精品解析：河北省承德高新区第一中学2024-2025学年高一下学期数学5月月考数学试卷

河北承德高新区第一中学 2024—2025学年第二学期高一年级数学5月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间中两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 7. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 如图，在四面体 中，，，D，E，F 分别是棱，，的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则（ ） A. B. 当有两解时，的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 当BC边上的中线的长为时， 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________． 13. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 14. 已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围为______________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间． 16. 在中，内角所对的边分别是，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求的解析式及图象的对称中心； （3）若函数在区间上有5个零点，求的取值范围． 19. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求四棱柱被平面截得的截面周长； （3）求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德高新区第一中学 2024—2025学年第二学期高一年级数学5月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 故选：C. 2. 已知空间中两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，若，则，C错误；D选项，由线面平行的判定定理得到D正确. 【详解】对于A选项，若， 当平行时，平行或者相交，A错误； 对于B选项，若，则或相交，但不一定垂直，B错误； 对于C选项，若，则，C错误； 对于D选项，由直线与平面平行的判定定理知，D正确． 故选：D． 3. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值. 【详解】由得， ∵，，∴，解得. 故选：A. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，，即可得答案. 【详解】解：函数， 由，，得，， 所以函数的单调递减区间为， 故选：A. 5. 已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，根据正弦图象，得到不等式，求出答案. 【详解】，时，， 由于在区间上有最大值，没有最小值， 故，解得. 故选：A 6. 是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 7. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 8. 已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把平面平面，转化为，再利用等边三角形的性质，确定和的外接圆的圆心的位置，从而得到四边形为正方形，进一步得到，再求出的外接圆半径，在包含球半径的中求解即可. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 由题意可知和均为全等的等边三角形， 所以，且， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以. 设为球心，为的外心，为的外心， 则平面，平面，且， 所以四边形为正方形，即. 又因为的外接圆半径， 所以在中，，即， 所以球的表面积为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 如图，在四面体 中，，，D，E，F 分别是棱，，的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求得. 【详解】对于A中，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，因为，且为的中点，可得， 又因为，且为的中点，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为，所以平面，所以B正确. 对于C中，由B项知：平面，因为平面， 所以平面平面，所以C正确； 对于D中，设直线，易得，可得，所以， 假设平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为与不一定垂直，所以平面与平面不一定垂直，所以D错误. 故选：ABC. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则（ ） A. B. 当有两解时，的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 当BC边上的中线的长为时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A，利用正弦定理判断B，利用基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值，从而判断C，设的中点为，则，将两边平方，再由数量积的运算律判断D. 【详解】对于A：因为，，所以， 所以，又，所以，故A错误； 对于B：当有两解时，则，即，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故面积的最大值为，故C正确； 对于D：设的中点为，则， 所以，即，又， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 所以的最小正周期，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误； 当，则，又在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，由求解 【详解】若恰有两解，则，解得， 即边长度的取值范围为． 故答案为： 13. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用及相似三角形，证得，由得到，，推出即得. 【详解】 如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题. 解题的关键在于先由，通过两个平面的相交，证明点在交线上，从而确定点的位置. 14. 已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围． 【详解】，， ∵函数在区间上有且仅有4个零点， ，解得， 即的取值范围是 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间． 【答案】（1），最小正周期为 （2）最大值为，取最大值时有；最小值为，取最小值时有 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，先确定和周期，随后确定的值，代入特殊点确定的值，可得函数的解析式； （2）利用换元的思想，结合的图象和性质解决问题. （3）利用换元的思想，结合的图象和性质解决问题. 【小问1详解】 由函数图象可知，，， 即，将点代入，得， 则，，则，， 由于，故， 即，最小正周期为. 【小问2详解】 当时，， 故当，即时，， 当，，即时，. 【小问3详解】 当时，， 故当，即时，单调递减： 当，即时，单调递增； 故当时，函数的单调递增区间为． 16. 在中，内角所对的边分别是，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对角化边，求出，根据余弦定理求出； （2）对使用余弦定理和求出； （3）求出和，求出. 【小问1详解】 因为，则， 即，且，则， 又， 解得； 【小问2详解】 因为，且， 则； 【小问3详解】 因为，， 则. 17. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2） ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，， ∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求的解析式及图象的对称中心； （3）若函数在区间上有5个零点，求的取值范围． 【答案】（1），； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）利用图象变换求出，再利用正弦函数的对称性求出对称中心. （3）利用正弦函数性质求出范围. 【小问1详解】 依题意，， 函数的最小正周期，由， 解得，所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，得， 再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变， 得，由，得， 所以的解析式为，图象的对称中心为. 【小问3详解】 由，得，由函数在区间上有5个零点， 得，解得， 所以的取值范围是. 19. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求四棱柱被平面截得的截面周长； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明:因为四边形是菱形，，为的中点，所以， AI 在直四棱柱中，平面平面， 因为平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，且平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，进而得出根据角得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）根据线面平行性质定理得出线线平行得出截面再根据图形特征计算边长即可； （3）先根据线面角定义得出与平面所成角为，再等面积求边长比即可得出正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 所以平面与平面的交线与平行，所以交线为， 连接，，， 则四棱柱被平面截得的截面为四边形， ，， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以四边形的周长为. 【小问3详解】 过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以点在平面上的射影必在上，所以直线与平面所成角为， 因为，，，， 所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $