第06讲 确定圆的条件（知识清单+易错+2必考题型）考试满分全攻略同步备考系列讲义-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

第06讲 确定圆的条件 题型梳理 易错分析 易错点一 外心位置未知的情况下忽视分类讨论而致错 题型方法 题型一 确定圆的条件 题型二 三角形的外接圆 知识清单 知识点1：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点2：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 易错分析 【易错点一】外心位置未知的情况下忽视分类讨论而致错 【例1】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】在△ABC中，AB=AC，BC=12，已知圆O是△ABC的外接圆，且半径为10，则BC边上的高为 ． 题型方法 【题型一】确定圆的条件 【例1】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【题型二】三角形的外接圆 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【变式3】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 D．平分弦的直径垂直于弦 2．（21-22九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 3．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 8．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为 ． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 14．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）(1)尺规作图，作出的外接圆(不写作图过程，但保留作图痕迹)； (2)若，，，求外接圆的半径长． 15．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 16．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 确定圆的条件 题型梳理 易错分析 易错点一 外心位置未知的情况下忽视分类讨论而致错 题型方法 题型一 确定圆的条件 题型二 三角形的外接圆 知识清单 知识点1：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点2：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 易错分析 【易错点一】外心位置未知的情况下忽视分类讨论而致错 【例1】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，画出图形，连接OB，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解． 【详解】 解：如图1：当∠BAC为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB， ∵AD⊥BC，BC=6， ∴BD==3， ∵半径为5， ∴OB=OA=5， ∴， ∴AD=OA+OD=4+5=9， ∴， 如图2：当∠BAC为钝角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB， ∵AD⊥BC，BC=6， ∴BD==3， ∵半径为5， ∴OB=OA=5， ∴， ∴AD=OA-OD=5-4=1， ∴， 故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 【举一反三】【变式1】在△ABC中，AB=AC，BC=12，已知圆O是△ABC的外接圆，且半径为10，则BC边上的高为 ． 【答案】2或18 【分析】分点A在优弧和劣弧上两种情况，当A在优弧上时，过A作AD⊥BC于点D，则可知O在AD上，连接BD，在Rt△BOD中可求得OD=5，可知AD=8+10，当点A在劣弧上时可知AD=OA-AD=2． 【详解】如图1，当点A在优弧上时，过A作AD⊥BC于点D， ∵AB=AC， ∴BD=CD=6，且圆心O在AD上， 连接OB，则OB=OA=10， 在Rt△BOD中，由勾股定理可求得OD=8， ∴AD=AO+OD=10+8=18； 如图2，当点A在劣弧上时，过A作AD⊥BC于点D， ∵AB=AC， ∴BD=CD=6，且圆心O在AD上， 连接OB，则OB=OA=10， 在Rt△BOD中，由勾股定理可求得OD=8， ∴AD=AO−OD=10−8=2； 综上可知△ABC的BC边上的高为2或18， 故答案为2或18. 【点睛】考查垂径定理，勾股定理，画出图形，分类讨论是解题的关键. 题型方法 【题型一】确定圆的条件 【例1】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：①半径相等的圆是等圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确； ③以长为半径的圆有无数个，没有指定圆心，故③正确； ④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 【题型二】三角形的外接圆 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次方程的根，注意分类讨论．先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或 ∴，， ①当直角边分别为2，6时，斜边为， ∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长， ∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为； ②当斜边为6时， 此时直角三角形外接圆直径为6，半径为3， 故答案为：3或． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 【变式3】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【答案】(1)见解析 (2)，外接圆的半径是 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键． （1）作和的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出； （2）连接并延长交于点D，连接，在直角中，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径． 【详解】（1）解：即为所作；    （2）连接并延长交于点D，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径是r，则，， 在直角中，，即， 解得：，则外接圆的半径是． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，根据三角形的外接圆及垂径定理可得出答案． 【详解】解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意； C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，说法正确，符合题意； D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（21-22九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】D 【分析】根据等弧的定义对进行判断；根据三角形外心的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断． 【详解】解：、能够完全重合的弧叫等弧，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项错误，不符合题意； 、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，三角形的外心，等弧的定义，解题的关键是掌握圆可以看做是所有到定点的距离等于定长的点的集合，掌握与圆有关的概念． 3．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点D在的边上的中垂线上， ∴点D是外心． 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可． 【详解】解：如图， 点即为外接圆的圆心； 故答案为：． 8．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 【答案】G 【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论． 【详解】解：如图： 作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G， 则△ABC的外接圆圆心是点G， 故答案为：G． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】设这个直角三角形的斜边为，根据勾股定理，得到，将其代入，解得，即得到这个直角三角形的外接圆直径，进而求得这个直角三角形的外接圆面积． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边为， 由题意得，， ∵， ∴， 令， 则有，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为直角三角形的斜边， ∴， ∵，， ∴， ∴这个直角三角形的外接圆直径为，半径为， ∴这个直角三角形的外接圆面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，换元法解一元二次方程以及三角形的外接圆的相关性质及面积，灵活运用以上知识点是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键． 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设的外心为M）必在直线上，由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到，连接，过M作作于点，由勾股定理即可求得M的半径长． 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见详解 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O 【详解】 14．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）(1)尺规作图，作出的外接圆(不写作图过程，但保留作图痕迹)； (2)若，，，求外接圆的半径长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查了作三角形的外接圆；垂径定理，勾股定理； （1）根据题意分别作的垂直平分线，交于点，以为半径作圆，则，即为所求； （2）根据垂径定理可得， 根据，得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）尺规作图，如图1 （2）如图所示， 、分别垂直平分、 ， ， 又， ， 外接圆的半径长 15．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，是等腰三角形，作出边的中垂线，交点即为的外接圆圆心，连接圆心与的一个顶点，以这个线段长为半径作圆即可得到答案； （2）如图所示，由垂径定理可知于，且，再由勾股定理求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解：如图所示：   于，且，， ， 在中，，则， 在中，，则， 设，则，即，解得， （1）中所作外接圆的半径． 【点睛】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 16．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形；理由见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的外心的性质以及菱形的判定，掌握四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．根据，得到，根据全等三角形的判定定理得到，得到，根据三角形外心的性质得到，根据菱形的判定定理得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的外心， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)见详解 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， （2）解：依题意，的中点如图所示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$