精品解析：2025届安徽省六安第一中学高三适应性考试数学试题

六安一中2025届高三年级适应性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量和向量，若，则实数（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（ ） A. 72 B. 88 C. 100 D. 144 8. 已知，且，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 观众年龄的众数估计为35 C. 观众年龄的平均数估计为30.2 D. 观众年龄的第70百分位数估计为38 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知偶函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若函数在上恰有三个零点、三个极值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知多项式，则______. 13. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为________. 14. 设函数，若，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 16. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且 （1）证明：平面平面； （2）求二面角所成平面角的余弦值． 17. 投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求. 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 19. 设函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025届高三年级适应性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量和向量，若，则实数（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，即，所以． 故选：D． 2. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的离心率得出即可求解渐近线方程． 【详解】由离心率得， 所以此双曲线的渐近线方程为， 故选：B． 3. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 则. 故选：C 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 5. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥底面半径为，由题意可得：， 解得， 如图，作出图形的轴截面，其中分别为圆台的上下底面圆的圆心， 则， 可得， . 故选：C. 6. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B 7. 中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（ ） A. 72 B. 88 C. 100 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】先确定甲，再安排剩下人，按照将剩下人分三组和分两组讨论，结合分类加法与分步乘法计数原理可得解. 【详解】第一步，安排甲种； 第二步，安排剩下四人；①人分三组种；②人分两组种； 综上：种. 故选：C. 8. 已知，且，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数的图像，逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， ， 所以函数为奇函数， 又， 所以函数在R上单调递增， 又， 所以可得： ， 画出的图像， 当，，时，不成立， 当时，可能成立， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 观众年龄的众数估计为35 C. 观众年龄的平均数估计为30.2 D. 观众年龄的第70百分位数估计为38 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据百分位数的求法判断D. 【详解】由题意知，解得，故A错误； 观众年龄的众数估计是，故B正确； 估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误； 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故第70百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第70百分位数为38，故D正确． 故选：BD 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知偶函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若函数在上恰有三个零点、三个极值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将函数化简，再根据偶函数和最小正周期求出函数表达式，运用对称轴性质，导数几何意义，零点和极值点意义，然后逐一分析选项. 【详解】已知，根据辅助角公式可得： 因为是偶函数，则，即. 又因为，所以，，那么. 由的最小正周期（），可得，所以. 对于选项A，当时，，根据余弦函数的性质，在上单调递减， 所以在单调递减，A选项正确. 对于选项B，因为，而余弦函数的对称轴处函数值应取到最值， 所以直线不是曲线的一条对称轴，B选项错误. 对于选项C，对求导，可得. 直线可化为，其斜率为. 令，则，，即. 当时，. 把代入直线方程得， 当时，直线与曲线有公共点，且在该点处切线斜率与直线斜率相等， 所以直线是曲线的一条切线，C选项正确. 对于选项D，，当时，. 因为在上恰有三个零点、三个极值点， 根据余弦函数图象性质可知，解得，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知多项式，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】结合赋值法，分别令和，可得和，再把两式相加，可求的值. 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相加可得. 故答案为：18 13. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】依题意可得该动圆圆心在以点为圆心，以为半径的圆上，再根据圆外一点到圆上一点的最近距离为该点到圆心的距离减去半径，即可得解. 【详解】根据题意圆心到定点的距离为， 所以圆心在以点为圆心，以为半径的圆上， 易知原点在圆的圆外， 由圆外一点到圆上一点的最近距离为该点到圆心的距离减去半径， 所以圆心到原点的距离的最小值为， 故答案为：4 14. 设函数，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由得到恒成立，可得恒成立，分别令，，通过求导确定单调性，得出最值即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 要使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以，从而， 则，又，得， 所以由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即， 所以只需，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 16. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且 （1）证明：平面平面； （2）求二面角所成平面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为四边形为直角梯形，且，故， 又，故，而，，平面， 所以平面，而平面，所以， 而，，平面，由梯形知，必定相交， 故平面，而平面， 故平面平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据空间中垂直关系的转化可得平面，从而可得，故可证平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面； （2）先求出到棱的距离，再求出到平面的距离，从而可得平面角的正弦值，故可求其余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，在平面中过作，垂足为， 由（1）可得平面，而平面，故， 而，，故，而， 所以， 因为，所以， 在平面中，过作，交延长线于点，连接， 则，故，且， 取的中点为，连接，由可得， 因为平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 而，，平面，故平面， 故到平面的距离为，且， 而，平面，平面， 故平面，故到平面的距离即为到平面的距离为， 设二面角的平面角为，则， 由图可知为钝角，故． 17. 投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求. 【答案】（1）的分布列为 2 3 4 ； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可能的取值，求出相应的概率写出分布列，再利用公式求出期望值； （2）根据题意得出的表达式，利用错位相减法求和即可； 【小问1详解】 可能取值为2，3，4， ， ，. 则的分布列为 2 3 4 数学期望. 【小问2详解】 根据题意，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， 所以， 则， 则有， 两式相减，得， 所以. 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）1. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆对称性，用待定系数法求解椭圆方程；（2）（i）设直线方程，根据韦达定理表示三角形面积，进而进行判断；（ii）由可知直线的倾斜角互补，用距离公式表示并作比值求解. 【小问1详解】 由对称性知，和在椭圆C上，所以， 所以，C的方程为. 【小问2详解】 方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，，则且， .点到直线的距离， 所以面积. 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，则且， . 点到线的距离，所以面积 . ，即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是， ，.所以， 于是，因为， 所以.所以的值1. 19. 设函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3） 由（2）知在R上单调递增，要证，即证， 由且，即证， 由，，则且， 所以且上，证明，即恒成立， 所以，只需证在上单调递增，且增长速度逐渐变快， 由（2），、在上均单调递增， 所以且上，恒成立，故，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值； （2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集； （3）问题化为且上恒成立，即判定证明、在上单调递增即可证. 【小问1详解】 由题设，则，而， 所以曲线在处的切线方程为， 所以，即为，则； 【小问2详解】 由（1）得，则， 令，则， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以，故在R上单调递增，且， 所以的解集为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $