专题05 尺规作图和动态几何（重庆专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题05 尺规作图和动态几何 题型概览 题型01尺规作图+补全证明 题型02动态几何+函数图象 ( 题型0 1 )尺规作图+补全证明 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点E是上的一点，且： (1)作的平分线交直线于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴①______． ∵在四边形中，，∴②______，∴，∴③______． ∵，∴． ∵，∴四边形是④______， 又∵，∴四边形是菱形． 小全和小善经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与四边形的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角的平分线⑤______． 3．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，四边形为矩形，对角线、交于点，为上一点，连接、． (1)用直尺和圆规完成以下操作：在右侧作，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证四边形为平行四边形． 四边形为矩形，交于点 在与中 ③___________ 又 四边形为④___________ 以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为⑤___________． 4．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． (1)如图，四边形是菱形，，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是菱形，，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴ ① ∵， ∴是等边三角形．∴． 又∵， ∴ ② ．（三线合一） ∵，∴． ∴ ③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 5．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 6．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）在学习了矩形，菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，平行四边形，点O是对角线的中点，用尺规作于点E，交于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，． ∴_____，， 点O是对角线的中点， ∴______ ∴， ∴③ ∴, 又， ∴四边形是④ 7．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）在学习了平行四边形和菱形的相关知识后，学习小组进行了拓展性研究．他们发现，过平行四边形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得此结论．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，是对角线，过D作交于点E，连接．用尺规过点B作的垂线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，① ， ∴. ∵， ∴， 在和中 ， ∴(ASA)， ∴③ ，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？过菱形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是④ ． 8．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）    (2)已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 9．（2025年重庆市渝中区中考二模）某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： (1)如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 10．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 11．(24-25九下·重庆潼南区·)在学习平行四边形的过程中，小明想利用如下条件构造出一个菱形：如图，在平行四边形中，为对角线，E为边上一点，连接，且，过点E作的垂线交于点F，垂足为O，连接，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空． (1)用直尺和圆规，过点E作AC的垂线（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)若过点E作AC的垂线分别交BC于点F，垂足为O，连接AF． 证明：四边形AECF是菱形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴①______， ∴，， ∵，且EF是AC的垂线， ∴②______， 在与中， ∴， ∴③______且， ∴④______， 又∵， ∴四边形AECF是菱形． 12．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 13．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·模拟)米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①__________． ． ， ②__________． ， ③__________． 四边形是平行四边形， ④__________． 四边形是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是⑤__________． 14．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴①______ ∵为的中点 ∴②______ ∴在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵④______ ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______． ( 题型0 2 )动态几何+函数图象 15．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）． 16．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为t，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)当函数与的图像有两个交点时，请直接写出b的取值范围． 17．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 18．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，在长方形中，，，动点P、Q从点A同时出发，点P沿方向运动，点Q沿方向运动，到达点C时均停止运动，且在运动过程中始终保持（或与重合）．设点P运动的路程为x，点Q运动的路程为，长方形的周长与点P的运动路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 19．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，，，点E是的中点，连接，动点P从点A出发，沿运动，同时动点Q从点B出发，沿运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接，，．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与动点P运动时间之比为， (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，请写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 20．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 21．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图，在矩形中，，点E是边的中点．动点M以每秒1个单位的速度从A出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与动点M的路程之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围 ．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 22．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，在中，，，于点D．，点P为线段上一点（不与A，D两点重合），过点P作交于点M，交于点N．设的长度为x，点M、N之间的距离为，的周长与的周长之比为． (1)直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．    (1)求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质； (3)当时，求的值． 25．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为． (1)直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______． 26．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图1，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B﹑C不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点运动时间为秒，的长度为，的长度为，请解答下列问题： (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过0.2）． 27．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 尺规作图和动态几何 题型概览 题型01尺规作图+补全证明 题型02动态几何+函数图象 ( 题型0 1 )尺规作图+补全证明 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】（1）根据题意利用尺规作图作出的平分线，即可； （2）利用平行四边形的性质求得，，利用证明，推出，，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质求得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：（1）所作图形如图所示： 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 2．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点E是上的一点，且： (1)作的平分线交直线于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴①______． ∵在四边形中，，∴②______，∴，∴③______． ∵，∴． ∵，∴四边形是④______， 又∵，∴四边形是菱形． 小全和小善经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与四边形的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角的平分线⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④平行四边形；⑤互相垂直 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，作角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质． （1）根据画角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由得可得，进而得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论． 【详解】（1）解：作的平分线交直线于点F，连接，如图即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小全和小善经过进一步探究发现， ∵四边形是菱形． ∴与互相垂直，并且与四边形的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角的平分线互相垂直． 故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤互相垂直． 3．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，四边形为矩形，对角线、交于点，为上一点，连接、． (1)用直尺和圆规完成以下操作：在右侧作，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证四边形为平行四边形． 四边形为矩形，交于点 在与中 ③___________ 又 四边形为④___________ 以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为⑤___________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【分析】（1）以点O为圆心，为半径画弧交于一点F，再连接，，因为四边形为矩形，则，再结合，则四边形是平行四边形，故，即， （2）结合证明，然后运用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答．如果四边形为菱形，同理先证明四边形为平行四边形，再结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：四边形为矩形，交于点， ， 在与中 ， ， 又， 四边形为④平行四边形， 以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为⑤菱形， 同理证明四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， 即， ∴四边形为菱形． 4．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． (1)如图，四边形是菱形，，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是菱形，，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴ ① ∵， ∴是等边三角形．∴． 又∵， ∴ ② ．（三线合一） ∵，∴． ∴ ③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 【答案】(1)图见详解 (2)；；； 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】（1）按照步骤过点作出的垂线，延长交直线于点，连接即可． （2）根据菱形的性质得出是等边三角形．在证明，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可证明平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】（1）解：按照题意画图如下： （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了垂线的画法，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 【答案】（1）见解析 （2），，，大 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】此题考查了基本作图，全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是关键． （1）按照角平分线的作图方法作图，再作线段等于已知线段即可； （2）证明，则，由得到． 【详解】（1）如图即为所求， （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较大．（填“大”或“小”）． 故答案为：，，，大 6．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）在学习了矩形，菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，平行四边形，点O是对角线的中点，用尺规作于点E，交于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，． ∴_____，， 点O是对角线的中点， ∴______ ∴， ∴③ ∴, 又， ∴四边形是④ 【答案】(1)见解析 (2)；；③④平行四边形 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】（1）根据尺规作图-作垂线的方法，过点作的垂线，分别交于点，连接，即可； （2）首先根据平行四边形的性质，证明，即可证明，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题主要考查了尺规作图—作垂线、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】（1）解：根据垂线的基本作图，作图如下： 则． （2）证明：四边形是平行四边形， ∴，． ∴，， 点O是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴, 又， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：；；③④平行四边形． 7．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）在学习了平行四边形和菱形的相关知识后，学习小组进行了拓展性研究．他们发现，过平行四边形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得此结论．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，是对角线，过D作交于点E，连接．用尺规过点B作的垂线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，① ， ∴. ∵， ∴， 在和中 ， ∴(ASA)， ∴③ ，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？过菱形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是④ ． 【答案】(1)作图见解析 (2)菱形 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】（1）延长，以点B为圆心，以为半径画弧，再以点G，H为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，作直线，交于点F，连接； （2）根据平行四边形的性质可得，，再根据“角边角”证明，可得，则答案可得；结合菱形的判定定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 在和中 ， ∴(ASA)， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 菱形． 由（2）可知， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】 本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，作出图形构造全等三角形是解题的关键． 8．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）    (2)已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 【答案】(1)见解析 (2)，，，，成立，证明见解析 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】（1）根垂直平分线的作法求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得，然后得出，即可得到；当点D在外时，分两种情况讨论，然后分别根据角平分线的性质和全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）如图所示，    （2）证明：∵平分，，， ∴①， 在和中 ∴ ∴③． 又∵， ∴． ∴， ∴④， ∴； 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤成立． 证明如下：如图所示，当点D在下方时，    ∵平分，，， ∴①， 在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴． ∴， ∴④， ∴； 如图所示，当点D在延长线上时，    ∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了尺规作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（2025年重庆市渝中区中考二模）某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： (1)如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知垂线的尺规作图方法和菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已知推理过程，结合菱形的判定定理和线段垂直平分线的性质和判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：经过的中点，且， ，， ，，， ． ， 于点， ． ， ． ， 四边形是菱形． 10．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤矩形 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】（1）分别以为圆心，小于的长为半径画弧与交于两，再以这两点为圆心画弧交于点，连接，与交于点，交于点，连接，此时； （2）根据推理过程上下之间的逻辑关系推理填空即可． 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①， ∴， ∴②． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴③， ∴，即， ∵④， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是矩形． 结论：四边形是⑤矩形． 故答案为：①；②；③；④；⑤矩形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，具体的是关键是正确寻找全等三角形解决问题． 11．(24-25九下·重庆潼南区·)在学习平行四边形的过程中，小明想利用如下条件构造出一个菱形：如图，在平行四边形中，为对角线，E为边上一点，连接，且，过点E作的垂线交于点F，垂足为O，连接，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空． (1)用直尺和圆规，过点E作AC的垂线（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)若过点E作AC的垂线分别交BC于点F，垂足为O，连接AF． 证明：四边形AECF是菱形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴①______， ∴，， ∵，且EF是AC的垂线， ∴②______， 在与中， ∴， ∴③______且， ∴④______， 又∵， ∴四边形AECF是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质可得，再证可得，再证四边形AECF是平行四边形，最后结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）证明：根据题意作图如下： ∵如图：四边形是平行是边形， ∴， ∴，， ∵，且EF是AC的垂线， ∴， 在与中 ， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：，，，四边形是菱形是平行． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 12．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③平行四边形；④ 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图即为所求： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④． 13．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·模拟)米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①__________． ． ， ②__________． ， ③__________． 四边形是平行四边形， ④__________． 四边形是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是⑤__________． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；菱形 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，并连接，即可求解． （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空，进而根据矩形的性质与菱形的判定定理证明是菱形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是菱形，理由如下 四边形是矩形， ，． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形． 14．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴①______ ∵为的中点 ∴②______ ∴在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵④______ ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和尺规作图是解题关键． （1）先根据尺规作图作的垂直平分线，分别交、于点、，再连接、即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】（1）解：过点作的垂线，分别交、于点、，连接、，如图所示： ． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形．证明如下： 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，于点， ∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④；⑤菱形． ( 题型0 2 )动态几何+函数图象 15．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）． 【答案】(1)，，； (2)见解析，当时，函数值随自变量的增大而增大；（答案不唯一） (3) 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】（1）分点P在与点P在上两种情况，即可求得；分别求出的面积与的面积，即可求得； （2）根据一次函数与反比例函数的图象画出两个函数的图象即可；利用一次函数的性质即可写出的一条性质； （3）根据所画的函数图象即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴； 当点P在上时，则，此时，； 当点P在上时，则，此时，； 即； 的面积为，而，， ∴的面积为， ∴，其中； （2）解：画图如下： 当时，函数值随自变量的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，求动点问题的函数解析式，画函数图象，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 16．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为t，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)当函数与的图像有两个交点时，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)； (2)图象见解析，性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小 (3) 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．熟练熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，函数与线段综合，函数与三角形面积综合，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，勾股定理，函数与不等式，是解题的关键． （1）根据三角形的高，得，得，得，， ，可得，，当时， ，得；当时， ，得；根据，得； （2）根据时，；时，， 时，； 时，；时，；时，；时，；描点，连线，画出函数图象；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）画出一次函数的图像，过点分别画出平行于一次函数的图像的直线，分别求出b的值，即可解答． 【详解】（1）解：在中，为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上所述，，； （2）在中， 时，；时， 在中，时， 在中，时，；时，；时，；时， 画出如图所示函数图象； 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）如图，将代入，得 ， ∴， 将代入，得 ， ∴， ∴由图可知，当函数与的图像有两个交点时， 17．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、勾股定理、三线合一等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点E在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，同理可得当点E在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出的性质即可； （3）求出时两函数的交点横坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，于点D， ∴， ∴， ∴，即； 如图，点E在上时，过点D作于H，则， ∵， ∴， ∴； 同理：可得当点P在上时，． 综上所述，． （2）解：列表如下： x … 1 2 … … x … 1 6 … 0 … x … 1 2 … 6 3 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． （3）解：联立：解得：或， ∴当时，与交点的横坐标为或， ∴由函数图象可得：当时，函数时x的取值范围为：． 18．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，在长方形中，，，动点P、Q从点A同时出发，点P沿方向运动，点Q沿方向运动，到达点C时均停止运动，且在运动过程中始终保持（或与重合）．设点P运动的路程为x，点Q运动的路程为，长方形的周长与点P的运动路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图像见详解；性质：在取值范围内，随的增大而增大；性质：在取值范围内，随的增大而减小； (3) 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，与几何图形的综合，平行线分线段成比例定理，结合图形正确进行分类讨论是解题的关键． （1）根据题意，分两种情况：当点P、Q分别在边上时，当点P、Q分别在边上时，结合图形求出关于x的函数表达式，由题意可直接写出关于x的函数表达式； （2）根据列表、描点、连线的步骤可画出函数图像，结合图像即可描述函数的性质； （3）根据图像列出方程，求出交点横坐标即可得x的取值范围． 【详解】（1）解：当点P、Q分别在边上时，如图， ， ， ，，点P运动的路程为x，点Q运动的路程为， ， ； 当点P、Q分别在边上时，如图， ， ， ，， ，， 点P运动的路程为x，点Q运动的路程为， ，， ， ； 综上所述，； 由题意得，， 即； （2）解：对于，时，时， 过点，画线段（不含原点）可得的图像， 对于，时，时， 过点，画线段可得的图像， 对于， 列表如下： 2 3 4 6 6 4 3 2 描出点，，，， 如图所示： 性质：在取值范围内，随的增大而增大； 性质：在取值范围内，随的增大而减小； （3）解：由图像可得，当时， 解得（舍去），， 时，x的取值范围为． 19．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，，，点E是的中点，连接，动点P从点A出发，沿运动，同时动点Q从点B出发，沿运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接，，．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与动点P运动时间之比为， (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，请写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)见详解 (3) 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】该题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数和一次函数综合，解题的关键是求出解析式． （1）在菱形中，根据对角线与交于点O，，，求出，，勾股定理求出，直角三角形的性质求出，分为当点Q在上运动，即时，过点作，根据，表示出，求出；当点Q在上运动，即时，过点作，根据，表示出，求出；过点作，根据，求出，表示出； （2）根据（1）中解析式画出图象，并写出函数的一条性质即可； （3）根据（2）中图象即可解答． 【详解】（1）解：∵在菱形中，对角线与交于点O，，， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 当点Q在上运动，即时， 过点作， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点Q在上运动，即时， 过点作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 过点作， ∵， ∴，即， 解得：， ， 综上，，； （2）解：画图如下： 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：根据图象可得，当时，x的取值范围． 20．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，勾股定理，画函数图象得到，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用勾股定理可得，则可得到，由平行线的性质可得，再解求出和的长，进而确定点P在和上的运动时长，再分点P在和上两种情况分别求出，即可得到，根据题意可得的长，再利用三角形面积公式可得的长，据此可得； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）求出的交点横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，， ∴当时，点P在线段上运动，当时，点P在线段上运动， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图2所示，当时，则此时有， ∴， ∴； ∵动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示函数图象即为所求；由函数图象可得，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3）解：联立得：，解得（已检验）或（舍去）， 联立得，解得（已检验）或（舍去）， ∴由函数图象可知当时x的取值范围为． 21．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图，在矩形中，，点E是边的中点．动点M以每秒1个单位的速度从A出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与动点M的路程之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围 ．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或（误差不超过0.2即可） 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【详解】（1）解：在矩形中，， ， 点E是边的中点． ， 当点在上时，此时， 可得，则， ； 当点在上时，此时， 可得， ， 综上，； 的面积为， ； （2）解：函数图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：列方程， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 时，； 列方程， 解得（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 时，； 故答案为：或（误差不超过0.2即可）． 22．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)，； (2)图见解析，当时，的最小值为0；在区间内，随的增大而减小； (3)时的取值范围为． 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识． （1）分和两种情况求得，证明，利用相似三角形的性质求得； （2）根据函数关系式列表，描点，连线，作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 当时，， 当时，， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 综上，，； （2）解：列表： 0 1 2 3 4 6 3 0 3 8 4 2 描点，连线，图象如下： ； 当时，的最小值为0；在区间内，随的增大而减小； （3）解：联立方程组， 解得或（舍去）， 观察图象，时的取值范围为． 23．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，在中，，，于点D．，点P为线段上一点（不与A，D两点重合），过点P作交于点M，交于点N．设的长度为x，点M、N之间的距离为，的周长与的周长之比为． (1)直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见详解；当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 (3) 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，一次函数和反比例函数的图像和性质．正确画出函数图像是解题的关键． （1）先由点P为线段上一点（不与A，D两点重合）， 可知，根据平行证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：，再由等比的性质解答即可； （2）画出图像，再根据上升或下降写出一条性质即可； （3）先算出两图像交点的横坐标，观察图像确定图像在图像上方时的取值即可，注意原本的取值范围． 【详解】（1）解： ，点P为线段上一点（不与A，D两点重合）， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，． （2） 解： 当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小． （3） 解： 当与的相交时，有， 解得：或（不合题意，舍去） 观察图像，时x的取值范围为． 24．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．    (1)求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质； (3)当时，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析， (3)当时，或 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】（1）根据点的运动速度，正方形的性质，图形结合，以及三角形面积的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据（1）中的函数解析式即可绘图； （3）根据（2）中图像性质，分类讨论，当时或当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：边长为的正方形中，为中点，点以每秒个单位的速度运动，点以每秒个单位的速度运动，运动时间为， ∴，，，，， ∴点从的时间为：，点从的时间为：， 点运动的过程， ①当在上运动时，，， ②当在上运动时，，如图所示，   ， ∴点在运动过程中； 点运动的过程，， 综上所述：，． （2）解：由（1）可知，，，如图所示，   的函数图像，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 的函数图像，当时，随的增大而增大． （3）解：由（2）的图像可知， 当时，， ∴，解得，； 当时，， ∴，解得，； 综上所述，当时，或． 【点睛】本题主要考查动点与正方形的性质，动点运动规律与函数图像的综合，掌握动点运动与图形面积的计算方法，函数图像的绘图与性质，一次函数交点的计算方法是解题的关键． 25．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为． (1)直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】根据勾股定理求出，因为点是的中点，可得，当点的运动速度为每秒个单位长度，可得：当时，，当时，； 根据分段函数的解析式画出函数图象即可； 当直线过点时，可得：，所以直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是． 【详解】（1）解：，，， ， 点是的中点， ， ，点的运动速度为每秒个单位长度， ， 当时，， ； ， ， 当时，过点作， 则， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ； 综上所述，； （2）解：画函数图象，如下图所示， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：当直线过点时， 可得：， 解得：， 直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据三角形的面积公式分段求出与的函数关系式． 26．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图1，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B﹑C不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点运动时间为秒，的长度为，的长度为，请解答下列问题： (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图见解析；函数的性质：当时，随的增大而减小；函数的性质：当时，随的增大而减小 (3)或 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题； （1）根据，，即可得出，结合三角形的面积公式可得的解析式， （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：，，， 当时，，， ∴ ∵的面积为，即， ∴， ∴ （2）解：如图，，的图象如下： 函数的性质：当时，随的增大而减小； 函数的性质：当时，随的增大而减小 （3）解：当时，，解并检验得：​或 由图象可得：当时，或 27．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)画函数图象见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或． 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； （2）解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$