 若，则平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法求得三棱锥的体积判断A；设外接球半径为，底面外接圆半径为，由正弦定理可得，根据，可求得正三棱柱的外接球表面积判断B；计算可得可判断C；取，的中点分别为，，连接，，，利用线面垂直证得面面垂直，可判断D. 【详解】对于，取的中点为，连接，所以， 因为平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离， 由正三棱柱，可得平面，又平面， 所以，又，又平面，所以平面， 又，所以，所以， ，故正确； 对于，在正三棱柱中，， 设外接球半径为，底面外接圆半径为，所以，即， 因为，所以正三棱柱的外接球表面积为，故正确； 对于，由侧面展开图所示， 周长，所以周长的最小值为，故错误； 对于，由，可知为的中点，取，的中点分别为，，连接，，，此时，且平面，故平面，又平面，所以平面平面，故正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为_____________. 【答案】1.56m 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据平均数的计算公式，我国13岁男孩的平均身高为：米. 故答案为：. 13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为4和8的正方形，侧棱长为4，则该正四棱台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图，先求出正四棱台的高，然后由台体的体积公式求解即可. 【详解】 如图为上下底面的中心，连接，过点作平面垂足为， 在正四棱台中，，所以， ，所以，所以， 又，所以， 故正四棱台的高， 所以该正四棱台的体积为， 故答案为： 14. 已知正三棱锥中，底面边长BC为3，侧棱长AB为，则此正三棱锥的内切球的半径______． 【答案】 【解析】 【分析】在正三角形中，设底面正三角形的中心为，求出正三棱锥的高，各个面的面积，然后由等体积的方法求解半径即可. 【详解】 在正三角形中，设底面正三角形的中心为，，故其高为， 则，故正三棱锥的高， 所以，所以， 侧面为等腰三角形，其高为，故， 所以， 内切球的半径为，则由等体积的方法可得： ， 即，故内切球的半径， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明如下： ∵是与的交点，∴是的中点， 又是棱的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质可得是的中点，从而可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正方体的性质可得平面， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】（1） 因为， 所以，又底面ABC， 所以，又， 所以平面PAC， 因为平面PBC， 所以平面平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 作，连接OM， 因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角， 设，则， 所以，又， 所以， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 17. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下． （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）． 【答案】（1） （2）41.5岁 （3）42.1岁 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值； （2）根据频率分布直方图，可直接估算平均数； （3）直接求频率在的数据就可估计中位数. 【小问1详解】 由题意：，解得． 【小问2详解】 由题意：， 估计这200人年龄的样本平均数为41.5岁． 【小问3详解】 由图可知，年龄在的频率为0.25，在的频率为0.35， ， 估计这200人年龄的样本中位数为42.1岁． 18. 在中，. （1）若，的面积为，求； （2）若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）①；②；③. 【解析】 【分析】（1）应用余弦边角关系可得，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得，结合已知即可求边长； （2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；②③应用基本不等式求的范围，即可得面积最值和周长范围. 【小问1详解】 由题设及余弦边角关系有， 所以，则，且， 在三角形中有，又，可得， 结合，则； 【小问2详解】 ①由（1）有，则，所以； ②由，当且仅当时取等号， 所以，即面积最大值为； ③由，则， 当且仅当时取等号，所以周长. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，的面积为，求. （3）已知向量，，，求的最小值. 【答案】（1）1 （2）①；②或 （3）. 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）①借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，②代入数据计算即可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得，所以，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 ①设，，则，， 所以， 所以， 整理得， 所以 ②，， 而， 所以，故或 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立，取得最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市东江高级中学2024级高一5月份月考 数学试卷 2025.5 全卷满分150分，时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3．“非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为 A. B. C. D. 5 4. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（ ） A. 92，85 B. 92，88 C. 95，88 D. 96，85 5. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点A和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高OT为（ ） A. 15m B. C. D. 7. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A. ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分． 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. 向量、的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 周长的最小值为 D. 若，则平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为_____________. 13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为4和8的正方形，侧棱长为4，则该正四棱台的体积为______． 14. 已知正三棱锥中，底面边长BC为3，侧棱长AB为，则此正三棱锥的内切球的半径______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 17. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下． （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）． 18. 在中，. （1）若，的面积为，求； （2）若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，的面积为，求. （3）已知向量，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $