专题04 应用题和解直角三角形实际应用（重庆专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题04 应用题和解直角三角形实际应用 题型概览 题型01应用题 题型02解直角三角形实际问题 ( 题型0 1 )应用题 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）列方程（组）解应用题： 端午节食粽是我国的传统习俗，某超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元，购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元． (1)求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ (2)为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，蜜枣粽单价是咸肉粽单价的倍，小北花了元购买蜜枣粽，元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 2．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 3．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)春节期间，电影“哪吒之魔童闹海”火出了圈，某商家看到商机，果断购进哪吒和敖丙两款玩具． (1)商家花费元一次性购买了两款玩具共个，已知哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是元、元，求购买了哪吒玩具和敖丙各多少个？ (2)由于电影热度的下降和价格波动，现该商家第二次分别花费元、元购买哪吒玩具和敖丙玩具，已知购买哪吒玩具的数量是敖丙玩具数量的倍，每个敖丙玩具比每个哪吒玩具的价格少3元，求该商家第二次买多少个敖丙玩具？ 4．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)列方程解应用题：某冷饮店购进椰子水和柠檬茶这两种夏季饮品共60箱．已知每箱椰子水占0.3立方米的存储空间，每箱柠檬茶占0.2立方米的存储空间，椰子水和柠檬茶两种饮品共占用16立方米的存储空间． (1)请问该冷饮店采购了多少箱椰子水和多少箱柠檬茶？ (2)经市场调查，每箱椰子水的进价比每箱柠檬茶的进价多15元．如果用4500元采购椰子水的箱数与用3600元采购柠檬茶的箱数相同，那么采购这两种夏季饮品总共需要花费多少元？ 5．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个． (1)甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？ (2)若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？ 6．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）某市为推进绿色出行体系建设，拟对现有新能源汽车充电设施进行扩建改造．该工程由甲，乙两家电力工程公司共同承担施工任务，已知若由甲公司独立施工，完成全部工程需要个工作日；若采用乙公司先行施工个工作日，剩余工程由甲乙两公司联合施工个工作日的方式，亦可完成全部工程． (1)求乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要多少个工作日？ (2)现工程预算为不超过万元，已知甲公司施工费用为每日万元，乙公司施工费用为每日万元．若采用乙公司先独立施工若干工作日后，再由甲乙两公司联合施工的方式完成工程，则甲公司至少需要参与施工多少个工作日？ 7．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造． (1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天． (2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数． 8．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）“一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元． (1)请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？ (2)实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？ 9．（2025年重庆市渝中区中考二模）某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． (1)求甲组每天生产多少个套盒？ (2)实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 10．(24-25九下·重庆潼南区·二模)某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． (1)求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； (2)随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 11．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 12．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 13．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买3件运动恤和2个运动手环花费165元，且1件运动恤比1个运动手环贵30元． (1)每件运动恤和每个运动手环的售价分别是多少元？ (2)截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动恤和运动手环共200件，且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动恤多少件？ ( 题型0 2 )解直角三角形实际问题 14．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东方向，C在D的正南方向且在B的北偏西方向．经测量A，E两打卡点相距2000米．（参考数据：    ） (1)求D，E两打卡点之间的距离（结果保留根号）； (2)早上9点，小王从A点出发以每分钟200米的速度沿路线匀速跑步到D点，再从D点出发坐观光车以每分钟500米的速度沿路线返回A点．已知小王在段上跑步用时是段上跑步用时的2倍，请通过计算说明小王9点45分前能否回到A点（等车上车时间忽略不计，结果保留整数） 15．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）公园里有一条围绕河CE修建的五边形健身步道．清晨，小屹和爸爸到公园晨练．从B前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东方向，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） (1)求AE的长度（结果精确到1米） (2)小屹选择线路①，爸爸选择线路②，小屹跑步速度是110米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小屹和爸爸同时从B处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小屹和爸爸谁先到达D处？（结果精确到0.1） 16．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求景点、之间的距离（结果精确到个位）； (2)小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 17．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)周末，小红和小亮计划从各自家中出发到城市中央公园的喷泉广场点A集合，然后一起前往正北方向的科技馆点．小红的家在点，小亮的家在点．已知点在点的正东方向，点在点的北偏西方向，距离为，点在点的北偏西方向，点在线段上，且在点北偏东方向，点是线段的中点，且在点的东南方向．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小亮在出发前得知路段因市政施工封闭，于是小亮改道路线前往科技馆，求小亮新路线的路程比原计划路线的路程少多少千米？（精确到） 18．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） (1)求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） (2)巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 19．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）周末小明和小亮准备去公园景点C放风筝．如图，A，B，C，D为同一平面内的四个景点．已知景点B位于景点A的正北方向500米处，景点D位于景点A的北偏东方向，景点D位于景点B的北偏东方向，景点C位于景点B的东北方向，景点C位于景点D的正北方向．（参考数据：，） (1)求景点C到景点D的距离（结果保留根号）； (2)小明选择路线以的速度前往景点C处，小亮选择路线以的速度前往景点C处．已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点C（结果保留整数）． 20．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，C两港装载物资，运送到位于A港北偏东方向的D港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港，因装载工人人手不够，甲货轮花了5个小时装载货物，然后沿正北方向航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的西北方向航行一定距离到达C港，3个小时后装载好货物，再沿正东方向航行一定距离到达D港．（参考数据：， (1)求B，D两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行30海里，乙货轮每小时航行60海里，哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 21．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向． （参考数据：，） (1)求A与B之间的距离；（结果保留根号） (2)小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数） 22．（2025年重庆市渝中区中考二模）某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） (1)求椅面与地面之间的距离； (2)为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 23．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，是重庆市开州区举子公园的平面示意图，小云和小枫同时从大门A处出发，相约在文峰塔C处相聚，小云先沿A的正北方向行走300米到达景点B，然后沿B的北偏东方向继续行走800米到达文峰塔C，小枫沿A的正东方向走400米到达景点E，然后沿E的东北方向走了一段距离到达景点D，此时文峰塔C恰好在景点D的正北方向． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)小云步行的速度为40米/分，小枫步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达文峰塔C（参考数据：，，，结果精确到十分位）． 24．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图是某湿地公园里环湖跑道示意图，点是途中的四个观景台．观景台在观景台西北方向900米处，观景台在观景台的东北方向，观景台在观景台的正东方向，观景台在观景台北偏西方向． (1)求环湖跑道段的长度（结果保留根号）； (2)从观景台前往观景台，可以选择路线①，也可以选择路线②请问哪条路线最近？（结果保留整数）（参考数据：，） 25．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．    (1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离； (2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据： ，） 26．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 应用题和解直角三角形实际应用 题型概览 题型01应用题 题型02解直角三角形实际问题 ( 题型0 1 )应用题 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）列方程（组）解应用题： 端午节食粽是我国的传统习俗，某超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元，购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元． (1)求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ (2)为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，蜜枣粽单价是咸肉粽单价的倍，小北花了元购买蜜枣粽，元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 【答案】(1)蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元； (2)蜜枣粽的单价降低了元． 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程（组）是解题的关键． （）设超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设降价后咸肉粽的单价为元，则蜜枣粽单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元， 根据题意得，， 解得：， 答：超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元； （2）解：设降价后咸肉粽的单价为元，则蜜枣粽单价是元， 根据题意得，， 解得：， ∴蜜枣粽单价是， ∴蜜枣粽的单价降低了， 答：蜜枣粽的单价降低了元． 2．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 (2)食品加工厂第二周采购A种食材30件 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件 解得： 答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． （2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：食品加工厂第二周采购A种食材30件． 3．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)春节期间，电影“哪吒之魔童闹海”火出了圈，某商家看到商机，果断购进哪吒和敖丙两款玩具． (1)商家花费元一次性购买了两款玩具共个，已知哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是元、元，求购买了哪吒玩具和敖丙各多少个？ (2)由于电影热度的下降和价格波动，现该商家第二次分别花费元、元购买哪吒玩具和敖丙玩具，已知购买哪吒玩具的数量是敖丙玩具数量的倍，每个敖丙玩具比每个哪吒玩具的价格少3元，求该商家第二次买多少个敖丙玩具？ 【答案】(1)买哪吒玩具和敖丙玩具分别为个、个 (2)商家第二次购买敖丙玩具个 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【分析】本题考查了方程的应用．正确的列出等量关系是解题的关键． （1）通过设未知数，利用购买玩具的数量关系和总价关系建立方程即可求解； （2）通过设未知数，利用购买玩具的数量倍数关系和价格关系建立分式方程即可求解； 【详解】（1）解：设买了哪吒玩具x个，得解得 （个） 答：买哪吒玩具和敖丙玩具分别为个、个． （2）解：设商家第二次购买敖丙玩具y个，得解得 经检验：既是所列方程的解，又符合问题实际． 答：商家第二次购买敖丙玩具个． 4．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)列方程解应用题：某冷饮店购进椰子水和柠檬茶这两种夏季饮品共60箱．已知每箱椰子水占0.3立方米的存储空间，每箱柠檬茶占0.2立方米的存储空间，椰子水和柠檬茶两种饮品共占用16立方米的存储空间． (1)请问该冷饮店采购了多少箱椰子水和多少箱柠檬茶？ (2)经市场调查，每箱椰子水的进价比每箱柠檬茶的进价多15元．如果用4500元采购椰子水的箱数与用3600元采购柠檬茶的箱数相同，那么采购这两种夏季饮品总共需要花费多少元？ 【答案】(1)椰子水采购了40箱，柠檬茶20箱 (2)4200元 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设椰子水采购了x箱，柠檬茶y箱，根据“两种夏季饮品共60箱，每箱椰子水占0.3立方米的存储空间，每箱柠檬茶占0.2立方米的存储空间，椰子水和柠檬茶两种饮品共占用16立方米的存储空间”建立方程组求解； （2）设柠檬茶每箱进价为m元，则椰子水为元，根据“用4500元采购椰子水的箱数与用3600元采购柠檬茶的箱数相同”建立分式方程求解． 【详解】（1）解：设椰子水采购了x箱，柠檬茶y箱， 根据题意列方程组： 解得： 答：椰子水采购了40箱，柠檬茶20箱； （2）解：设柠檬茶每箱进价为m元，则椰子水进价为元， 由题意得： 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意， ∴， ∴柠檬茶60元/箱，椰子75元/箱， ∴总费用为：元， 答：总共需要花费4200元． 5．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个． (1)甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？ (2)若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？ 【答案】(1)2400,5400 (2)安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】（1）设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，解方程即可． （2）设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得， 解方程，得 故． 答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个． （2）解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的根， 故， 答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具． 6．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）某市为推进绿色出行体系建设，拟对现有新能源汽车充电设施进行扩建改造．该工程由甲，乙两家电力工程公司共同承担施工任务，已知若由甲公司独立施工，完成全部工程需要个工作日；若采用乙公司先行施工个工作日，剩余工程由甲乙两公司联合施工个工作日的方式，亦可完成全部工程． (1)求乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要多少个工作日？ (2)现工程预算为不超过万元，已知甲公司施工费用为每日万元，乙公司施工费用为每日万元．若采用乙公司先独立施工若干工作日后，再由甲乙两公司联合施工的方式完成工程，则甲公司至少需要参与施工多少个工作日？ 【答案】(1)个 (2)个 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】（）设乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日，根据题意列出方程即可求解； （）设乙公司先独立施工个工作日，甲乙公司合作施工个工作日，根据题意可得，解不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， 答：乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日； （2）解：设乙公司先独立施工个工作日，甲乙公司合作施工个工作日， 由题意得，， 解得， 答：甲公司至少需要参与施工个工作日． 7．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造． (1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天． (2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数． 【答案】(1)50天 (2)15米/天 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】本题考查了一元一次方程与分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天，根据技术改造前施工的长度与技术改造后施工的长度的和为3000米，列出一元一次方程，求解即可； （2）设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天，根据甲队施工的时间减乙队施工的时间为20，列出分式方程，并求解即可，注意检验． 【详解】（1）解：设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天， 由题意得：， 解得：； 答：技术改造前甲队施工了50天； （2）解：设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：乙队平均每天施工15米． 8．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）“一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元． (1)请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？ (2)实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？ 【答案】(1)“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元 (2)实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元，根据2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元，列方程即可解答； （2）设“牛肉霸王粽”降价元，根据“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元，可得“蛋黄板栗粽”的单价，利用450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，列分式方程即可解答． 【详解】（1）解：设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元， 则可得， 解得， 元， 答：“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元； （2）解：设“牛肉霸王粽”降价元，则“牛肉霸王粽”的单价为元， “蛋黄板栗粽”的单价为元， 故可得， 化简得， 解得， 经检验，是原方程的解， 两款粽子的单价均不低于10元， ， 实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个， 答：实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个． 9．（2025年重庆市渝中区中考二模）某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． (1)求甲组每天生产多少个套盒？ (2)实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 【答案】(1)甲组每天生产个套盒 (2)增加人员前，甲组有名工人 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个，由此列一元一次方程求解即可； （2）设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲组每天比乙组少生产200个套盒， ∴设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个， ∴， 解得，， ∴， ∴甲组每天生产个套盒； （2）解：甲组生产4天，则剩下的任务数量为：（个）， ∴甲、乙两组各分得（个）， ∵甲、乙两小组每天生产的数量比为， ∴设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个， ∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天， ∴， 解得，， 经检验：是方程的解， ∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为个/天，乙组每天生产数量为个/天， ∴甲组每人每天可生产个， ∴甲组原有人数为（人），即增加人员前，甲组有名工人． 10．(24-25九下·重庆潼南区·二模)某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． (1)求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； (2)随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 【答案】(1)水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元 (2)a的最小值为20 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的实际运用，理解数量关系，正确列分式方程，不等式是解题的关键． （1）设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的， ∴设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：a的最小值为20． 11．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【答案】(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 (2)最少要花3210元钱 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， （2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且， 即此次购进至少要花3210钱． 12．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程：（1）工程问题，设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，利用工作量之和等于总工程量列方程；（2）利润问题，设该纪念品的售价为元，根据题意，利用总利润公式列方程． 【详解】（1）解：设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队单独完成整项工程需要天． （2）解：设该纪念品的售价为元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵ ∴ 答：该纪念品的售价为元． 13．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买3件运动恤和2个运动手环花费165元，且1件运动恤比1个运动手环贵30元． (1)每件运动恤和每个运动手环的售价分别是多少元？ (2)截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动恤和运动手环共200件，且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动恤多少件？ 【答案】(1)每件运动恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元 (2)最多可购买运动恤66件 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设每件运动恤的售价是元，每个运动手环的售价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买运动恤件，则购买运动手环件，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出的最大正整数解即可得． 【详解】（1）解：设每件运动恤的售价是元，每个运动手环的售价是元， 由题意得：， 解得， 答：每件运动恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元． （2）解：设购买运动恤件，则购买运动手环件， 由题意得：， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为66， 答：最多可购买运动恤66件． ( 题型0 2 )解直角三角形实际问题 14．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东方向，C在D的正南方向且在B的北偏西方向．经测量A，E两打卡点相距2000米．（参考数据：    ） (1)求D，E两打卡点之间的距离（结果保留根号）； (2)早上9点，小王从A点出发以每分钟200米的速度沿路线匀速跑步到D点，再从D点出发坐观光车以每分钟500米的速度沿路线返回A点．已知小王在段上跑步用时是段上跑步用时的2倍，请通过计算说明小王9点45分前能否回到A点（等车上车时间忽略不计，结果保留整数） 【答案】(1)米 (2)能，理由见解析 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，由题意得，分别解即可； （2）如图：延长交于，由题意得：，，，在中，，那么，设，则，则，解，得，则，解得，则，求得，而，即可求解时间． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴米， 答：D，E两打卡点之间的距离米； （2）解：小王9点45分前能回到A点，理由如下： 如图：延长交于， 由题意得：，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（分钟）， 而早上9点，小王出发，则大概9点42分能回到点A， ∴小王9点45分前能回到A点． 15．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）公园里有一条围绕河CE修建的五边形健身步道．清晨，小屹和爸爸到公园晨练．从B前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东方向，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） (1)求AE的长度（结果精确到1米） (2)小屹选择线路①，爸爸选择线路②，小屹跑步速度是110米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小屹和爸爸同时从B处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小屹和爸爸谁先到达D处？（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长度是564米 (2)小屹先到达D处 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构建直角三角形： （1）过点A作于点H，易得四边形是矩形，推出是等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可； （2）解，求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人的速度，进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H，则； 由题意知，即， 故四边形是矩形， ∴米，； ∴， 即是等腰直角三角形， ∴米， 由勾股定理得：（米）， ∴的长度是564米． （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴米， ∴米； ∵点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ∴； 在中，， 则米，米； ∴（米）， （米）， 小屹到达D处的时间为：（分）． 爸爸到达D处的时间为：（分）． ∵， ∴小屹先到达D处． 16．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求景点、之间的距离（结果精确到个位）； (2)小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 【答案】(1)约为米 (2)小明先到达景点 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，二次根式，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握方向角中的三角函数的应用是解题的关键． （1）过点作于点，先在中，利用三角函数求出，再在中利用三角函数求出； （2）先求出和，再分别求出的三角度数，再利用三角函数求出和，利用，求出两人路程，再由速度相同，即可比较． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题可得，，，，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴（米）， 答：景点、之间的距离约为米； （2）解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴（米）， （米）， ∵， ∵两人速度相同， ∴小明先到达景点． 17．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)周末，小红和小亮计划从各自家中出发到城市中央公园的喷泉广场点A集合，然后一起前往正北方向的科技馆点．小红的家在点，小亮的家在点．已知点在点的正东方向，点在点的北偏西方向，距离为，点在点的北偏西方向，点在线段上，且在点北偏东方向，点是线段的中点，且在点的东南方向．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小亮在出发前得知路段因市政施工封闭，于是小亮改道路线前往科技馆，求小亮新路线的路程比原计划路线的路程少多少千米？（精确到） 【答案】(1)； (2)小亮新路线的路程比原计划路线的路程少千米 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作于点，求得，，在中，利用正弦函数的定义求得，在中，解直角三角形即可求解； （2）根据，计算即可求解． 【详解】（1）解：作于点，如图， 由题意得，，， ∴， ∴， 在中，， 在中，，； （2）解：由题意得， 答：小亮新路线的路程比原计划路线的路程少千米． 18．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） (1)求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） (2)巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 【答案】(1)海里 (2)能，见解析 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，由题意得：，，，，则，，，解，设，则，解得到，，解得，即可求解； （2）过点作于点O，解，求出，可求小艇从到再检查用时小时，可得为等腰直角三角形，则，那么，由勾股定理得，则，那么用时：小时，由，得到能及时将维修配件送达灯塔M． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， 由题意得：，，，， ∴，，， 在中，， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴海里； （2）解：过点作于点O， 在中，，， ∴， ∴小艇从到用时（小时）， 而检查用时分钟小时， ∴小艇从到再检查用时（小时）， 由题意得：， ∵中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴用时：（小时）， ∵， ∴能及时将维修配件送达灯塔M． 19．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）周末小明和小亮准备去公园景点C放风筝．如图，A，B，C，D为同一平面内的四个景点．已知景点B位于景点A的正北方向500米处，景点D位于景点A的北偏东方向，景点D位于景点B的北偏东方向，景点C位于景点B的东北方向，景点C位于景点D的正北方向．（参考数据：，） (1)求景点C到景点D的距离（结果保留根号）； (2)小明选择路线以的速度前往景点C处，小亮选择路线以的速度前往景点C处．已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点C（结果保留整数）． 【答案】(1)景点C到景点D的距离约为183米 (2)小明先到达景点C 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方位角问题，正确作辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交延长线于E，过点D作交延长线于F，先求得米，再解，求得米，米，然后证明四边形是矩形，得米，，最后解，求得米，从而得到米）中由求解； （2）解，求得米，从而得到米，即可求出小明到达景点C要用的时间；再解中，求得米，从而求得米，即可求出小亮到达景点C要用的时间，最后比较两人所用时间即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于E，过点D作交延长线于F， 由题意可得：，，，米，， ∵ ∴ ∴ ∴米， 在中，（米）， （米）， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴米，， 在中， ∴ ∴米， ∴（米）， ∴米， 答：景点C到景点D的距离约为183米． （2）解：在中，（米）， ∴（米）， ∴小明到达景点C要用的时间为， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴小亮到达景点C要用的时间为， ∵， ∴小明先到达景点C． 20．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，C两港装载物资，运送到位于A港北偏东方向的D港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港，因装载工人人手不够，甲货轮花了5个小时装载货物，然后沿正北方向航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的西北方向航行一定距离到达C港，3个小时后装载好货物，再沿正东方向航行一定距离到达D港．（参考数据：， (1)求B，D两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行30海里，乙货轮每小时航行60海里，哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达D港 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】（1）过点B作于点G，作，交于点H，故，解直角三角形求出，进而求出，易求，推出，进而求出，利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点M，易证，推出，求出海里，海里，根据题意得：，则，求出海里，海里，再根即已知计算出甲货轮所用时间乙货轮所用时间为比较即可解答． 【详解】（1）解：过点B作于点G，作，交于点H，故， 根据题意得：海里，， 在中，海里， 在中，, ∴海里，海里， ∴海里， 在中，海里， 答：B，D两港之间的距离为海里； （2）解：过点作于点M， ∵， ∴， ∴， 由（1）知海里，海里，海里，海里， ∴， ∴海里，海里， 根据题意得：，则， ∴海里， ∴海里，海里， ∴甲货轮所用时间为：（小时）， 乙货轮所用时间为：（小时）， ∵， ∴甲货轮先到达D港． 【点睛】本题考查了方位角视角下的解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 21．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向． （参考数据：，） (1)求A与B之间的距离；（结果保留根号） (2)小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)爸爸不能比小嘉和妈妈先到达平台D，理由见解析 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）如图，过作于，过作于，过作于，再利用，，，利用三角函数解答即可； （2）分别计算小嘉和妈妈步行的时间与爸爸步行的时间，再比较即可. 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，过作于， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴. （2）解：由题意可得：， ∴小嘉和妈妈步行的时间为（分钟）， 在中，，， ∴， ∴爸爸步行的时间为（分钟）； ∴爸爸b不能比小嘉和妈妈先到达平台D. 22．（2025年重庆市渝中区中考二模）某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） (1)求椅面与地面之间的距离； (2)为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 【答案】(1)椅面与地面之间的距离为 (2)不能，理由见详解 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意得到，如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离，在中，，由此即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点，根据解直角三角形的计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：与椅面的夹角为时，， ∴， ∵与地面保持平行， ∴， 如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离， 在中，， ∴， ∴椅面与地面之间的距离为； （2）解：不能，理由如下， 如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，假设此时能将椅背调节至最大角度到处，即， ∴，且， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴假设有误， ∴此时不能将椅背调节至最大角度到处． 23．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，是重庆市开州区举子公园的平面示意图，小云和小枫同时从大门A处出发，相约在文峰塔C处相聚，小云先沿A的正北方向行走300米到达景点B，然后沿B的北偏东方向继续行走800米到达文峰塔C，小枫沿A的正东方向走400米到达景点E，然后沿E的东北方向走了一段距离到达景点D，此时文峰塔C恰好在景点D的正北方向． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)小云步行的速度为40米/分，小枫步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达文峰塔C（参考数据：，，，结果精确到十分位）． 【答案】(1)的长度为米 (2)小枫先到达点C，见解析 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造矩形和直角三角形成为解题的关键。 （1）如图：过作交的延长线于，延长交于点．由题意可知，，，．解直角三角形可得、，再证明四边形是矩形可得，易得；由等腰直角三角形的性质可得，，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）先分别求出小云和小枫的路程，然后求出行走时间，然后再比较即可解答。 【详解】（1）解：如图：过作交的延长线于，延长交于点． 由题意可知，，，． 在中，， ， ∴， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，，， ． 答：的长度为米． （2）解：， ， ， ， ∴小枫先到达点C． 24．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图是某湿地公园里环湖跑道示意图，点是途中的四个观景台．观景台在观景台西北方向900米处，观景台在观景台的东北方向，观景台在观景台的正东方向，观景台在观景台北偏西方向． (1)求环湖跑道段的长度（结果保留根号）； (2)从观景台前往观景台，可以选择路线①，也可以选择路线②请问哪条路线最近？（结果保留整数）（参考数据：，） 【答案】(1)环湖跑道段的长度为 (2)路线②近，见解析 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】本题考查了有关方位角的解直角三角形的应用，勾股定理，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点，由题意得，，先解，求出，再解，即可求解； （2）解：过点C作于点，由题意得：，则，在中，由勾股定理得，则，设，解，则，由，得到，求出，由勾股定理求出，再解，求出，然后计算两条路线的长度比较即可． 【详解】（1）解：过点A作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 答：环湖跑道段的长度为； （2）解：过点C作于点， 由题意得：，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴路线①：， 路线②：， ∵， ∴路线②近． 25．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．    (1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离； (2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据： ，） 【答案】(1)点到地面的距离约为； (2)一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    由题意得：，， 在中，， ， ，， ， ， 此时点到地面的距离约为； （2）解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口， 理由：如图：当，且时，设交于点，    由题意得：，， ， 在中，， ， ， 入口宽度为， ， ， 一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 26．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 【答案】(1)公里 (2)丙最晚达目的地D点 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中由列方程求出，，在中由勾股定理可求出公里； （2）过点作于点，得出四边形是矩形，得，在取点，使，得，设，则根据求出，由分别求出公里，公里，公里，公里，分别求出三条路线用时，再进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； （2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$